2024年3月21日发(作者：6下数学试卷三单元)
离散数学 考试题(后附详细答案)
一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 用命题逻辑把下列命题符号化
a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b) 我今天进城，除非下雨。
c) 仅当你走，我将留下。
2. 用谓词逻辑把下列命题符号化
a) 有些实数不是有理数
b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.
二、简答题（共6道题，共32分）
1. 求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋
值。（5分）
2. 设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）
a) xy(x+y=4)
b) yx (x+y=4)
3. 求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分）
4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
a) （AB）－C=(A-B) (A-C)
b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|
5.
a)
b)
6.
设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）
A上有多少种不同的等价关系？
从A到A的不同双射函数有多少个？
设有偏序集
极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)
f g
d e
b c
a
图1
7. 已知有限集S={a
1
,a
2
,…,a
n
},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数
S;P(S);N,N
n
;P(N);R,R×R,{o,1}（写出即可）(6分)
三、证明题（共3小题，共计40分）
1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分）
a) A→(B∧C),(E→F)→C, B→(A∧S)B→E
b) x(P(x)→Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，xR(x) xP(x)
2. 设R
1
是A上的等价关系，R
2
是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R满足：
< 1 ,y 1 >, 2 ,y 2 >>∈R，当且仅当< x 1 , x 2 >∈R 1 且 1 ,y 2 >∈R 2 。试证明：R是A×B上的 等价关系。（10分） 3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1]和(a,b)等势。（10分） N 4. 设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R 的商集A/R有r个元素，证明：rs≥n。（10分） 四、应用题（10分） 在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单 向的，有a→b, a→c, b→g, g→b, c→f, f→e, b→d, d→f.对每一个城市求出从它出发 所能够到达的所有其他城市。 2 离散数学 考试题答案 一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分） 1. 用命题逻辑把下列命题符号化 a) 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S 表示命题“在家看报”，命题符号化为：（P⇄Q）(P⇄RS) b) 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→ Q c) 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P 2. 用谓词逻辑把下列命题符号化 a) 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为： x(R(x) Q(x)) 或 x(R(x) →Q(x)) b) 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为： x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1)))) c) 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示 “x=y”, 命题符号化为： F(f)⇄a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题（共6道题，共32分） 1. (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR) (（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）). (（PQR） (PQR)) ((PQR) （PQR）) (PQR)(PQR) 这是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 （PQR（PQR（PQR（PQR（PQR （PQR 2. a) T b) F 3. x(F(x)→G(x))→( x(F(x)→G(x))→ xF(x)→ y xG(x)) x(F(x)→G(x))→( xy yF(y)→zG(z)) z(F(y)→G(z)) z((F(x)→G(x))→ (F(y)→ G(z))) 4. a) 真命题。