2021年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2024年4月7日发(作者：盱眙县中考数学试卷)

2021年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案

word解析版

2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．(2021课标全国Ⅰ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)＜4，xⅠR}，N＝{－1,0,1,2,3}，

则M∩N＝( )．

A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}

2．(2021课标全国Ⅰ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．

A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i

3．(2021课标全国Ⅰ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，

a5＝9，则a1＝( )．

2

1111

A．3 B．3 C．9 D．9

4．(2021课标全国Ⅰ，理4)已知m，n为异面直线，mⅠ平面α，nⅠ平面β.直线

l满足lⅠm，lⅠn，l

α，

l

β，则( )．

A．αⅠβ且lⅠα B．αⅠβ且lⅠβ

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l

52

5．(2021课标全国Ⅰ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( )．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

6．(2021课标全国Ⅰ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输

出的S＝( )．

1111+

10 A．23

1111+

10! B．2!3!

1111+

11 C．23

1111+

11! D．2!3!

7．(2021课标全国Ⅰ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐

标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，

(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得

到的正视图可以为( )．

1

8．(2021课标全国Ⅰ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c

x 1,

9．(2021课标全国Ⅰ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件 x y 3,若z＝2x＋y的

最小值为1，则

y a x 3 .

a＝( )．

11

A．4 B．2 C．1 D．2

32

10．(2021课标全国Ⅰ，理10)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的

是( )．

A． x0ⅠR，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)

的极值点，则f′(x0)＝0

2

11．(2021课标全国Ⅰ，理11)设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C

上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x

D．y2＝2x或y2＝16x

12．(2021课标全国Ⅰ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a

＞0)将ⅠABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．

1 1 11 1 1 , 2322 D． 32 C

． A．(0,1) B

．

第Ⅰ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生

都必须做答。第22题～第

24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2021课标全国Ⅰ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，

则AE BD＝__________.

14．(2021课标全国Ⅰ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的

数，若取出的两数之

和等于5的概率为

1

，则n＝__________. 14

π 1

则sin θ＋cos θ＝__________. ，

2

4 2

15．(2021课标全国Ⅰ，理15)设θ为第二象限角，若tan

16．(2021课标全国Ⅰ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15

＝25，则nSn的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2021课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)ⅠABC的内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；

(2)若b＝2，求ⅠABC面积的最大值．

18．(2021课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1

中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB

＝

AB. 2

(1)证明：BC1Ⅰ平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

19．(2021课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一

个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300

元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经

销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一

个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的

利润． (1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需

求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量

XⅠ[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，

求T的数学期望．

x2y2

20．(2021课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭

圆M：2 2=1(a＞b

ab1

＞0)

右焦点的直线x y 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

2

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDⅠAB，求四边形ACBD面积

的最大值．

x

21．(2021课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)． (1)

设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)

＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分，做答时请写清题号． 22．(2021课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)

选修4—1：几何证明选讲 如图，CD为ⅠABC外接圆的切线，AB的延长线交直线

CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE＝DCAF，B，E，F，C四

3

点共圆． (1)证明：CA是ⅠABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ⅠABC外接圆面积的比

值．

23．(2021课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

只有一项是符合题目要求的．

1． 答案：A

2

解析：解不等式(x－1)＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－

x 2cost,

已知动点P，Q都在曲线C： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜

α＜2π)，

y 2sint

M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原

点．

24．(2021课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，

b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤

1； 3

a2b2c2(2) 1.

bca

2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A. 2． 答案：A 解析：z=

2i2i 1 i 2 2i

＝＝－1＋i.

1 i 1 i 1 i 2

3．

答案：C

解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，

而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.

a1(1 q3)

Ⅰq≠1时，S3＝＝a1q＋10a1，

1 q1 q32Ⅰ＝q＋10，整理得q＝9. 1 q

Ⅰa5＝a1q＝9，即81a1＝9，Ⅰa1＝4． 答案：D

解析：因为mⅠα，lⅠm，lα，所以lⅠα.同理可得lⅠβ.

又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 5． 答

案：D

解析：因为(1＋x)的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5，rⅠZ)，则含x的项为C5x

＋axC5x＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. 6．

4

答案：B

解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；

2

5

4

1. 9

rr

2

221

11，S=1+； 22111

当k＝3时，T ，S 1+ ；

2 322 31111

当k＝4时，T ，S 1+ ；…；

2 3 422 32 3 4

1111

当k＝10时，T ，S 1+ ，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，

2 3 4 102!3!10!

当k＝2时，T

所以B正确．

7． 答案：A

解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：

则它在平面zOx上的投影即正视图为8． 答案：D

解析：根据公式变形，a

，故选A.

lg6lg2lg10lg2lg14lg2

，b ，c ，因为lg 7＞lg 5 1 1 1

lg5lg5lg7lg7lg3lg3

lg2lg2lg2

＞lg 3，所以，即c＜b＜a.故选D.

lg7lg5lg3

9． 答案：B

解析：由题意作出

x 1,

所表示的区域如图阴影部分所示，

x y 3

作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结

合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得

a

11，所以a . 22

10． 答案：C

解析：Ⅰx0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，

x0)上不单调，故C不正确．

5

11． 答案：C

解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋则x0＝5－

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生

都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2

p

＝5，2

p. 2

p p

,0 ，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0) x ＋(y－y0)y＝0.

2 2

y02

将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.

2

p 2

由y0＝2px0，得16 2p 5 ，解之得p＝2，或p＝8.

2

又点F的坐标为

所以C的方程为y＝4x或y＝16x.故选

C.

2

2

12． 答案：B

第Ⅰ卷

解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图

所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为

(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以

AE BD 2.

14．答案：8

2

解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有Cn种取法，两数之和为5的有

(1,4)，(2,3)2种，所以

21241 ，即，解得n＝8.

n n 1 C214n n 1 14n

2

π 1 tan 111

解析：由tan ，得tan θ＝ ，即sin θ＝ cos θ.

4 1 tan 233

10222

将其代入sinθ＋cosθ＝1，得cos 1.

9

6