2023年12月30日发(作者：2021数学试卷可能考哪些)
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
第1课时 正切
1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.
阅读教材P2～4，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫∠A的对边做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.
∠A的邻边的值越大，梯子越陡.
3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比).
(二)自学反馈
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于(C)
A.512512 B. C. D.
1313125
2.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m，在竖直方向上就升高60 m，那么山坡的3坡度i＝tanα＝.
5
活动1 小组讨论
例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
563＝.乙梯中，tanβ＝＝.
228413－512因为tanβ>tanα，所以乙梯更陡.
求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.
活动2 跟踪训练
1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)
解：甲梯中，tanα＝51 / 36
2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、O为格点，则tan∠AOB＝(A)
12105A. B. C. D.
2353
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝24，c＝24725，则tanA＝、tanB＝.
7244.如图，某人从山脚下的点A走了300 m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为70 m，求山的坡度0.24.(结果精确到0.01)
活动3 课堂小结
1.正切的定义.
2.梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系).
3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识.
第2课时 锐角三角函数
1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.(重点)
2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
阅读教材P5～6，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；∠A的对边与斜ab边的比叫做∠A的正弦，即sinA＝.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cosA＝.
cc2.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的三角函数.
的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.
锐角三角函数是在直角三角形的前提下.
(二)自学反馈
2 / 36
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是(A)
A.512513 B. C. D.
1313125
22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(A)
318131213A.4 B.25 C. D.
1313
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3、b＝4，434则sinB＝，cosB＝，tanB＝.
553
活动1 小组讨论
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，求BC的长.
解：在Rt△ABC中，
BCBC∵sinA＝，即＝0.6，
AC200∴BC＝200×0.6＝120.
12例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，cosA＝，求AB的长及sinB.
13
解：在Rt△ABC中，
AC∵cosA＝，
AB101265即＝，∴AB＝.
AB136AC12∴sinB＝＝cosA＝.
AB133 / 36
这里需要注意cosA＝sinB.
活动2 跟踪训练
1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC＝8，DB＝43，CD⊥AB于点D，求sinB的值.
解：∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝AC＝8.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴CD＝BC－BD＝8－（43）＝4，
CD41∴sinB＝＝＝.
BC8232.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB2的值.
2222
3解：在Rt△ACD中，∵CD＝6，tanA＝，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.
2CD3BD4722在Rt△BCD中，BC＝8＋6＝10，∴sinB＝＝，cosB＝＝，∴sinB＋cosB＝.
BC5BC55活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算，能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点)
阅读教材P8～9，完成预习内容.
自学反馈
完成下面的表格：
30°
sinα
1
24 / 36
cosα
3
2tanα
3
3
45°
60°
2
23
22
21
21
3
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)sin30°＋cos45°；
22(2)sin60°＋cos60°－tan45°.
121＋2解：(1)原式＝＋＝.
22231(2)原式＝＋－1＝0.
44 sin30°表示(sin30°)，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.
例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
22
1解：根据题意可知，∠AOD＝∠AOB＝30°，AO＝2.5 m.
2∴OD＝OAcos30°＝2.5×3＝2.165(m).
2∴CD＝2.5－2.165≈0.34(m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；
2(2)cos45°＋tan60°cos30°.
解：(1)原式＝2＋3.
(2)原式＝2.
2.如图，某同学用一个有60°的直角三角板估测学校旗杆AB的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5 m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D，B的距离为5 m，则旗杆AB的高度大约是多少米？(精确到1 m，3取1.73)
解：由已知可得四边形CDBE是矩形，
5 / 36
∴CE＝DB＝5 m，BE＝CD＝1.5 m.
AE在Rt△ACE中，∵tan∠ACE＝，
CE∴AE＝CE·tan∠ACE＝5·tan60°＝53，
∴AB＝53＋1.5＝8.65＋1.5＝10.15≈10 (m)，
即旗杆AB的高度大约是10 m.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.3 三角函数的计算
1.能利用计算器求锐角三角函数值.
2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.
阅读教材P12～14，完成预习内容.
