2024年3月15日发(作者：宁波中学高考数学试卷真题)

2022北京市海淀区高三二模数学试卷

2022．05

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将

本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合

A=xx0或x1

，则

ð

R

A=

（A）

x0x1

（C）

x0x1

3



（B）

x0x1





（D）

x0x1



（2）在

(

1−2x

)

的展开式中，

x

的系数为

（A）

−2

（B）2 （C）

−6

（D）6

x

2

y

2

（3）已知双曲线

C:

2

−

2

=1

的渐近线经过点（1,2），则双曲线的离心率为

ab

（A）

2

（B）

3

（C）2 （D）

5

（4）已知

x,yR

，且

x+y0

，则

（A）

11

+0

xy

（B）

x+y0

33

（C）

lg(x+y)0

（D）

sin(x+y)0

x+a,x0

（5）若

f(x)=

是奇函数，则

bx−1,x0

（A）

a=1,b=−1

2

（B）

a=−1,b=1

（C）

a=1,b=1

（D）

a=−1,b=−1

L

)

在抛物线上。若

P

n+1

F−P

n

F=1

，则 （6）已知

F

为抛物线

y=4x

的焦点，点

P

n

(

x

n

,y

n

)(

n=1,2,3，

（A）

x

n

是等差数列

（C）

y

n

是等差数列

（B）

x

n

是等比数列

（D）

y

n

是等比数列

（7）已知向量

a=(1,0)

，

b=(−1,3)

。若

c,a=c,b

，则

c

可能是

（A）

2a−b

（B）

a+b

（C）

2a+b

（D）

3a+b

（8）设函数

f

(

x

)

的定义域为

R

，则“

f

(

x

)

是

R

上的增函数”是“任意

a0

，

y=f

(

x+a

)

−f

(

x

)

无零点”的

（A）充分而不必要条件

（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

1 / 12

（9）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位

移

y

与时间

t

（单位：

s

）的关系符合函数

y=Asin

(

wt+

)

(

100

)

。从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片。已知连拍的间

隔为0．01s，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一

样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为

（A）9,15 （B）6,18 （C）4,11,18 （D）6,12,18

1O）在正方体

ABCD−A\'B\'C

D\'

中，

E

为棱

DC

上的动点，

F

为线段

B

E

的中点。给出下列四个

①

B\'E⊥AD\'

；

②直线

D

F

与平面

ABB\'A\'

所成角不变；

③点

F

到直线

AB

的距离不变；

④点

F

到

A,D,D\',A\'

四点的距离相等。

其中，所有正确结论的序号为

（A）②③

（C）①③④

（B）③④

（D）①②④

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知

a,b

均为实数。若

b+i=i

(

a+i

)

，则

a+b=

_________．

1

（12）不等式



1

的解集为_________．

2

（13）已知圆

C:x+y+2x=0

，则圆

C

的半径为_________；若直线

y=kx

被圆

C

截得的弦长为1，则

k=

_________．

（14）已知

f

(

x

)

=sinx+cosx

的图象向右平移

a

(

a0

)

个单位后得到

g

(

x

)

的图象，则函数

g

(

x

)

的最大值为

_________；若

f

(

x

)

+g

(

x

)

的值域为

0

，则a的最小值为_________．

（15）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的。选用正实数数列

a

n

，

b

n

分别表示两组信息的传输链

上每个节点处的信息强度，数列模型：

a

n+1

=2a

n

+b

n

,b

n+1

=a

n

+2b

n

(n=1,2L)

，描述了这两组信息在互相影响

之下的传播演化过程。若两组信息的初始信息强度满足

a

1

b

1

，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：

①

nN,a

n

b

n

n；

②

nN,a

n+1

a

n

,

*

*

x

22

b

n+1

b

n

；

a

n

−110

−10

b

n

a

n+1

−210

−10

．

a

n

2 / 12

③

kN

*

，使得当

nk

时，总有

④

kN

*

，使得当

nk

时，总有

其中，所有正确结论的序号是_________

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题共14分）

如图，已知四棱锥

P−ABCD

中，底面

ABCD

是边长为2的菱形，

ABC=60

，

PA⊥

底面

ABCD

，

PA=2

，点

E

是

PC

的中点。

（I）求证：

DC//

面

ABE

；

（Ⅱ）求

DC

到平面

ABE

的距离。

（17）（本小题共13分）

在

△ABC

中，

7a=6bcosB

．

（I）若

sin

A=

3

，求

B

；

7

（Ⅱ）若

c=8

，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使

△ABC

存在。求

△ABC

的面积

条件①：； 条件②：

sinB=

3

2

（18）（本小题共14分）

PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势。下图是国家统计局发布的某年12

个月的制造业和非制造业PMI值趋势图。将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和

预测

（I）现从制造业的10个观测组中任取一组，

（ⅰ）求组内三个PMI值至少有一个低于50．0的概率；

（i）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好。设

X

表示抽取的观测组中经济向好的月份的

个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求

X

的分布列与数学期望；

（Ⅱ）用

b

j

(j=1,2，L，12)

