2024年4月14日发(作者：郑州9年级数学试卷)

第10讲 因式分解的应用

如果你不能解决这个提出的问题，环视一下四周，找一个适宜

的有关的问题。辅助问题可能提供方法论的帮助。它可能提示解的

方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作等等。

——波利亚

知识方法扫描

因式分解是一种重要的恒等变形。利用恒等变形，我们可以解决许多数学问

题。如求代数式的值；证明不等式；处理与整数有关的一些问题：分解质因数、

判断数的整除性、求方程的整数解等。

经典例题解析

例1．（2005年东清市初中数学竞赛试题）已知正实数a,b,c满足方程组

ab

2

2ac29,

2

bc2ab17,

ca

2

2bc25.

求a+b+c的值。

解 三式相加，得：

(abc)(

2

a

2

b

2

c2ab2bc2)ca72

ca)b(c)720.

 (a+b

2

+

 [(a+b+c)+9][(a+b+c)-8]=0.

∵ a,b,c都是正实数，

 a+b+c+9>0.

 a+b+c=8.

例2 （1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若

a为正整数，则a

4

-3a

2

+9是质数还是合数？给出你的证明。

解 a

4

-3a

2

+9= a

4

+6a

2

+9-9a

2

=( a

2

+3)

2

-(3a)

2

=( a

2

+3a+3)( a

2

-3a+3)

=( a

2

+3a+3)[( a-1)(a-2)+1]

当a=1时，a

4

-3a

2

+9=7是质数；

当a=2时，a

4

-3a

2

+9=13是质数；

当a>2时, a

2

+3a+3>1, ( a-1)(a-2)+1>1,故a

4

-3a

2

+9是合数。

例3．(第17届江苏省初二数学竞赛试题)多项式x

2

-(a+5)x+5a-1能分解为两

个一次因式(x+b)，(x+c)的乘积, 则a的值应为多少？

解 因x

2

-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x

2

+(b+c)x+bc，故有

b+c=-a-5, bc=5a-1

1

消去a, 变形得 （b+5）(c+5)=-1

因 b，c是整数，故有b=-4,c=-6 或b=-6,c=-4。于是a=5

例4．设n是大于1的正整数，求证 n

4

+4是合数．

证明.n

4

+4=n

4

+4n

2

+4-4n

2

= (n

2

+2)

2

-4n

2

= (n

2

-2n+2) (n

2

+ 2n+ 2),

∵ n

2

+2n+2> n

2

-2n+2 =(n-1)

2

+1>1,∴ .n

4

+4是合数.

例5．(第9届华罗庚金杯数学邀请赛初二决赛试题)计算：

(7

4

64)(15

4

64)(23

4

64)(31

4

64)(39

4

64)

.

44444

(364)(1164)(1964)(2764)(33564)

解:a

4

64a

4

16a

2

6416a(a

2

8)

2

16a

2

(a

2

4a8)(a

2

4a8)

[(a2)

2

4][(a2)

2

4]

(5

2

4)(9

2

4)(13

2

4)(17

2

4)(21

2

4)(25

2

4)(29

2

4)(33

2

4)(37

2

4)(41

2

4)

原式

2

(14)(5

2

4)(9

2

4)(13

2

4)(17

2

4)(21

2

4)(25

2

4)(29

2

4)(33

2

4)(37

2

4)

41

2

4

2

337.

14

例6．（1985年北京市初二数学竞赛试题）若a是正整数，则

10|(a

1985

a

1949

)

。

2

证明

a

1985

a

1949

a

1949

(a

36

1)

a

1949

(a

2

1)(a

4

a

2

1)(a

12

a

6

1)

=

(a1)(a

2

a1)(a

6

a

3

1)(a

6

a

3

1)(a

2

a1)(a1)

当a的个位数字分别为0，1，2，…，9时，上式右端总含有因子2和5．这

样,

10|(a

1985

a

1949

).