自学反馈
1.已知tanα＝0.324 9，则α约为(B)
A.17° B.18° C.19° D.20°
2.已知tanβ＝22.3，则β＝87°25′56″.(精确到1″)
活动1 小组讨论
例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴BC＝ABsinα＝200×sin16°≈55.13(m).
例2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜到.这条斜道的倾斜角是多少？
BC101解：在Rt△ABC中，sinA＝＝＝.
AC404∴∠A≈14°28′.
答：这条斜道的坡角α是14°28′.
在直角三角形ABC中，直接用正弦函数描述∠CBA的关系式，再用计算器求出它的度数.
活动2 跟踪训练
1.用计算器计算：(结果精确到0.000 1)
(1)sin36°； (2)cos30.7°；
6 / 36
(3)tan20°30′； (4)sin25°＋2cos61°－tan71°.
解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)－1.512 0.
2.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°).
解：∵∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，
AC12.5∴tanB＝＝＝0.625，
BC20用计算器计算，得∠B≈32°，
∴∠A＝90°－32°＝58°.
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.
2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.
3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.
1.4 解直角三角形
1.了解什么叫解直角三角形.
2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件解直角三角形.(重点)
阅读教材P16～17，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系：
222三边之间的关系a＋b＝c；
两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；
ababab边与角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝，sinB＝，cosB＝，tanB＝.
ccbcca3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式∠B＝90°－∠A，求出∠B，a用关系式sinA＝求出a.
c(二)自学反馈
31.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC∶AC＝(A)
5A.3∶4 B.4∶3 C.3∶5 D.4∶5
2.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为(B)
7 / 36
55A.5cosα B. C.5sinα D.
cosαsinα
活动1 小组讨论
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝15，b＝5，求这个三角形的其他元素.
222解：在Rt△ABC中，a＋b＝c，a＝15，b＝5，
∴c＝a＋b＝22（15）＋（5）＝25.
22b51在Rt△ABC中，sinB＝＝＝.
c252∴∠B＝30°.∴∠A＝60°.
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b＝30，∠B＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°.
bb∵sinB＝，b＝30，∴c＝≈71.
csinBbb30∵tanB＝，b＝30，∴a＝＝≈64.
atanBtan25°活动2 跟踪训练
1.根据下列条件解直角三角形.
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝43，∠A＝60°.
解：∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.
a3∵sinA＝，∴a＝c·sinA＝43·sin60°＝43×＝6，
c2∴b＝c－a＝（43）－6＝23.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝23.
解：∵∠C＝90°，a＝6，b＝23，
∴c＝a＋b＝6＋（23）＝43.
a6∵tanA＝＝＝3，
b23∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长.
22222222
8 / 36
解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30°，
1∴AD＝AB＝4，BD＝3AD＝43.
2在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝43＋4.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.5 三角函数的应用
第1课时 方位角问题
能运用解直角三角形解决航行问题.
阅读教材P19有关方位角问题，完成预习内容.
自学反馈
1.如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向.
2.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是250米.
活动1 小组讨论
例 如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
BD在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
AD9 / 36
∴BD＝AD·tan55°.
CD在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，
AD∴CD＝AD·tan25°.
∵BD＝BC＋CD，
∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.
∴AD＝20≈20.79>10.
tan55°－tan25°∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险.
应先求出点A距BC的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.
活动2 跟踪训练
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(A)
A.402海里
B.403海里
C.80海里
D.406海里
2.如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)
解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下：
过点P作PC⊥AB，C是垂足.
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100，
33PC＋PC＝100，(＋1)PC＝100，
333∴PC＝×100
3＋3＝50×(3－1.732)≈63.40>50.
即10 / 36
∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
第2课时 仰角、俯角问题
1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.
2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.
阅读教材P19想一想，完成预习内容.
(一)知识探究
1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.
2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.
(二)自学反馈
1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)
A.1 200 m B.1 2002 m
C.1 2003 m D.2 400 m
2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(D)
A.200米 B.2003米
C.2203米 D.100(3＋1)米
活动1 小组讨论
例 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
11 / 36
解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，
∴BD＝AB＝50 m.∴DC＝BD·sin60°＝50×3＝253≈43(m).
2答：该塔高约为43 m.