表示第

j

月非制造业所对应的PMI值，

b

表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直

接写出

b

j

−b

取得最大值所对应的月份．

（19）（本小题共14分）

3 / 12

x

2

y

2

3

椭圆

M:

2

+

2

=1(ab0)

的左顶点为

A

(

−2,0

)

，离心率为．

2

ab

（I）求椭圆

M

的方程；

3

（Ⅱ）已知经过点

0,

，的直线

l

交椭圆

M

于

B,C

两点，

D

是直线

x=−4

上一点。若四边形

ABCD

为平行四

2



边形，求直线

l

的方程。

（20）（本小题共15分）

已知函数

f

(x)=ln

1−xa

+

．

2x

（I）当

a=0

时，求曲线

y=f

(

x

)

在点

(−1,f(−1))

处的切线方程；

（Ⅱ）当

a=−

1

时，求函数

f

(

x

)

的单调区间；

2

（Ⅲ）当

x0

时，

f

(

x

)

（21）（本小题共15分）

1

恒成立，求

a

的取值范围。

2

已知有限数列

a

n

共M项

(M4)

，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全

等。将数列

a

n

的各项和记为

S

．

（I）若

a

n

{1,2}(n=1,2,L,M)

，直接写出

M,S

的值；

（Ⅱ）若

a

n

1,2,3

(n=1,2,L,M)

，求

M

的最大值；

（Ⅲ）若

a

n

N(n=1,2,L,M),M=16

，求

S

的最小值．

4 / 12

*

2022北京市海淀区高三二模数学试卷

参考答案

2022.05

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题

号

答

案

（

1

）

（

2

）

（

3

）

（

4

）

（

5

）

（

6

）

（

7

）

（

8

）

（

9

）

（

10

）

D C D B C A C A D C

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

题号

答案

（

11

）

0

（

12

）

{x|x0}

（

13

）

1

；

3

（

14

）

2；π

（

15

）

①②③

说明：

13

题、

14

题两空前

3

后

2

；

15

题全选对

5

分，漏选

1

个

3

分，漏选

2

个

2

分，不选

0

分。

12

题写

(−,0)

也可以。

三、解答题共6小题，共85分。

（

16

）（本小题共

14

分）

解：（Ⅰ）因为菱形

ABCD

中，

AB

∥

CD

，

又因为

CD

平面

ABE

，

AB

平面

ABE

，

所以

CD

∥平面

ABE

.

（Ⅱ）连接

AC

，因为

AB=BC

，

ABC=60

o

，

所以三角形

ABC

为等边三角形.

取

BC

中点

M

，连接

AM

，则

AM⊥BC

，

又因为

AD

∥

BC

，所以

AM⊥AD

.

因为

PA⊥

平面

ABCD

，

AD

平面

ABCD

，

AM

平面

ABCD

，

所以

PA⊥AD,PA⊥AM

.

如图建立空间直角坐标系

A−xyz

，

5 / 12

则

A(0,0,0)

，

B(3,−1,0)

，

D(0,2,0)

，

31

P(0,0,2)

，

C(3,1,0)

，

E(,,1)

22

uuur

所以

AB=

z

P

(

uuur

31

，

3,−1,0

，

AE=

2

,

2

,1



)

E

A

D

B

x

MC

y

uuur

AD=

(

0,2,0

)

，

r

设平面

ABE

的法向量为

n=

(

x,y,z

)

，则

r

r

u

uu

3x−y=0

nAB=0

，即

3

.

r

r

uuu

1

x+y+z=0

nAE=0

22

令

x=1

，则

y=3

，

z=−3

，

于是

n=1,3,−3

.

uuur

r

ADgn

23221

=

则

DC

到平面

ABE

的距离为

d=

r

=

.

n7

7

r

()

（17）（本小题13分）

解：（Ⅰ）由正弦定理

ab

及

7a=6bcosB

，

=

sinAsinB

得

7sinA=6sinBcosB=3sin2B

.

因为

sinA=

3

，所以

sin2B=1

.

7

又因为

0Bπ

，

所以

B=

π

.

4

3

.

2

（Ⅱ）法1：选条件②：

sinB=

由

7a=6bcosB

可知

cosB0

,所以

0B

π

3

可得

B

=

.

2

3

7a

3

π

.

2

所以由

sinB=

所以

7a=6bcosB=3b

，即

b=

由余弦定理

b

2

=a

2

+c

2

−2accosB

及

c=8

，

得

(

7a

2

1

)=a

2

+8

2

−2a8

，

32

6 / 12


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