2024年3月18日发(作者：老师做今年高考数学试卷)
2021年重庆高考理科数学试题及答案
考前须知：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷总分值150分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题
目要求的．
1．集合
U
={−2，−1，0，1，2，3}，
A
={−1，0，1}，
B
={1，2}，那么
A．{−2，3} B．{−2，2，3}
U
(AB)
C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}
2．假设
α
为第四象限角，那么
A．cos2
α
>0 B．cos2
α
<0 C．sin2
α
>0 D．sin2
α
<0
3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大
幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．该超市某日积压500份订单
未配货，估量第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为
使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，那么至少需要志愿者
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，围
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多9块，向外每环依次也增加9块，每层环数一样，且下层比中层多729块，那么三层共有扇面形石板
(不含天心石)
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
5．假设过点〔2，1〕的圆与两坐标轴都相切，那么圆心到直线
2xy30
的距离为
A．
5
5
B．
25
5
C．
35
5
D．
45
5
6．数列
{a
n
}
中，
a
1
2
，
a
mn
a
m
a
n
.假设
a
k1
a
k2
A．2 B．3 C．4
a
k10
2
15
2
5
，那么
k
D．5
7．以下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为
M
，在俯视图中
对应的点为
N
，那么该端点在侧视图中对应的点为
A．
E
B．
F
C．
G
D．
H
x
2
y
2
8．设
O
为坐标原点，直线
xa
与双曲线
C:
2
2
1(a0,b0)
的两条渐近线分别交于
D,E
两点，
ab
假设
△ODE
的面积为8，那么
C
的焦距的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
9．设函数
f(x)ln|2x1|ln|2x1|
，那么
f
(
x
)
1
A．是偶函数，且在
(,)
单调递增
2
1
C．是偶函数，且在
(,)
单调递增
2
11
B．是奇函数，且在
(,)
单调递减
22
1
D．是奇函数，且在
(,)
单调递减
2
10．△
ABC
是面积为
93
的等边三角形，且其顶点都在球
O
的球面上．假设球
O
的外表积为
16π
，那么
O
4
到平面
ABC
的距离为
A．
3
xy
x
y
B．
3
2
C．1 D．
3
2
11．假设2－2<3
−
－3
−
，那么
A．ln(
y
-
x
+1)>0 B．ln(
y
-
x
+1)<0 C．ln∣
x
-
y
∣>0
a
n
D．ln∣
x
-
y
∣<0
12．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．假设序列
a
1
a
2
满足
a
i
{0,1}(i1,2,)
，且存在正整
数
m
，使得
a
im
a
i
(i1,2,)
成立，那么称其为0-1周期序列，并称满足
a
im
a
i
(i1,2,)
的最小正
整数
m
为这个序列的周期．对于周期为
m
的0-1序列
a
1
a
2
a
n
1
m
，
C(k)
a
i
a
ik
(k1,2,
m
i1
,m1)
是
1
描述其性质的重要指标，以下周期为5的0-1序列中，满足
C(k)(k1,2,3,4)
的序列是
5
A．
11010
B．
11011
C．
10001
D．
11001
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
13．单位向量
a
，
b
的夹角为45°，
ka
–
b
与
a
垂直，那么
k
=__________．
14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，那么
不同的安排方法共有__________种．
15．设复数
z
1
，
z
2
满足
|z
1
|=|z
2
|=2
，
z
1
z
2
3i
，那么
|z
1
z
2
|
=__________．
16．设有以下四个命题：
p
1
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p
2
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p
3
：假设空间两条直线不相交，那么这两条直线平行．
p
4
：假设直线
l
平面
α
，直线
m
⊥平面
α
，那么
m
⊥
l
．
那么下述命题中所有真命题的序号是__________．
①
p
1
p
4
②
p
1
p
2
③
p
2
p
3
④
p
3
p
4
三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
〔一〕必考题：共60分。
17．〔12分〕
△ABC
中，sin
A
－sin
B
－sin
C
= sin
B
sin
C
．
222
〔1〕求
A
；
〔2〕假设
BC
=3，求
△ABC
周长的最大值．
18．〔12分〕
某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物
的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，
调查得到样本数据(
x
i
，
y
i
)(
i=
1，2，…，20)，其中
x
i
和
y
i
分别表示第
i
个样区的植物覆盖面积(单位：
公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
x
i1
20
i
60
，
y
i1
20
i
1200
，
(xx)
i
i1
20
2
80
，
(yy)
i
i1
20
2
9000
，
(x
i
x)(y
i
y)800
．
i1
20
〔1〕求该地区这种野生动物数量的估量值〔这种野生动物数量的估量值等于样区这种野生动物数量的
平均数乘以地块数〕；
〔2〕求样本(
x
i
，
y
i
) (
i=
1，2，…，20)的相关系数〔准确到0.01〕；
〔3〕根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野
生动物数量更准确的估量，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．
附：相关系数
r
(xx)(yy)
ii
i1
n
(xx)
(yy)
2
ii
i1i1
nn
，
21.414
．
2
19．〔12分〕
x
2
y
2
椭圆
C
1
：
2
2
1
(
a
>
b
>0)的右焦点
F
与抛物线
C
2
的焦点重合，
C
1
的中心与
C
2
的顶点重合．过
F
且
ab
与
x
轴垂直的直线交
C
1
于
A
，
B
两点，交
C
2
于
C
，
D
两点，且
CD
〔1〕求
C
1
的离心率；
〔2〕设
M
是
C
1
与
C
2
的公共点，假设|
MF
|=5，求
C
1
与
C
2
的标准方程．
20．〔12分〕
如图，三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
的底面是正三角形，侧面
BB
1
C
1
C
是矩形，
M
，
N
分别为
BC
，
B
1
C
1
的中点，
P
为
AM
4
AB
．
3
上一点，过
B
1
C
1
和
P
的平面交
AB
于
E
，交
AC
于
F
．
〔1〕证明：
AA
1
∥
MN
，且平面
A
1
AMN
⊥平面
EB
1
C
1
F
；
〔2〕设
O
为△
A
1
B
1
C
1
的中心，假设
AO
∥平面
EB
1
C
1
F
，且
AO
=
AB
，求直线
B
1
E
与平面
A
1
AMN
所成角的正弦
值．
21．〔12分〕
函数
f(x) sinxsin2x
．
〔1〕讨论
f
(
x
)在区间(0，π)的单调性；
〔2〕证明：
f(x)
*
2
33
；
8
2222n
3
n
〔3〕设
nN
，证明：
sinxsin2xsin4xsin2x
n
．
4
〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错
涂、漏涂均不给分．如果多做，那么按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕
曲线
C
1
，
C
2
的参数方程分别为
1
xt,
x4cos
，
t
C
1
：
〔
θ
为参数〕，
C
2
：
〔
t
为参数〕．
2
1
y4sin
yt
t
2
〔1〕将
C
1
，
C
2
的参数方程化为一般方程；
〔2〕以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系．设
C
1
，
C
2
的交点为
P
，求圆心在极轴上，且
经过极点和
P
的圆的极坐标方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕
函数
f
(
x
)= |
x
-
a
|+|
x
-2
a
+1|．
〔1〕当
a
=2时，求不等式
f
(
x
)≥4的解集；
〔2〕假设
f
(
x
)≥4，求
a
的取值范围．
2
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