活动2 跟踪训练
1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB水平距离60米(BD＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD高15米，在该住宅楼顶C处测得此危房屋顶A的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
解：没有危险，理由如下：
在△AEC中，∵∠AEC＝90°，
AE∴tan∠ACE＝.
CE∵∠ACE＝30°，CE＝BD＝60，
∴AE＝20
3≈34.64(米).
又∵AB＝AE＋BE，BE＝CD＝15，
∴AB≈49.64(米).
∵60>49.64，即BD>AB，
∴在实施定向爆破危房AB时，该居民住宅楼没有危险.
2.如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
解：作CF⊥AB于点F，设AF＝x米，
AF在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，
CFAFxx则CF＝＝＝＝3x，
tan∠ACFtanαtan30°在直角△ABE中，AB＝x＋BF＝4＋x(米)，
12 / 36
ABABx＋43在直角△ABE中，tan∠AEB＝，则BE＝＝＝(x＋4)米.
BEtan∠AEBtan60°3∵CF－BE＝DE，即3x－33＋4解得x＝.
233＋433＋12则AB＝＋4＝(米).
2233＋12答：树高AB是米.
2活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.
第3课时 坡度问题
1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.
坡面的铅直高度2.理解坡度i＝＝tan坡角.
坡面的水平宽度
阅读教材P19做一做，完成预习内容.
自学反馈
1.如图所示，斜坡AB和水平面的夹角为α.下列命题中，不正确的是(B)
BCA.斜坡AB的坡角为α B.斜坡AB的坡度为
ABBCC.斜坡AB的坡度为tanα D.斜坡AB的坡度为
AC3(x＋4)＝3.
3
2.如图，一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系2为s＝10t＋2t，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(C)
A.72 m B.363 m C.36 m D.183 m
活动1 小组讨论
例 某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)
13 / 36
解：根据题意可得图形，如图所示：
ADAD在Rt△ABD中，sin40°＝＝，
AB4∴AD＝4sin40°＝4×0.64＝2.56，
AD2.56在Rt△ACD中，tan35°＝＝，
CDCD2.56CD＝＝3.66，
tan35°AD2.56tan40°＝＝，
BDBD2.56BD＝≈3.055 m.
tan40°∴CB＝CD－BD＝3.66－3.055≈0.61(m).
∴楼梯多占了0.61 m长一段地面.
ADAC＝≈4.46 m.
sin35°∴AC－AB＝4.46－4＝0.46(m).
∴调整后的楼梯会加长0.46 m.
活动2 跟踪训练
1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是210cm.
2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1
m)
解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
BE1CF1在Rt△ABE和Rt△CDF中，＝，＝，
AE3FD2.5∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m).
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).
14 / 36
1∵斜坡的坡度i＝≈0.333 3，
3BE∴＝0.333 3，即tanα＝0.333 3.∴α≈18°26′.
AEBEBE23∵＝sinα，∴AB＝≈≈72.7(m).
ABsinα0.316 2答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.
这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形.
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
1.6 利用三角函数测高
会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点)
阅读教材P22～23，完成预习内容.
自学反馈
1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.
活动1 小组讨论
例1 测量底部可以到达的物体的高度
下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.
课题 测量旗杆高
测量示
意图
测得
数据
测量项目
BD的长
测倾器的高
倾斜角
第一次
24.19 m
CD＝1.23 m
α＝31°15′
第二次
23.97 m
CD＝1.19 m
α＝30°45′
平均值
24.08 m
1.21 m
α＝31°
计算，旗杆高AB(精确到0.1 m)
AB＝AE＋BE＝CEtan31°＋CD
＝24.08×tan31°＋1.21＝15.7(m)
例2 测量底部不可以到达的物体的高度.
如图，小山上有一座铁塔AB，在D处测得点A的仰角为∠ADC＝60°，点B的仰角为∠BDC＝45°；在E处测得A的仰角为∠E＝30°，并测得DE＝90米，求小山高BC和铁塔高AB(精确到0.1米).
15 / 36
解：在△ADE中，∠E＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠E＝∠DAE＝30°.
∴AD＝DE＝90米.
1在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，则CD＝AD＝45米，AC＝AD·sin∠ADC＝AD·sin60°＝2453米.