因为（AB）－C=（AB）~C=（A~C）（B~C）=（A-C） （B-C） b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfB,故 命题成立。 5. a) 52 b) 5!=120 6. B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合 是{a,b}、上确界是g、下确界是b. 7. K[S]=n; K[P(S)]= 2 n ; K[N]= 0 ,K[N n ]= 0 , K[P(N)]=; K[R]=, K=[R×R]= ,K[{0,1}]= 三、证明题（共3小题，共计40分） 1. a) 证 （1）B P(附加条件) （2）B→(A∧S) P (3) A∧S T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A→(B∧C) P (6) B∧C T(4)(5) I (7) C T(6) I (8) (E→F)→C P (9) (E→F) T(7)(8) I (10) E∧F T(9) E (11) E T(10) I (12) B→E CP b) 证 (1) xR(x) P (2) R(c) ES(1) (3) x(Q(x)∨R(x)) P (4) Q(c)∨R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) x(P(x)→Q(x)) P (7) P(c)→Q(c) US(6) (8) P(c) T(5)(7) I (9) xP(x) EG(8) 2. 证 任取 1 2 < 任取< < 1 2 1 2 < 故R是对称的。 任取< < 1 2 1 2 ( 1 1 )( 2 2 ) 1 2 < ∈R, 故R是传递的。 综上所述R是A×B上的等价关系。 3. 证 构造函数f：（0,1]→(a,b)，f(x)= N ab x ,显然f是入射函数 22 x a ,显然g是入射函数， b a 构造函数g: (a,b)→（0,1]， g ( x ) 故（0,1]和(a,b)等势。 2 m 1 2 m 2 m r 2 m 1 m 2 m r sn 2 由于 ，所以 2 r r rr 2 4. 证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m 1 ,m 2 ,…,m r ，由于一个划分对应一个等 22 价关系，m 1 +m 2 +…+m r =n， m 1 m 2 m r 2 s 2 m 1 2 m 2 m r 2 m 1 m 2 m r 由于 （r个数的平方的平均值大于等于这 rr 2 sn 2 r个数的平均值的平方），所以 2 ，即 rsn 2 r r 四、应用题（10分） 解 把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A上定义二元关系R， ∈R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即 R={ 那么该问题即变为求R的传递闭包。 0 0 0 0 利用Warshal算法，求得t(R)= 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 000000 000100 101111 000000 0 0 0 0 0 0 0 0 那么从城市x出发能到达的城市为 (t(R)I A )[{x}]{y|x,yt(R)xy} ， 故有 (t(R)I A )[{a}]{b,c,d,e,f,g} (t(R) I A )[{b}] {d,e,f,g} (t(R) I A )[{c}] {e,f} (t(R) I A )[{d}] {e,f} (t(R) I A )[{f}] {e} (t(R) I A )[{g}] {b,d,e,f} (t(R)I A )[{e}](t(R)I A )[{e}] 总黄酮 生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。在自 然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花 色苷及新黄酮类等。 简介 近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空 前的重视。类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清 除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。它们对健康的好处有：（ 1 ） 抗 炎症 （ 2 ） 抗过敏 （ 3 ） 抑制细菌 （ 4 ） 抑制寄生虫 （ 5 ） 抑制病毒 （ 6 ） 防 治肝病 （ 7 ） 防治血管疾病 （ 8 ） 防治血管栓塞 （ 9 ） 防治心与脑血管疾病 （ 10 ） 抗肿瘤 （ 11 ） 抗化学毒物 等。天然来源的生物黄酮分子量小，能被人体迅速吸收，能通过血 脑屏障，能时入脂肪组织，进而体现出如下功能：消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张毛细血 管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。 