2022年北京市东城区中考数学二模试卷及答案解析

2024年3月15日发(作者：贵州省二模数学试卷难度)

2022

年北京市东城区中考数学二模试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个。

1．（2分）国家速滑馆又称“冰丝带”，是2022年北京冬季奥运会唯一新建的冰上竞赛场馆．它

采用全冰面设计，冰面面积达12000平方米，将12000用科学记数法表示应为（

A．0.12×10

5

B．1.2×10

4

C．1.2×10

5

D．12×10

3

2．（2分）如图是某一几何体的展开图，该几何体是（）

A．三棱柱B．四棱柱C．圆柱D．圆锥

3．（2分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠BOD＝30°，则∠AOC的大小为（

A．120°B．130°C．140°D．150°

4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

5．（2分）方程组的解是（）

A．B．C．D．

6．（2分）下列运算结果正确的是（）

中考数学二模试卷第1页（共9页）

）

）

A．3a﹣a＝2

C．（a+2）（a﹣2）＝a

2

﹣4

B．a

2

•a

4

＝a

8

D．（﹣a）

2

＝﹣a

2

7．（2分）在平面直角坐标系中，将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，

则平移后的点的坐标是（

A．（1，3）

）

C．（1，7）D．（7，3）B．（7，7）

8．（2分）从1980年初次征战冬奥会，到1992年取得首枚冬奥会奖牌，再到2022年北京

冬奥会金牌榜前三，中国的冰雪体育事业不断取得突破性成绩．历届冬奥会的比赛项目

常被分成两大类：冰项目和雪项目．根据统计图提供的信息，有如下四个结论：

①

中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次；

②

中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次；

③

中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数逐年提高；

④

中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数．

上述结论中，正确的有（

A．1个

）

C．3个D．4个B．2个

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）若分式的值为0，则x的值是

．

．

．

10．（2分）分解因式：2x

2

﹣12x+18＝

11．（2分）写一个当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式

12．（2分）计算：＝．

第2页（共9页）中考数学二模试卷

13．（2分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个

“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小

孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛

火焰的高度是cm．

14．（2分）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球

后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率

为．

15．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆

过C，D两点，则sin∠BCD的值为．

16．（2分）在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的

卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的

那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五

位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡

片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：

17，则丙同学手里拿的卡片的数字是．

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题5分，第24题

5分，第25-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步

骤或证明过程

中考数学二模试卷第3页（共9页）

17．（5分）计算：（﹣1）

2022

+﹣（）

1

+

﹣

sin45°．

18．（5分）解不等式6﹣4x≥3x﹣8，并写出其正整数解．

19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC．

求作：直线AD，使得AD∥BC．

小明的作法如下：

①

以点A为圆心、适当长为半径画弧，交BA的延长线于点E，交线段AC于点F；

②分别以点E，F为圆心、大于EF的长为半径画弧，两弧在∠EAC的内部相交于点D；

③

画直线AD．

直线AD即为所求，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：由作法可知：AD平分∠EAC．

∴∠EAD＝∠DAC（

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C

∵∠EAC＝∠B+∠C，

∴∠EAC＝2∠B．

∵∠EAC＝2∠EAD，

∴∠EAD＝

∴AD∥BC（

．

）．（填推理的依据）

）．（填推理的依据）

20．（5分）已知关于x的一元二次方程x

2

﹣2kx+k

2

﹣1＝0．

（1）不解方程，判断此方程根的情况；

（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣2k

2

+8k+5的值．

中考数学二模试卷第4页（共9页）

21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，

交CB的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的边长．

22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）经过点A（2，﹣1），

直线l：y＝﹣2x+b经过点B（2，﹣2）．

（1）求k，b的值；

（2）过点P（n，0）（n＞0）作垂直于x轴的直线，与双曲线y＝（k≠0）交于点C，

与直线l交于点D．

①

当n＝2时，判断CD与CP的数量关系；

②

当CD≤CP时，结合图象，直接写出n的取值范围．

23．（6分）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝90°，在CB上截取CD＝CA，过点D

作DE⊥AB于点E，连接AD，以点A为圆心、AE的长为半径作⊙A．

（1）求证：BC是⊙A的切线；

（2）若AC＝5，BD＝3，求DE的长．

中考数学二模试卷第5页（共9页）

24．（5分）某研究中心建立了自己的科技创新评估体系，并对2021年中国城市的科技创新

水平进行了评估．科技创新综合指数由科技创新总量指数和科技创新效率指数组成（以

下简称：综合指数、总量指数和效率指数）．该研究中心对2021年中国城市综合指数得

分排名前40的城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

a．综合指数得分的频数分布表（数据分成6组：65.0x≤70.0，70.0≤x＜75.0，75.0≤x

＜80.0，80.0≤x＜85.085.0≤x＜90.0，90.0≤x＜95.0）：

综合指数得分

65.0x≤70.0

70.0≤x＜75.0

75.0≤x＜80.0

80.0≤x＜85.0

85.0≤x＜90.0

90.0≤x＜95.0

合计

频数

8

16

8

m

2

1

40

b．综合指数得分在70.0≤x＜75.0这一组的是：70.0，70.4，70.6，70.7，71.0，71.0，71.1，

71.2，71.8，71.9，72.5，73.8，74.0，74.4，74.5，74.6．

c．40个城市的总量指数与效率指数得分情况统计图：

╞

（数据来源于网络《2021年中国城市科技创新指数报告》）

中考数学二模试卷第6页（共9页）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）综合指数得分的频数分布表中，m＝