在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，则△BCD是等腰直角三角形.
BC＝CD＝45米，
∴AB＝AC－BC＝453－45≈32.9米.
答：小山高BC为45米，铁塔高AB约为32.9米.
活动2 跟踪训练
为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：
把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7米，观察者目高CD＝1.6米，请你计算树AB的高度(精确到0.1米)
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是①④.
(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图；
(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a，b，c，α，β等表示测得的数据a·tanα＋1.5.
(4)写出求树高的算式：AB＝AB＝a·tanα＋1.5.
解：实践一：∵∠CED＝∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD，
∴△CED∽△AEB，
CDDE∴＝.
ABBE∵CD＝1.6米，DE＝2.7米，BE＝8.7米，
1.6×8.7∴AB＝≈5.2(m).
2.7实践二：(1)在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.
再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE＋BE.
(2)如图.
活动3 课堂小结
16 / 36
学生试述：这节课你学到了些什么？
第三章 圆
3.1 圆
1.回顾圆的基本概念.
2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)
3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)
阅读教材P65～66，完成预习内容.
(一)知识探究
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d (二)自学反馈 1.下列命题中正确的有(A) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示，图中共有2条弦. 3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内. 活动1 小组讨论 例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0 直径是圆中最长的弦. 例2⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形. 与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型. 例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形. (1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形； (2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形； (3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形. 解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D为所求； 17 / 36 图1 图2 (2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求； (3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求. 活动2 跟踪训练 1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部. 2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0 3.如图，图中有1条直径，2条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有4条，劣弧有4条. 这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数. 4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm、AD＝4 cm. (1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？ (2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ 解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3 (2)问中B、C、D三点中至少有一点在圆内，是指哪个点在圆内？至少有一点在圆外是指哪个点在圆外？ 活动3 课堂小结 1.这节课你学了哪些知识？ 2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？ 3.2 圆的对称性 1.理解圆的轴对称性及其中心对称性. 2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点) 阅读教材P70～71，完成预习内容. (一)知识探究 1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心. 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等. 18 / 36 (二)自学反馈 1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 2.在⊙O中，AB、CD是两条弦. ︵︵(1)如果AB＝CD，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD； ︵︵(2)如果AB＝CD，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD； ︵︵(3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，AB＝CD. 活动1 小组讨论 ︵︵例 如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD＝与CE的大小有什么关系？为什么？ ︵︵解：BE＝CE.理由是：∵∠AOD＝∠BOE，∴AD＝BE. ︵︵又∵AD＝CE， ︵︵∴BE＝CE. ∴BE＝CE. 活动2 跟踪训练 ︵︵1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝75°，则∠BAC＝30°. ︵︵2.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 19 / 36 ︵︵证明：∵AB＝AC，∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形. ∴AB＝AC＝BC.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. ︵︵3.如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，∠AOD＝80°，求∠AOB的度数. ︵︵解：∵AB＝DC， ∴∠AOB＝∠DOC. ∵∠AOD＝80°， 1∴∠AOB＝∠DOC＝(180°－80°)＝50°. 2活动3 课堂小结 圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法. *3.3 垂径定理 1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点). 2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点) 阅读教材P74～75，完成预习内容. (一)知识探究 1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB︵经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE＝DE；④CB＝︵︵︵DB；⑤CA＝DA. 2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (二)自学反馈 ︵︵1.如图，弦AB⊥直径CD于E，相等的线段有：AE＝EB，CO＝DO；相等的弧有：AD＝DB，︵︵︵︵AC＝BC，CAD＝CBD. 2.