2024年4月4日发(作者：数学试卷上出现表情包)

：　很多俗语都是人们对生活经验的概括总　

在忽略货币价值变化的前提下，假设家　

：结，它们未必准确，但总是有些道理的．如果　里的存款是　，一顿饭只需要花费ｍ，这些存　

：我们尝试用数学的眼光去分析这些俗语，会　

款也只能支撑Ｍ／ｍ顿饭，也就是说人是不可　

：　得到什么样的结果呢？　能永远吃闲饭吃下去的用数学的语言来说，　

上得山多终遇虎　

只要ｍ不是０，无论ｍ多么小，将很多同样的　

靠山吃山，靠水吃水．住在山边的人，馋　

ｍ

加起来，我们可以得到要多大有多大的数．　

：　了上山打猎，病了上山采药，总之上山是件很　这种性质叫做实数的阿基米德性质．　

：频繁的事．但在古代，环境还没有被破坏得这　利用阿基米德性质，我们能解释０．９９９…　

：　么厉害，山上有老虎也是常有的事．尽管一只　

１的问题．假设ｐ＝１＿０．９９９…，如果Ｐ不等于　

：　老虎的领地可达数平方公里，它也不是天天　

０的话，口就是一个正实数．根据阿基米德性　

：　在领地闲逛，所以上山打一次猎遇到老虎的　

质，总存在一个整数Ｍ，使得Ｍ×Ｐ≥１．于是　

：概率也不高．但对于那些天天上山打猎的老　

Ｐ≤１／Ｍ，１—１／Ｍ￣＞１－ｐ＝Ｏ．９９９…然而，这是不可　

：　猎人来说，在职业生涯中一次老虎都没有遇　能的，因为１／Ｍ总会在小数点后某一位开始　

：到过，倒是件稀奇事．　

非０，导致１—１／Ｍ不等于０．９９９…这个矛盾表明　

　：假设猎人每次上山打猎，遇到老虎的概　我们的假设是错误的，也就是说其实０．９９９…＝１．　

：率是Ｐ，也就是说遇不到老虎的概率是１一ｐ．那　很多我们常见的数都具有阿基米德性　

：　么，在ｍ次打猎中，每次都没有遇到过老虎的　

质，比如说有理数、实数、复数．当然，对于复　

：概率就是（１　）ｍ．只要有可能遇到老虎（相当　

数来说，“要多大有多大”就要重新定义了，一　

：于说ｐ＞０），当ｍ越来越大时，（１一ｐ）ｍ就会越　

般是用它的范数——他就是在复平面上与原　

：来越小，最终趋向于０．也就是说，尽管每次打　

点的距离来定义的．在复数里边，就应该是可　

猎遇到老虎的概率不高，但如果每天都去打　以得到范数要多大有多大的数．　

久赌必输　

：猎的话，总有一天会遇上的．　

：　可能有人会反过来想：我每次买彩票，中　从来只听过开赌场而富甲一方的，没听　

：头奖的概率都不是０，那么，总有一天我会中　过有赌徒能靠赌博过上幸福生活的，反倒是　

：头奖的这种想法既对又不对从理论上来说，　

家破人亡的不计其数．在赌场赌博的话，略去　

：　一直买下去的话的确总有一天会中奖，但是　抽头不谈，就连赌局本身也是对赌场有利的，　

：大概要买多少遍才会中头奖呢？以３６选７为　去赌场赌钱就相当于直接送钱给赌场老板．　

：例，中头奖的概率是１／Ｃ（３６，７），所以大概要买　

就算是一对一机会均等的赌局，要是一直赌　

：Ｃ（３６，７）期才会有一期中头奖，那是大概八百　下去的话，也总有一天会输光的，这就是“久　

：万期，也就是大概两万年．两万年后，福彩是　赌必输”．　

：否存在还是个问题．　

假设每盘赌局的赌注是１，而赌徒的财　

：　而对于猎人来说，每次上山遇虎的概率　产是ｎ．在每盘赌局中，赌徒有１／２的概率赢，　

：显然没有那么低．要是听到虎啸也算遇虎的　有１／２的概率输．那么，如果一直这样赌下去　

：话，大概打一千次猎就会有一次遇到老虎．对　的话，赌徒输光的概率是多少呢？　

舳于经常上山的猎人来说，大概十多年就有这　显然，赌徒的钱越多，输光需要的局数也　

越多．当赌徒的财产是ｎ时，我们记输光的概　

茎个数了，所以难怪“上得山多终遇虎”．　

Ａ■■坐吃山空　—…一一　

率为ｐ（　．因为每次赌局有一半的可能性赢，　

局　“坐吃山空”是告诫那些只愿吃闲饭不愿　

半的可能性输，赢的时候财产变成ｎ＋ｌ，输　

干活的人，无论家里有多少钱，总有一天要吃　

的时候变成ｎ一１，所以ｐ　）＝（ｐ　＋１）＋ｐ　一１））／２．　

当　＝０的时候，即使不用赌，所有的东西都输　

３２；光的．　

・　

・　

＝

一　

一

光了，所以ｐ（０）＝１．　

所以，ｐ可以看作一个满足下列递推关系　