（2）40个城市综合指数得分的中位数为

（3）以下说法正确的是．

；

；

①

某城市创新效率指数得分排名第1，该城市的总量指数得分大约是86.2分；

②

大多数城市效率指数高于总量指数，可以通过提升这些城市的总量指数来提升城市的

综合指数．

25．（6分）小强用竹篱笆围一个面积为平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几米长的

竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过

程．

（1）建立函数模型：

设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为米（用含x的代数

式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系

式；

（2）列表：

根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如表：

x

y

表中a＝

10

，b＝

1

6

；

2

a

34

b

5

（3）描点、画出函数图象：

如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点（2，a），

据描出的点画出该函数的图象；

（4）解决问题：

根据以上信息可得，当x＝

米．

时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为

补充完整，并根

中考数学二模试卷第7页（共9页）

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax

2

+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．

（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；

（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；

（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．

27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝2α，在△ABC的外侧作直线AP（90°

﹣a＜∠PAC＜180°﹣2a），作点C关于直线AP的对称点D，连接AD，BD，BD交直线

AP于点E．

（1）依题意补全图形；

（2）连接CE，求证：∠ACE＝∠ABE；

（3）过点A作AF⊥CE于点F，用等式表示线段BE，2EF，DE之间的数量关系，并证

明．

中考数学二模试卷第8页（共9页）

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P（3，0）的直线l，有如下定

义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值

为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d（G，l），此时点Q称为图形G关于直线l

的最佳射影点．

（1）如图1，已知A（2，2），B（3，3），写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d（AB，

x轴）＝；

，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x（2）已知点C（3，2），⊙C的半径为

轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；

（3）直接写出点D（0，）关于直线l的最佳射影距离d（点D，l）的最大值．

中考数学二模试卷第9页（共9页）

2022

年北京市东城区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个。

1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：12000＝1.2×10

4

．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．

【解答】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧

面，因此该几何体是三棱柱，

故选：A．

【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．

3．【分析】利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．

【解答】解：∵OC⊥OD，

∴∠COD＝90°，

∵∠BOD＝30°，

∴∠BOC＝60°；

∵∠AOC+∠BOC＝180°，

∴∠AOC＝120°．

故选：A．

【点评】本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题关键是找准互余的两角、互补的

两角．

4．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

中考数学二模试卷参考答案第1页（共17页）

C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合．

5．【分析】用加减法解二元一次方程组．

【解答】解：

①

+

②

，得x＝1，

把x＝1代入

①

，得y＝2，

故选：A．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关

键．

6．【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算

法则正确计算即可求出正确答案．

【解答】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，

根据同底数幂的乘法运算法则可得a

2

•a

4

＝a

6

，故B项不符合题意，

根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a

2

﹣4，故C项符合题意，

（﹣a）

2

＝a

2

，故D项不符合题意，

故选：C．

【点评】本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂

的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．

7．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．

【解答】解：将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，

则平移后的点的坐标是（4﹣3，5+2），

即（1，7），

故选：C．

【点评】此题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标与图形的平移的关系．

8．【分析】根据统计图逐一判断即可．

中考数学二模试卷参考答案第2页（共17页）

，

【解答】解：由题意可知，中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以

来最多的一次，故

①

说法正确；

中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次，故

②

说法

正确；

中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数在1992年和1994年持平，2002年奖牌数为8枚，

比1998年的10枚少，故

③

说法错误；

中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数，故

④

说法正

确；

所以正确的有3个．

故选：C．

【点评】本题考查折线统计图和条形统计图，利用数形结合的方法是解决问题的关键．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

【解答】解：∵分式

∴x＝0．

将x＝0代入x+1＝1≠0．

当x＝0时，分式分式

故答案为：0．

【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．

10．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：2x

2

﹣12x+18，

＝2（x

2

﹣6x+9），

＝2（x﹣3）

2

．

故答案为：2（x﹣3）

2

．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结

构是解题的关键．

11．【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质作答．

【解答】解：若为一次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＞0，如y＝x；

的值为0．

的值为0，

中考数学二模试卷参考答案第3页（共17页）

若为反比例函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，如y＝﹣；

若为二次函数，∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴a＞0，对称轴y＝﹣

＝x

2

；

∴当x＞0时，y随x的增大而增大的函数解析式为y＝x或y＝

不唯一）．

【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调

性），是一道难度中等的题目．

12．【分析】先变形为

【解答】解：原式＝

故答案为1．

【点评】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，然

后化简得到最简分式或整式．

13．【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．

【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，

由相似三角形的性质得到：

解得x＝4．

即蜡烛火焰的高度是4cm．

故答案为：4．

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利

用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意

的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

14．【分析】根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根

据概率公式即可得出答案．

【解答】解：画树状图如图：

＝．

﹣

﹣

，然后分母不变，分子相减得到

＝＝1．

，最后约分即可．

或y＝x

2

等（此题答案

≤0，如y

共有4个等可能的结果，两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的有2种结果，

中考数学二模试卷参考答案第4页（共17页）