2024年4月7日发(作者：南外中考数学试卷)

2023年全国新课标2卷数学第21题

一、理科数学第11题

y

2

11.

设

A

，

B

为双曲线

x1

上两点，下列四个点中，可为线段

AB

中点的是（

）

9

2

A.

1,1

B.

-1,2

(

)

C.

1,3

D.

1,4

根据点差法分析可得

k

AB

k9

，对于

A

、

B

、

D

：通过联立方程判断交点个数，逐项分析

判断；对于

C

：结合双曲线的渐近线分析判断

.

21.

已知双曲线

C

的中心为坐标原点，左焦点为

25,0

，离心率为

5

．

（

1

）求

C

的方程；

（

2

）记

C

的左、右顶点分别为

A

1

，

A

2

，过点

4,0

的直线与

C

的左支交于

M

，

N

两点，

M

在第二象限，直线

MA

1

与

NA

2

交于点

P

．证明

:

点

P

在定直线上

.



【参考答案】

D

x

2

y

2

（

1

）

1

416

（

2

）证明见解析

.

【解题思路】

（

1

）由题意求得

a,b

的值即可确定双曲线方程；

（

2

）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线

MA

1

与

NA

2

的方程，

联立直线方程，消去

y

，结合韦达定理计算可得

此可证得点

P

在定直线

x=

1

上

.

x21



，即交点的横坐标为定值，据

x23

【解题思路】

x

2

y

2

（

1

）设双曲线方程为

2

2

1

a0,b0

，由焦点坐标可知

c25

，

ab

则由

e

c

5

可得

a2

，

bc

2

a

2

4

，

a

x

2

y

2

双曲线方程为

1

.

416

（

2

）由

(1)

可得

A

1

2,0

,A

2

2,0

，设

M

x

1

,y

1

,N

x

2

,y

2

，

显然直线的斜率不为

0

，所以设直线

MN

的方程为

xmy4

，且

11

m

，

22

x

2

y

2

22

与

1

联立可得

4m1

y32my480

，且

64(4m

2

3)0

，

416

则

y

1

y

2

32m48

,yy

，

12

22

4m14m1

直线

MA

1

的方程为

y

y

1

y

x2

，直线

NA

2

的方程为

y

2

x2

，

x

1

2

x

2

2

联立直线

MA

1

与直线

NA

2

的方程可得：

x2

y

2

x

1

2

y

2

my

1

2

my

1

y

2

2

y

1

y

2

2y

1



x2y

1

x

2

2

y

1

my

2

6

my

1

y

2

6y

1

4832m16m

22y2y

11

222

1

4m14m14m1



，

4848m

3

m

2

6y

1

6y

1

4m14m

2

1

x21



可得

x=

1

，即

x

P

1

，

由

x23

m

据此可得点

P

在定直线

x=

1

上运动

.


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