2024年4月7日发(作者：2020武汉二调数学试卷)
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题（含答案解析）
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
一、单选题
1．在复平面内，
13i
3i
对应的点位于（
A
．第一象限
B
．第二象限
）．
D
．第四象限
）．
D．
1
C
．第三象限
2．设集合
A
0,a
，
B
1,a2,2a2
，若
A
B
，则
a
（
A．2B．1C．
2
3
3
．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调
查，拟从初中部和高中部两层共抽取
60
名学生，已知该校初中部和高中部分别有
400
名和
200
名学生，则不同的抽样结果共有（
A．
C
400
C
200
种
C．
C
400
C
200
种
4．若
f
x
x
a
ln
A．
1
3030
4515
）．
B．
C
400
C
200
种
D．
C
400
C
200
种
4020
2040
2
x
1
为偶函数，则
a
（
2
x
1
）．
1
B．0C．
2
D．1
x
2
5．已知椭圆
C
:
y
2
1
的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，直线
yxm
与C交于A，B
3
两点，若
△F
1
AB
面积是
△F
2
AB
面积的2倍，则
m
（
A．
2
3
）．
D．
2
3
B．
2
3
C．
2
3
x
6．已知函数
f
x
a
e
ln
x
在区间
1,2
上单调递增，则a的最小值为（）．
A
．
e
2
B
．
eC
．
e
1
）．
3
5
4
D
．
e
2
7．已知
为锐角，
cos
A．
3
5
8
1
5
，则
sin
（
2
4
1
5
8
B．C．D．
1
5
4
）．
8．记
S
n
为等比数列
a
n
的前n项和，若
S
4
5
，
S
6
21S
2
，则
S
8
（
A
．
120B
．
85C
．
85
D
．
120
二、多选题
9
．已知圆锥的顶点为
P
，底面圆心为
O
，
AB
为底面直径，
APB120
，
PA2
，点
试卷第1页，共4页
C
在底面圆周上，且二面角
PACO
为
45°
，则（
A．该圆锥的体积为
π
C
．
AC22
）．
B．该圆锥的侧面积为
43π
D
．
△PAC
的面积为
3
2
10．设O为坐标原点，直线
y3
x1
过抛物线
C:y2px
p0
的焦点，且与C
交于
M
，
N
两点，
l
为
C
的准线，则（
A．
p2
C
．以
MN
为直径的圆与
l
相切
11．若函数
f
x
a
ln
x
A
．
bc0
）．
B．
MN
8
3
D
．
OMN
为等腰三角形
）．
bc
a
0
既有极大值也有极小值，则（
xx
2
B
．
ab0
C
．
b
2
8ac0
D
．
ac0
在信道内传输
0
，信号的传输相互独立．发送
0
时，收到
1
的概率为
(0
1)
，
12
．
1
信号，
收到
0
的概率为
1
；发送
1
时，收到
0
的概率为
(0
1)
，收到
1
的概率为
1
.
