2024年3月18日发(作者：数学试卷期末试卷五年级)

2023年普通高等学校招生全国统一考试

高三第三次联合诊断检测数学参考答案

一、单选题

1～8CBDBACCC

第8题提示：圆内接

n

边形为正

n

边形时面积最大，要使棱柱体积最大，可知上下底面为正

n

边形，由正

n

边形

与外接圆的面积比不依赖于圆的半径，故只需考虑球体内接圆柱体积最大时，上下底面间的距离，

设圆柱底面圆的半径为

r

，则球心到圆柱底面圆的距离为

1r

2

，圆柱体积为

2

r

2

1

r

2

，考

虑函数

f(x)x1x

，

f

(

x

)

二、多选题

2

3

x

21

x

，可知

rx

2

2

时体积最大.

3

第12题提示：令

y1

，得

2(x1)f(x)xf(x1)

，令

x0

，得

f(0)0

，令

x1

，得

f(2)4f(1)8

显然

f

(

x

)

x

2

是一个满足条件的函数，故C错误

由

x

f

(

n

)

f

(

x

1)

f

(

x

)

2

，记

a

n

，可知

a

n

1

2

a

n

，

{

a

n

}

为等比数列

x

1

xn

n

a

n

2

，

f(n)n2

，∴

f

(

k

)

(

n

1)

2

n

1

2

k

1

n

n

三、填空题

13.

0.728

14.

1

2

2

15.

2

16.

(0,

3

)

3

第16题提示：设

PF

1

n,PF

2

m,

PF

2

F

1

，

由正弦定理

mn

2

cm

n

2

a



sin3

sin

sin4

sin3

sin

sin3

sin

sin4

2sin2

cos2

2cos

2

1

∴

e



3

sin3

sin

4sin

4sin

cos

由

(



233

,)

，

cos

(,)

，可得

e

(0,)

64

223

四、解答题

17.（10分）

解：（1）∵

S

n

1

2

S

n

1

，∴

S

n

2

S

n

1

1

(n2)

两式相减得

a

n

1

2

a

n

(n2)

，即数列

{

a

n

}

从第二项开始为等比数列

令

n1

，∴

S

2

a

1

a

2

2a

1

1

，

a

2

2

第三次联合诊断检测（数学）参考答案第1页共5页

∴

a

2

2a

1

，∴数列

{

a

n

}

为等比数列，

a

n

a

1

q

（2）

b

n

2

n

1

n

1

2

n

1

…………5分

2

n

log

2

(2

n

1

2

n

)

1

T

n

(4

4

2



4

n

)

(1

3



2

n

1)

2

1

n

4

2

n

1

，设

T

n

为

{b

n

}

的前

n

项和

2

14(1

4

n

)22



n

2



4

n



n

2

…………10分

21

433

18.（12分）

解：（1）由题

sinAcosBsinCcosAsinBsinCsinAsinBcosC

由正弦定理，

accosBbccosAabcosC

a

2

c

2

b

2

b

2

c

2

a

2

a

2

b

2

c

2

bc



ab

由余弦定理，

ac

2

ac

2

bc

2

ab

a

2

c

2

3

…………6分化简整理得

ac3b

，

2

b

222

a

2

c

2

b

2

2

（2）由题

cos

B

2

ac

3

联立

ac3b

得

ac2ac0

，∴

ac

，

△ABC

为等腰三角形

∴

sin

A

sin(

22222

B

B

)cos

222

2

由

cos

B

2cos

19.（12分）

2

B

B

30

1

，解得

sin

A

cos

…………12分

23

26

解：（1）设

△BDC

的外心为

P

，∵球心

O

到底面的距离为

1

，∴

OP1

∵

△BCD

是边长为

22

3

等边三角形，∴

BP1

2

，球

O

的表面积为

4

OB

2

8

………………6分

∴

OBOPBP



（2）以

DC

中点

M

为原点，

MB,MC,PO

分别为

x,y,z

轴正向建立空间直角坐标系

∴

B

(,0,0)

，

C

(0,

3

2

11

33

,0)

，

D

(0,

,0)

，

O

(,0,1)

，

A

(

,0,2)

22

22



13





33

AC

(,,

2)

，

BC

(

,,0)

，

DC(0,3,0)

2222



AC

n

0

设平面

ABC

的法向量为

n

，由



，令

x1

，解得

n(1,3,1)



BC

n

0

第三次联合诊断检测（数学）参考答案第2页共5页







AC

m

0

设平面

ABC

的法向量为

m

，由



，令

z1

，解得

m(4,0,1)

DC

m

0



n

m

85



设二面角

BACD

的平面角为

，

cos

………………12分

17

|

n

|

|

m

|

20.（12分）

解：（1）设甲一局的得分为

1

，由题得

P

(

1

1)

11111



，

P

(

1

3)

，

P

(

1

0)

1

P

(

1

1)

P

(

1

3)

66333

设乙一局的得分为

2

，由题得

1111123

P

(

2

1)



，

P

(

2

3)

，

P

(

2

0)

1

P

(

2

1)

P

(

2

3)

5630460

若最后一轮甲反败为胜，其概率为

PP(X3,Y0)P(X3,Y1)

1231111



………………6分

3603304

（2）列出

X,Y

和

|XY|

取值相应的概率表如下：

由此可得

Z|XY|

的分布列

Z|XY|

0

12

3

19

90

21.（12分）

1137

P

34180

113719233

∴

E

(

Z

)

0



1



2

………………12分

3



3418090180

1

a

2

b

3

解：（1）∵

△ABD

是面积为

3

的正三角形，∴

2

a

3,

b

1

，

a

3

b

第三次联合诊断检测（数学）参考答案第3页共5页


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