的数列：ｐ（Ｏ）＝１，ｐ（ｎ＋１）＝２×ｐ（ｎ）－ｐ（ｎ～１），也就是　

ｐ（ｎ＋１）＿ｐ（ｎ）　（ｎ）－ｐ（ｎ－１），容易验证ｐ（ｎ）＝ｎ　Ｘｐ　

（１）一（ｎ－－１）正好符合上面的递推关系．因为ｐ（ｎ）　

＞０，所以对于任意的ｎ，必定有ｐ（１）≥１—１／ｎ．　

因此Ｐ（１）＝１，并且对于所有的ｎ，ｐ（ｎ）＝１．在无　

限次的赌博中，赌徒在某一次赌博中输光的　

概率是１．　

赌徒的赌博轨迹，可以用所谓的马尔可　

夫链来描述．把赌徒的财产值视为不同的状　

态，而每次赌局则相当于在这些状态之间转　

移，赢钱时转移到钱多些的状态，输钱时转移　

到钱少些的状态．而破产的状态就像个陷阱，　

是跳不出的，因为已经没有赌本了．所谓“久　

赌必输”，其实说的就是这么一个道理．　

摘自果壳网　

ｔ

——

意得　＋　＝１，解得　＝２４．经检验　＝２４是　

＝１２做甲公司单独　

一　

原方程的解．所以　

完成需要１２天；乙公司单独完成需要２４天．　

设甲公司单独做一天需要工钱Ｙ元，乙　

公司单独做一天需要工钱　元，根据题意，得　

ｆ６８　＋１　：＝８７０５００薹　所以甲公司单独　０解得｛

完成需要：７５０×１２＝９０００（元）；乙公司单独完　

成需要２５０×２４＝６０００（元）．因为９０００＞６０００，　

所以从节约开支角度考虑，应该选乙公司．　

上期《概率问题强化练习》参考答案　

１．Ｂ；２．Ａ；３．Ａ；４．Ａ；５．　１；６

１

．　

；７．÷；　

上期《＜分式＞拓展精练》参考答案　

１．Ａ；２．Ｂ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．一５；６．　ｉ

００

８．－４或２；９．下５６０００一

２００

８＿解：（１）’．‘ＡＡＢＣ的面积为：　１×３×　

４＝６，只有ＡＤＦＧ或Ｚ￣ＤＨＦ的面积也为６且不　

与ＡＡＢＣ全等，　

与ＡＡＢＣ不全等但面积相等的三角　

形是：ＡＤＦＧ或△Ｄ胛；　

（２）树状图略．　

由树状图可知共有出现的情况有ＡＤＨＧ，　

△ＤＨＦ，△ＤＧＦ，ＡＥＧＨ，△ＥＦＨ，△ＥＧＦ，６种　

可能的结果，其中与ＡＡＢＣ面积相等的有３　

种，即ＡＤＨＦ，ＡＤＧＦ，ＡＥＧＦ，　

・

．．

；７．　＿／＿；２　

：

—

２０；　

ｌ　１　

　一　ｌ

ｌｏ．解：由已知解得｛　ｌ６＝争　，　

化简原式＝一　

ａ＋ｂ　

．　

故所画三角形与ＡＡＢＣ面积相等的概率　

＝　．　

将ｎ，ｂ的值代入原式＝　．　

１１．解：（１）由分母为　一１，　

可设　２＋３　＋６：（　一１）（　＋口）＋６，　

贝０　＋３　＋６＝　＋（口一１）　＋（６一口）．　

对于任意　，上述等式均成立，　

・

’

．

－

．．

｛　：，解得｛ａ６＝：４ｏ　，　

ｘ２＋３ｘ

＋６

．

９．解：（１）５６÷２０％＝２８０（名），　

答：这次调查的学生共有２８０名；　

（２）２８０×１５％＝４２（名），　

２８０—４２—５６—２８—７０＝８４（名），　

补全条形统计图略，　

根据题意得：８４÷２８０＝３０％，　

３６０。×３０％＝１０８。．　

．

．

．

，

：　＋４＋　；　

一

（２）由分母为　＋１，　

可设一２ｘ４－ｘ２＋５＝（　＋１）（２ｘ　＋ｎ）＋６，　

则由一　＋５＝（　２＋１）（２ｘ２　）＋６＝　

２　＋２ｘ２－ａＴｅ　＋ｃ　６＝一２　＋（２－ａ）　＋（（　＋６）．　

对于任意　，上述等式均成立，　

・。

．

答：“进取”所对应的圆心角是１０８。；　

（３）由（２）中调查结果知：学生关注最多　

的两个主题为“进取”和“感恩”用树状图为：　

开始　

数　

‘

．

共２０种晴况，恰好选到“Ｃ”和“Ｅ”有２种，　

篇　

恰好选到“进取”和“感恩”两个主题　

‘＋ｌ　一　＋ｌ　

３３。　

１２．解：设乙公司单独完成需　天，根据题　

的概率是面１

・

．

．｛　５一，解得，　，　

．可－２ｘ４－ｘ％５＝２ｘＺ＋３＋　

一　

学　

・

．．

．　

．　

｛　


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