复合函数求导法则

2024年4月12日发(作者：威远中考题型数学试卷)

复合函数求导法则

复合函数是指由两个或多个函数进行组合而成的新函数。例如，将函数f(x)和g(x)

组合而成的函数h(x)可以表示为 h(x) = f(g(x))。对于这样的函数，我们如何求导呢？

下面我们来介绍一下复合函数的求导法则。

一、链式法则

复合函数的求导法则可以用数学上的\"链式法则\"来表示。链式法则的含义是：如果y

是一个由x的函数所决定的变量，并且z是y的函数，那么z对x的导数等于z对y的导

数乘以y对x的导数。换句话说，链式法则就是把导数分解成两个因子的乘积的法则，其

中一个因子是从外面求导，另一个因子是从里面求导。

以y = f(g(x))为例，我们来看一下如何应用链式法则来计算y对x的导数：

首先，我们把复合函数y表示成两个单独的函数g和f的乘积，即：

y = f(g(x)) = f(u)

其中u = g(x)，表示g(x)作为中间变量。

然后，我们对f(u)求导，即：

其中f\'(u)表示f关于u的导数，即f的斜率，它等于f在u处的切线斜率。

u\' = g\'(x)

把上述式子代入y\' = f\'(u) * u\'，即可得到y对x的导数：

这就是链式法则的公式，它告诉我们如何计算一个复合函数的导数。

二、实例演练

为了更好地理解链式法则，我们在这里介绍一个例子，假设有一个复合函数：

f(x) = e^(3x^2 + 2x + 1)

其中，u\'表示u关于x的导数，即

u\' = 6x + 2

这就是函数f(x)的导数了。

三、结论

通过上述分析，我们可以得出以下结论：

1. 对于由两个或多个函数组合而成的复合函数，我们可以用链式法则来求导。

2. 链式法则的公式为y\' = f\'(g(x)) * g\'(x)，其中f和g分别表示外层和内层的函

数，f\'和g\'分别表示它们的导数。

3. 在应用链式法则时，需要将复合函数表示成两个单独的函数的乘积，并对它们分

别求导。最后，将求得的导数乘起来，就得到了复合函数的导数。

4. 熟练掌握链式法则对于解决复合函数求导问题非常重要，这是求导学习中的基础

内容，也是后续更复杂问题的基础。