在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离OC为3 cm，则弦AB的长为8_cm. 20 / 36 活动1 小组讨论 ︵︵例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD所在圆的圆心)，其中︵CD＝600 m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径. 解：连接OC. 设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m. ∵OE⊥CD， 11∴CF＝CD＝×600＝300(m). 22在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC＝CF＋OF，即 222R＝300＋(R－90). 解得R＝545. 所以，这段弯路的半径为545 m. 常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形. 活动2 跟踪训练 1.如图，在⊙O中，弦AB＝4 cm，点O到AB的距离OC的长是23 cm，则⊙O的半径是4_cm. 222 是⊙O的直径，AB是弦，且AB⊥CD，垂足是E，如果CE＝2、AB＝8，那么ED＝8，⊙O的半径r＝5. 3.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD. 21 / 36 证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE. ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE， 即AC＝BD. 过圆心作垂径是圆中常用辅助线. 活动3 课堂小结 用垂径定理及其推论进行有关的计算. 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角定理及其推论1 1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点) 2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点) 阅读教材P78～80，完成预习内容. (一)知识探究 1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角. 2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3.同弧或等弧所对的圆周角相等. (二)自学反馈 ︵1.如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧BC上一点，则∠BAC＝50°. 2.如图所示，点A、B、C在圆周上，∠A＝65°，则∠D＝65°. 活动1 小组讨论 例1 如图所示，点A、B、C在⊙O上，连接OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝65°. 例2 如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝64°. 22 / 36 (1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形. 活动2 跟踪训练 1.如图，锐角△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，∠OAC＝20°，则∠B＝70°. 、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC. ︵︵证明：∵∠AOB是劣弧AB所对的圆心角，∠ACB是劣弧AB所对的圆周角， ∴∠AOB＝2∠ACB. 同理∠BOC＝2∠BAC. ∵∠AOB＝2∠BOC. ∴∠ACB＝2∠BAC. 求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角. 活动3 课堂小结 圆周角的定义、定理及推论. 第2课时 圆周角定理的推论2、3 1.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点) 2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点) 阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容. (一)知识探究 1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补. (二)自学反馈 1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD＝110°，则∠BCD等于(C) A.110° B.90° C.70° D.20° 23 / 36 2.如图，AB是⊙O的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是55°. 活动1 小组讨论 例1 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C) A.30° B.45° C.60° D.75° 例2 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝120°，则∠CBE的度数是120°. 例3 如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD. 证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠BAE＋∠E＝90°. ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＋∠C＝90°. ︵︵∵AB＝AB， ∴∠E＝∠C. ∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD. 24 / 36 涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题. 活动2 跟踪训练 1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D) A.1 B.2 C.3 D.2 2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4. 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度. 4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数. 解：∵∠AOD＝130°， ∴∠BOD＝50°. ∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠A＝90°－∠B＝40°. 活动3 课堂小结 1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 2.在学生回答基础上，教师强调： ①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； ②圆内接四边形定义及性质； ③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形. 25 / 36 3.5 确定圆的条件 1.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆以及三角形的外接圆及外心等概念.(重点) 2.经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.(难点) 阅读教材P85～86做一做，完成预习内容. (一)知识探究 1.(1)经过一个已知点A画圆；想一想：经过已知点A可以画多少个圆？ 解：无数个. (2)经过两个已知点C、B画圆. 想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？ 解：无数个. ②圆心在哪儿？半径怎么确定？ 解：圆心选取线段BC的垂直平分线上任意一点.半径取这一点与点B(C)的距离. 2.设三点A，B，C不在同一直线上. (1)过三点A，B，C的圆的圆心在哪儿？怎么确定？ 解：圆心为线段AB，BC垂直平分线的交点. (2)过不在同一直线上的三点A，B，C如何作圆？ 已知不在同一直线上的三点A，B，C，求作圆O，使它经过点A，B，C. 作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线EF； ②连接BC，作线段BC的垂直平分线MN； ③以EF和MN的交点O为圆心，以OA(或OB或OC)为半径作圆，则圆O就是所求作的圆. (3)过不在同一直线上的三点A，B，C能作多少个圆？ 解：1个. (4)过同一直线上的三点A，B，C能作一个圆吗？ 解：不能. 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 强调：①过同一直线上三点不行；②“确定”一词应理解成“有且只有”. 3.经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点. 26 / 36 (二)自学反馈 1.下列说法错误的是(C) A.