例7．（上海市初中数学竞赛试题）设正数x、y、z满足不等式：

x

2

y

2

z

2

y

2

z

2

x

2

z

2

x

2

y

2

1,

2xy2yz

2zx

求证：以z、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形．

证明 将已知不等式变形为：

z(x

2

y

2

z

2

)x(y

2

z

2

x

2

)y(z

2

x

2

y

2

)2xyz0

zx

2

zy

2

z

3

xy

2

xz

2

x

3

yz

2

yx

2

y

3

2xyz0

(xz

2

yz

2

z

3

)(xy

2

yx

2

xyz)(x

3

y

3

)(zx

2

xyzzy

2

)0

z

2

(xyz)xy(xyz)(xy)(x

2

xy.y

2

)z(x

2

xyy

2

)0

(yzx)(zxy)(xyz)0

①

2

不妨设

xyz,

因x、y、z为正数，对于不等式①，只能有如下两种情况：

1．左边的三个因式都大于0； 2．左边的因式为二负一正．只要我们能推出第

一种情况成立，则原命题成立，但直接证比较困难，现假设不等式①左边三个因

式为二负一正，则有：

yzx

yzx

xxy



zxy

或

xyz

或

xyz

xyz

zxy

yzx



这与所设z≥y≥z矛盾，于是可知不等式①左边三个因式不能为二负一正，故

只能是不等式①左边三个因式都为正，即有：y+z>z，z+x>y，x+y>z成立，所以

原命题得证，即以x、y、z为长度的三条线段能构成一个三角形，

例8．（第37届国际数学奥林匹克备选题）在一个圆周上标记了4个整数，

规定一个方向，使每个整数都有相邻的下一个数，每一步操作是指对每一个数，

同时用该数与下一个数之差来替换，即对于a、b、c、d依次用a-b、b-c、c-d、

d-a来替换，问经过1996步这样的替换之后，是否可以得到4个数a、b、c、d，

使得|bc一ad|、|ac- bd|、|ab-cd|都是质数？

解 答案是否定的，下面证明，

设经过n次操作后得到的数依次是

a

k

,b

k

,c

k

,d

k

记n= 1996，则

b

n

c

n

a

n

d

n

(b

n1

c

n1

)(c

n1

d

n1

)(a

n1

b

n1

)(d

n1

c

n1

)

(a

n1

c

n1

)(a

n1

c

n1

b

n1

d

n1

)

(a

n1

c

n1

)[(a

n2

b

n2

)(c

n2

d

n2

)(b

n2

c

n2

)(d

n2

a

n2

)]

2(a

n1

c

n1

)(a

n2

c

n2

b

n2

d

n2

)

4(a

n1

c

n1

)(a

n3

c

n3

b

n3

d

n3

).

于是，

4|b

n

c

n

a

n

d

n

|

,

|b

n

c

n

a

n

d

n

|

不可能为质数。

同步训练

一 选择题

1．（2005·杭州市“思维数学”夏令营）请你估计一下

(2

2

1)(3

2

1)(4

2

1)(99

2

1)(100

2

1)

1

2

2

2

3

2

4

2

99

2

100

2

的值应该最接近于（ ）

11

1

(A) 1 (B) (C) (D)

2100

200

2．(第1届“希望杯”全国初中数学邀请赛题)已知数x＝

100

00100

0050

,



n个0n1个0

3

则( )

(A) x是完全平方数 (B)（x－50）是完全平方数

(C) （x－25）是完全平方数 (D)（x＋50）是完全平方数

3．（2002年江苏省初中数学竞赛试题）a、b、c是正整数, a＞b, 且a

2

－ab

－ac＋bc＝7, 则a－c等于（ ）

（A）－1 （B）－1或－7 （C） 1 （D） 1或7

4．已知：a,b,c是△

（ ）。

ABC的三边长，那么代数式（a

2

+b

2

-c

2

）

2

-4a

2

b

2

的值

（A）一定是正数（B）一定是负数（C）一定不是正数（D）一定不是负数

5．(1990年“缙云杯”数学竞赛试题)在1到100之间若存在整数n，使x

2

+x-n

能分解为两个整系数一次式之积，这样的n有（ ）个.

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 9

二 填空题

6．若a是自然数，且a

4

-4a

3

+15a

2

-30a+27是一个质数，则这个质数是

__________.

7．（2001年上海市初中数学竞赛试题）方程

1113



2

的整数解（x, y）

xy

xy

4

＝

__________.

8．（上海市初中数学竞赛试题）满足方程x

2

－2y

2

＝1的所有质数解（即x、

y都是质数的解）是 .

9．(1996年上海市初中数学竞赛试题)设一菱形的边长是一个两位数，对调

这个两位数的个位数码和十位数码，得到的新数恰为该菱形一条对角线长度的一

半，若该菱形另一条对角线长度也是整数，则该菱形的边长为 。

10．（第4届创新杯数学邀请赛试题）一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，

向右爬行了1

2

个单位长度后，向左爬行了2

2

个单位长度，再向右爬行了3

2

个单

位长度后，向左爬行了4

2

个单位长度。这样一直爬下去，最后向右爬行了9

2

个

单位长度后，向左爬行了10

2

个单位长度，到达A点。则A点表示的数

是 。

三 解答题

11. (1985年全国部分省市通讯赛试题) 计算：

1111

(1

4

)(3

4

)(5

4

)(19

4

)

4444

1111

(2

4

)(4

4

)(6

4

)(20

4

)

4444

12.（第24届全苏数学奥林匹克试题）n为怎样的自然数时，数3

2n+1

－2

2n+1

－6

n

是合数？

13．（第11届国际数学奥林匹克试题）证明存在无限多个自然数a有下列性

质：对任何自然数n，z＝n

4

＋a都不是素数．

14．(1986年江苏省初中数学竞赛试题)若p、q均为大于5的任意质数，证

明p

4

-q

4

总能被240整除

4


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