近年来国内外对 茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验，证实类黄酮既是药理因子， 又是重要的营养因子为一种新发现的营养素，对人体具有重要的生理保健功效。目前，很多著名的 抗氧化剂和自由基清除剂都是类黄酮。例如，茶叶提取物和银杏提取物。葛根总黄酮在国内外研究 和应用也已有多年，其防治动脉硬化、治偏瘫、防止大脑萎缩、降血脂、降血压、防治糖尿病、突 发性耳聋乃至醒酒等不乏数例较多的临床报告。从法国松树皮和葡萄籽中提取的总黄酮 \" 碧萝藏 \"-- （英文称 PYCNOGENOL ）在欧洲以不同的商品名实际行销应用 25 年之久，并被美国 FDA 认可为食用黄酮类营养保健品，所报告的保健作用相当广泛，内用称之为 \" 类维生素 \" 或抗自由 基营养素，外用称之为 \" 皮肤维生素 \" 。进一步的研究发现碧萝藏的抗氧化作用比 VE 强 50 倍，比 VC 强 20 倍，而且能通过血脑屏障到达脑部，防治中枢神经系统的疾病，尤其对皮肤的 保健、年轻化及血管的健康抗炎作用特别显著。在欧洲碧萝藏已作为保健药物，在美国作为膳食补 充品（相当于我国的保健食品），风行一时。随着对生物总黄酮与人类营养关系研究的深入，不远 的将来可能证明黄酮类化合物是人类必需的微营养素或者是必需的食物因子。性状：片剂。 功能主治与用法用量 功能主治：本品具有增加脑血流量及冠脉血流量的作用，可用于缓解高血压症状（颈项强痛）、 治疗心绞痛及突发性耳聋，有一定疗效。 用法及用量：口服：每片含总黄酮６０ｍｇ，每次 ５片，１日３次。 不良反应与注意 不良反应和注意：目前,暂没有发现任何不良反应. 洛伐他丁 【中文名称】： 洛伐他丁 【英文名称】： Lovastatin 【化学名称】：(S)-2-甲基丁酸-(1S,3S,7S,8S,8aR)-1,2,3,7,8,8a-六氢-3,7-二甲基 -8-[2-(2R,4R)-4-羟基-6氧代-2-四氢吡喃基]-乙基]-1-萘酯 【化学结构式】： 洛伐他丁结构式 【作用与用途】洛伐他丁胃肠吸收后，很快水解成开环羟酸，为催化胆固醇合成的早期限速酶（HMG －coA还原酶）的竞争性抑制剂。可降低血浆总胆固醇、低密度脂蛋白和极低密度脂蛋白的胆固醇 含量。亦可中度增加高密度脂蛋白胆固醇和降低血浆甘油三酯。可有效降低无并发症及良好控制的 糖尿病人的高胆固醇血症，包括了胰岛素依赖性及非胰岛素依赖性糖尿病。 【 用法用量】口服：一般始服剂量为每日 20mg，晚餐时1次顿服，轻度至中度高胆固醇血症的病 人，可以从10mg开始服用。最大量可至每日80mg。 【注意事项】①病人既往有肝脏病史者应慎用本药，活动性肝脏病者禁用。②副反应多为短暂性的： 胃肠胀气、腹泻、便秘、恶心、消化不良、头痛、肌肉疼痛、皮疹、失眠等。③洛伐他丁与香豆素 抗凝剂同时使用时，部分病人凝血酶原时间延长。使用抗凝剂的病人，洛伐他丁治疗前后均应检查 凝血酶原时间，并按使用香豆素抗凝剂时推荐的间期监测。 他汀类药物 他汀类药物(statins)是羟甲基戊二酰辅酶A（HMG-CoA）还原酶抑制剂，此类药物通过竞争性 抑制内源性胆固醇合成限速酶(HMG-CoA)还原酶，阻断细胞内羟甲戊酸代谢途径，使细胞内胆固 醇合成减少，从而反馈性刺激细胞膜表面(主要为肝细胞)低密度脂蛋白(low density lipoprotein， LDL)受体数量和活性增加、使血清胆固醇清除增加、水平降低。他汀类药物还可抑制肝脏合成载 脂蛋白B-100，从而减少富含甘油三酯AV、脂蛋白的合成和分泌。 他汀类药物分为天然化合 物(如洛伐他丁、辛伐他汀、普伐他汀、美伐他汀)和完全人工合成化合物(如氟伐他汀、阿托伐他汀、 西立伐他汀、罗伐他汀、pitavastatin)是最为经典和有效的降脂药物，广泛应用于高脂血症的治疗。 他汀类药物除具有调节血脂作用外，在急性冠状动脉综合征患者中早期应用能够抑制血管内皮的炎 症反应，稳定粥样斑块，改善血管内皮功能。延缓动脉粥样硬化（AS）程度、抗炎、保护神经和 抗血栓等作用。 结构比较 辛伐他汀（Simvastatin）是洛伐他汀（Lovastatin）的甲基化衍化物。 美伐他汀（Mevastatin， 又称康百汀，Compactin）药效弱而不良反应多，未用于临床。目前主要用于制备它的羟基化衍化 物普伐他汀（Pravastatin）。 体内过程 洛伐他汀和辛伐他汀口服后要在肝脏内将结构中的其内酯环打开才能转化成活性物质。 相对于洛伐他汀和辛伐他汀，普伐他汀本身为开环羟酸结构，在人体内无需转化即可直接发挥药理 作用，且该结构具有亲水性，不易弥散至其他组织细胞，极少影响其他外周细胞内的胆固醇合成。 除氟伐他汀外，本类药物吸收不完全。 除普伐他汀外，大多与血浆蛋白结合率较高。 用药注意 大多数患者可能需要终身服用他汀类药物，关于长期使用该类药物的安全性及有效性的临床研 究已经超过10年。他汀类药物的副作用并不多，主要是肝酶增高，其中部分为一过性，并不引起持 续肝损伤和肌瘤。定期检查肝功能是必要的，尤其是在使用的前3个月，如果病人的肝脏酶血检查 值高出正常上线的3倍以上，应该综合分析病人的情况，排除其他可能引起肝功能变化的可能，如 果确实是他汀引起的，有必要考虑是否停药；如果出现肌痛，除了体格检查外，应该做血浆肌酸肌 酸酶的检测，但是横纹肌溶解的副作用罕见。另外，它还可能引起消化道的不适，绝大多数病人可 以忍受而能够继续用药。
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