过一点有无数多个圆 B.过两点有无数多个圆 C.过三点只能确定一个圆 D.过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B) A.点P B.点Q C.点R D.点M 活动1 小组讨论 例 作出下列三角形的外接圆(只要作图痕迹，不要求作法) 解：略. 活动2 跟踪训练 1.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形. 2.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为(2，0). 3.⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD是⊙O的直径，连接AD.求AD的长. 解：∵BD是直径，∴∠BAD＝90°. 又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝30°.∴∠D＝30°. 又∵AB＝3，∴BD＝2AB＝6.∴AD＝6－3＝33. 活动3 课堂小结 本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？ 27 / 36 22 3.6 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 1.了解直线和圆的三种位置关系及相关概念；能运用直线与圆的位置关系解决问题. 2.理解和掌握圆的切线的性质；能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明.(重难点) 阅读教材P89～91，完成预习内容. (一)知识探究 1.直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点. 2.设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则： (1)当d＜r时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交. (2)当d＝r时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切. (3)当d＞r时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离. 3.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.那么： (1)直线l和⊙O相交⇔d＜r； (2)直线l和⊙O相切⇔d＝r； (3)直线l和⊙O相离⇔d＞r. 4.圆的切线垂直于过切点的半径. (二)自学反馈 1.设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d 2.已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是相交. 3.已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d≤3cm. 4.如图，AB与⊙O相切于点B，⊙O的半径为25，AB＝4，则OA的长是6. 5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D等于40°. 活动1 小组讨论 例1 已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ (2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ 28 / 36 解：(1)如图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D. ∵AC＝4 cm，AB＝8 cm. AC1∴cosA＝＝. AB2∴∠A＝60°. ∴CD＝AC·sinA＝4sin60°＝23(cm). 因此，当半径长为23 cm时，AB与⊙C相切. (2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝23 cm，当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离； 当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交. 例2 如图，PA为⊙O的切线，A为切点.直线PO与⊙O交于B、C两点，∠C＝30°，AP＝3，连接AO、AB、AC.求⊙O的半径. 解：∵OA＝OC，∠C＝30°， ∴∠AOP＝60°. ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， 在Rt△AOP中，∠AOP＝60°，AP＝3， ∴AO＝1，即⊙O的半径为1. 已知圆的切线，利用圆的切线性质解题时，一般先要作出过切点的半径，再分析题中的关系，合理解答问题. 活动2 跟踪训练 1.已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相交.直线a与⊙O的公共点个数是2个. 2.已知⊙O的直径是6 cm，圆心O到直线a的距离是4 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相离. 3.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16.求OA的长. 解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB. ∵∠A＝∠B，∴OA＝OB. 29 / 36 1∴AC＝BC＝AB＝8. 2∵OC＝6，∴OA＝6＋8＝10. 活动3 课堂小结 1.直线与圆的三种位置关系. 2.根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系. 3.切线性质： ①切线和圆有且只有一个公共点； ②切线和圆心的距离等于半径； ③圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.能运用切线性质定理进行计算与证明. 5.掌握常见的关于切线的辅助线作法. 第2课时 切线的判定与三角形的内切圆 1.理解和掌握圆的切线的判定定理；能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明.(重点) 2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.会进行三角形内切圆的相关计算.(难点) 阅读教材P92～93，完成预习内容. (一)知识探究 1.经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. (二)自学反馈 1.下列说法中，正确的是(B) A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线 C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线 D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线 2.已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，如果以AD为直径作圆，那么与这个圆相切的矩形的边共有(D) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 22 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O，则⊙O与AC的位置关系是相切. 30 / 36 4.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于60度时，AC与⊙O相切. 活动1 小组讨论 例1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线. 证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°， ∴∠A＝∠D＝30°. ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A＝30°. ∴∠COD＝60°. ∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD. ∴CD是⊙O的切线. 一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 例2 如图所示，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切. 解：1.作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示). 2.过I作BC的垂线，垂足为D. 3.以I为圆心，以ID为半径为⊙I. ⊙I就是所求的圆. 