高考数学中的复合函数导数法则与应用

2024年4月12日发(作者：瑞安一模数学试卷答案高三)

高考数学中的复合函数导数法则与应用

高考数学作为一种重要的考试科目，涉及到很多数学知识和技

巧。其中，复合函数导数法则是一项非常重要的技巧之一。在本

篇文章中，我们将探讨这一技巧的基本原理以及在高考数学中的

应用。

一、复合函数导数法则的基本原理

复合函数导数法则是指当一个函数嵌套在另一个函数中时，如

何求出它们组合后的导数。具体来说，假设有函数f(x)和g(x)，则

它们的复合函数可以表示为f(g(x))，也就是f和g两个函数组合之

后的结果。那么，如何求出这个复合函数的导数呢？答案就是使

用复合函数导数法则。

具体地，设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))可以

表示为：

y=f(g(x))=f(u)|u=g(x)

这里表示在f(u)中，u=g(x)。根据链式法则，复合函数的导数

可以表示为：

dy/dx =dy/du×du/dx

也就是说，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数的乘积。

如果用符号来表示，就是：

(d/dx)f(g(x))=f\'(g(x))×g\'(x)

其中f\'(g(x))表示f关于g(x)的导数，g\'(x)表示g关于x的导数。

这就是复合函数导数法则的基本原理。

二、复合函数导数法则的应用举例

了解了复合函数导数法则的基本原理，下面我们来看一些应用

实例。

1、求解多项式函数的导数

多项式函数包括常数函数、一次函数、二次函数等等。举例来

说，假设有多项式函数f(x)=x^2+2x+3，我们要求其导数，则可以

使用复合函数导数法则。具体来说，设g(x)=x+1，则

f(x)=g(x)^2+1，即f(x)=g(x)^2+g(1)^2-1。根据复合函数导数法则，

可得f\'(x)=2g(x)g\'(x)，即：

f\'(x)=2(x+1)

因此，f(x)的导数为2x+2。

2、求解反三角函数的导数

反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等等，

它们的求导方式与一般的函数有所不同。举例来说，假设有反正

弦函数y=arcsin(2x)，我们要求其导数。我们可以使用复合函数导

数法则，设u=2x，则y=arcsin(u)，那么y\'可以表示为：

y\'=dy/du×du/dx

由于反正弦函数的导数公式是：

d(arcsin(x))/dx=1/√(1-x^2)

所以可得到：

dy/dx=dy/du×du/dx=(1/√(1-u^2))×2

将u=2x代入，可以得到：

dy/dx=(1/√(1-(2x)^2))×2

因此，反正弦函数y=arcsin(2x)的导数为：

y\'=2/√(1-(2x)^2)

三、总结

复合函数导数法则是高考数学中的重要知识点之一，它可以用

来求解多项式函数和反三角函数的导数等问题。理解复合函数导

数法则的基本原理，以及运用它来解决实际问题，对于高中生及

参加高考的学生来说，都具有非常重要的意义。希望大家能够好

好学习，掌握复合函数导数法则，取得好成绩！