2024年4月14日发(作者：2016重庆中考数学试卷)

27.不定方程、方程组

知识纵横

不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无

穷多个,不能惟一确定.

对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,

解就可确定.

二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元

一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:

设a、b、c、d为整数,则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题:

(1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c没有整数解;

(2)若x

0

,y

0

是方程ax+by=c且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则

xx

0

bt

(t为整数)

yyat

0

是方程的全部整数解(称通解).

解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进

行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因

数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

例题求解

【例１】正整数m、n满足8m+9n=mn+6,则m的最大值为________.

(2000年新加坡数学竞赛题)

思路点拨 把m用含n的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合

整除知识,求出m的最大值.

解:75 提示:m=

9n666

=9+,n=9时,m最大值为75.

n8

n8

【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且

从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标

志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).

A.32千米 B.37千米 C.55千米 D.90千米

(2003年河南省竞赛题)

思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x、10+9y(x,y•为自然数),

- 1 -

问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.

解:选C 提示:x=

x13

79yy3

=2y+1+,4│y+3,

为所求的解.

4

4

y5

【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.

(2)求方程x+y=x

2

-xy+y

2

的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)

(3)求方程

1115



正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)

xyz6

思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公

式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1

1

1

1

≥≥,•将复杂

x

y

z

的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩

小其取值范围,求出其结果.

解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为

数).

解法2:x=-4y+

x4252t

(t为整

y1215t

t6t6

68y68y

,令=t

1

,得y=2t

1

-

1

,令

1

=t,得t=8t-6,

151588

x4252t

化简得

y1215t(t为整数)

(2)原方程化为(x-y)

2

+(x-1)

2

+(y-1)

2

=2,由此得方程的解为

(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)

(3)提示:

11

1

13153

<++≤,即<≤,

xx

y

z

xx

6

x

1

1

1511

1121

1

2

<+=-=≤+=， 即<≤,

x

y

z6

2

3

yyyy

3

y

由此得x=2或3,当x=2时,

由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,

由此可得当1≤x≤y≤z时,

(x,y,z)共有

(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),

(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)

【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,

最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?

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