例3 如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D、E、F. (1)求证：四边形ODCE是正方形. (2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r. 31 / 36 a＋b－c解：(1)证明略；(2). 2 这里(2)的结论可记住作为公式来用. 活动2 跟踪训练 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB.求证：直线CP与⊙O相切. 证明：连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD. 又∵AD⊥CP， ∴OC⊥CP. ∴直线CP与⊙O相切. 活动3 课堂小结 1.判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点→l是切线直线l与圆心的距离等于圆的半径→l是切线 经过半径外端且垂直于这条半径→l是切线2.常用的添辅助线方法： (1)直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直. (2)直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半径. 3.会进行三角形的内切圆相关计算及内心，直角三角形内切圆半径公式的应用. *3.7 切线长定理 理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题.(难点) 阅读教材P94～95，完成预习内容. (一)知识探究 1.过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 2.过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. (二)自学反馈 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若PA＝6 cm，则PB＝6cm. 32 / 36 2.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝60度. 3.自学教材P95随堂练习. 活动1 小组讨论 例 如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB2＝12 cm，梯形面积为120 cm，求CD的长. 解：20 cm. 这里CD＝AD＋BC. 活动2 跟踪训练 1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B) A.4 B.8 C.43 D.83 2.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D) A.9 B.10 C.12 D.14 活动3 课堂小结 能根据切线长定理进行相关计算. 33 / 36 3.8 圆内接正多边形 1.了解正多边形的概念. 2.会进行有关圆与正多边形的计算.(重点) 3.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，并能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形.(难点) 阅读教材P97～98，完成预习内容. (一)知识探究 1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆. 360°2.把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于. 边数3.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. (二)自学反馈 1.如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为6. 2.已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为18cm. 3.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是互补. 4.圆内接正方形的半径与边长的比是1∶2；圆内接正方形的边长为4 cm，那么边心距是2cm. 活动1 小组讨论 例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距. 解：连接OD. ∵六边形ABCDEF为正六边形. 360°∴∠COD＝＝60°. 6∴△COD为等边三角形. ∴CD＝OC＝4. 11在Rt△COG中，OC＝4，GC＝BC＝×4＝2. 22∴OG＝OC－CG＝4－2＝23. ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为23. 活动2 跟踪训练 1.正n边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n等于12. 2.若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为2∶1. 34 / 36 2222 3.正八边形有8条对称轴，它不仅是轴对称图形，还是中心对称图形. 正n边形的中心对称性和轴对称性. 4.有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，求它们的边数. 解：10，5. 本题应用方程的方法来解决. 5.教材第99页习题. 活动3 课堂小结 1.正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 2.正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数. 3.通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形. 4.用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法. 3.9 弧长及扇形的面积 1.了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式. nπRnπR12.探索n°的圆心角所对的弧长l＝、扇形面积S＝和S＝lR的计算公式，并1803602应用这些公式解决相关问题.(重难点) 阅读教材P100～101，完成预习内容. (一)知识探究 πRnπR1.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是. 180180πR2.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇360nπR形面积是. 36013.半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR. 2(二)自学反馈 ︵1.已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长AB的长是3π. 2.一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm. 3.在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝18cm. 34.已知扇形的半径为3，圆心角为60°，那么这个扇形的面积等于_π. 2 活动1 小组讨论 例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的︵管道的展直长度，即AB的长(结果精确到0.1 mm). 2222 35 / 36 解：R＝40 mm，n＝110，所以 ︵n110AB的长＝πR＝×40π≈76.8(mm). 180180因此，管道的展直长度约为76.8 mm. ︵例2 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm). ︵120解：AB的长＝π×12≈25.1(cm). 18012022S扇形＝π×12≈150.7(cm). 360︵2因此，AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm. 活动2 跟踪训练 1.已知扇形的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为4πcm. 2.已知弓形的弧所对的圆心角∠AOB为120°，弓形的弦AB长为12，则这个弓形的面积为16π－123. 2 弓形的面积等于扇形面积减去三角形的面积. 3.已知，如图，AC是⊙O的直径，AB、BD是弦，AC⊥BD于F，∠A＝30°，OF＝3 cm，求图中阴影部分的面积. 解：∵AC⊥BC于F，∠A＝30°， ∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°，∠BOD＝120°， ∵OF＝3 cm， ∴OB＝23 cm. 120π（23）2∴S扇形＝＝4π(cm). 360活动3 课堂小结 nπR1.n°的圆心角所对的弧长公式l＝. 1802nR22.n°的圆心角所对的扇形面积公式S＝S=. 3603.圆环的面积求法. 36 / 36
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