2024年4月17日发(作者：湖南学考专家版四数学试卷)
第24讲 抽屉原理二
内容概述
抽屉原理在教字、表格、图形等详细问题中有较困难的应用．能够依据已知条件合理地选取和设计“抽
屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子．
典型问题
爱好篇
1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？
2．17名同学参与一次考试，考试题是3道推断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了
3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？
3．随意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中随意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：
在从各个不同位置上截得的全部两位数中，肯定有两个相等．
4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于
8。
5．从l，2，3，…，99，100这100个数中随意选出51个数，请说明：
(1)在这51个数中，肯定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，肯定有两个数差1．
6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？
7．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中肯定有两个数的和为12？
8．(1)任给4个自然数，请说明：肯定有两个数的差是3的倍数；
(2)至少取几个数，才能保证肯定有两个数的差是7的倍数？
9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中肯定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的
两位数．
10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：肯定有两个点之间的距离不
大于1．
拓展篇
1．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式
是一样的．
2．随意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中随意截取相邻三位，可得一个三位数，
请证明：在从各个不同位置上截得的全部三位数中，肯定有两个相等．
3．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生
颗数一样多？
4．能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的
和互不相同？
5．从l至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于1007最多可以
取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？
6．假如在1，2，…，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？
7．从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？
8．从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中随意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出
多少个数？
9．请说明：随意5个数中必有3个数的和是3的倍数．
10．任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
11．有9个人，每人至少与另外5个人相互相识．试证明：可以从中找到3个人，他们彼此相相互识．
12．(1)在一个边长为1的正方形里放入3个点，以这3个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？
(2)在一个边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点任何三点不共线，请说明：这9个点中肯定
有3个点构成的三角形面积不超过
1
．
8
超越篇
1．从l至12这12个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？
2．(1)请说明：在随意的68个自然数中，必有两个数的差是67的倍数；
(2)请说明：在1，11，111，1111，…，这一列数中必有一个是67的倍数．
3．求证：对于随意的8个自然数，肯定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得
(a – b)×(c – d)×(e – f)是105的倍数．
4．从l至25这25个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于另两个
不同数的乘积．
5．25名男生与25名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生．
6．时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上随意做n个120°的扇形，
每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．假如从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个，这
3个扇形能覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．
7．(1)将一个5×5的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：肯定存在一个长方形，四个顶
点处的四个方格同色；
(2)将一个4×19的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：肯定存在一个长方形，四个
顶点处的四个方格同色．
8．从1至2000这2000个数中最多能选出多少个数，使得任何两个数的差既不等于4也不等于7?
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