考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送
1
次，三次传
输是指每个信号重复发送
3
次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，
收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依
次收到
1
，
0
，
1
，则译码为
1
）
.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
(1
)(1
)
2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
(1
)
2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
(1
)
2
(1
)
3
D
．当
0
0.5
时，若发送
0
，则采用三次传输方案译码为
0
的概率大于采用单次传输
方案译码为
0
的概率
三、填空题
13．已知向量
a
，
b
满足
ab3
，
ab2ab
，则
b
______．
14
．底面边长为
4
的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为
2
，高
为
3
的正四棱锥，所得棱台的体积为
______
．
15．已知直线
l:xmy10
与
C:
x1
y
2
4
交于A，B两点，写出满足“
ABC
面
2
8
积为
”的m的一个值______．
5
16．已知函数
f
x
sin
x
，如图A，B是直线
y
1
与曲线
yf
x
的两个交点，
2
试卷第2页，共4页
若
AB
π
，则
f
π
______．
6
四、解答题
17
．记
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
ABC
的面积为
3
，
D
为
BC
中
点，且
AD1
．
(1)若
ADC
π
，求
tanB
；
3
(2)
若
b
2
c
2
8
，求
b,c
．
a
n
6,
n
为奇数
18．
a
n
为等差数列，
b
n
，记
S
n
，
T
n
分别为数列
a
n
，
b
n
的前n项
2
a
,
n
为偶数
n
和，
S
4
32
，
T
3
16
．
(1)求
a
n
的通项公式；
(2)证明：当
n5
时，
T
n
S
n
．
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，
19
．
经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值
c
，将该指标大于
c
的人判定为阳性，
小于或等于
c
的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记
试卷第3页，共4页
为
p(c)
；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为
q(c)
．假设数据在组内均匀分布，
以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率
p
c
0.5
％时，求临界值c和误诊率
q
c
；
(2)设函数
f
c
p
c
q
c
，当
c
95,105
时，求
f
c
的解析式，并求
f
c
在区间
95,105
的最小值．
20
．如图，三棱锥
ABCD
中，
DADBDC
，
BDCD
，
ADBADC60
，
E
为
BC
的
中点．
(1)
证明：
BCDA
；
(2)
点
F
满足
EFDA
，求二面角
DABF
的正弦值．
21．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为
25,0
，离心率为
5
．
(1)
求
C
的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为
A
1
，
A
2
，过点
4,0
的直线与C的左支交于M，N两点，
M在第二象限，直线
MA
1
与
NA
2
交于点P．证明:点
P
在定直线上.
（
1
）证明：当
0x1
时，
x
x
sinx
x
；
22
．
2
（2）已知函数
f
x
cosaxln
1x
，若
x0
是
f
x
的极大值点，求a的取值范围．
试卷第4页，共4页
参考答案：
1
．
A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断
.
2
【详解】因为
13i
3i
38i3i68i
，
则所求复数对应的点为
6,8
，位于第一象限.
故选：
A.
2
．
B
【分析】根据包含关系分
a20
和
2a20
两种情况讨论，运算求解即可
.
【详解】因为
A
B
，则有：
若
a20
，解得
a2
，此时
A
0,2
，
B
1,0,2
，不符合题意；
若
2a20
，解得
a1
，此时
A
0,1
，
B
1,1,0
，符合题意；
综上所述：
a1
.
故选：
B.
3
．
D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案
.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取
60
400200
40
人，
20
，高中部共抽取
60
600600
4020
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有
C
400
C
200
种.
故选：
D.
4
．
B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
a
值，再检验即可
.
(1
a
)ln
【详解】因为
f(x)
为偶函数，则
f
(1)
f
(
1)
，
1
(
1
a
)ln3
，解得
a0
，
3
2
x
1
1
1
，
2x1
2x1
0
，解得
x
或
x
，
2
2
2
x
1
1
1
则其定义域为
xx
或
x
，关于原点对称.
2
2
当
a0
时，
f
x
x
ln
2
x
12
x
1
2
x
1
f
x
x
ln
x
ln
x
ln
x
ln
f
x
，
2
x
12
x
12
x
1
2
x
1
2
x
1
1
故此时
f
x
为偶函数.
故选：
B.
答案第
1
页，共
16
页
5
．
C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用
0
，求出
m
范围，再根据三角形面积比得
到关于
m
的方程，解出即可
.
y
x
m
【详解】将直线
yxm
与椭圆联立
x
2
，消去
y
可得
4x
2
6mx3m
2
30
，
2
y
1
3
22
因为直线与椭圆相交于
A,B
点，则
36m44
3m3
0
，解得
2m2
，
设
F
1
到
AB
的距离
d
1
,F
2
到
AB
距离
d
2
，易知
F
1
2,0,F
2
则
d
1
2,0
，
|
2
m
|
|2
m
|
，
d
2
，
2
2
|
2
m
|
|
2
m
|
2
2
，解得
m
2
或
32
（舍去），
|2
m
||2
m
|
3
2
S
S
F
1
AB
F
2
AB
故选：
C.
6
．
C
x
【分析】根据
f
x
a
e
1
0
在
1,2
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
x
1
1
0
在
1,2
上恒成立，显然
a0
，所以
x
e
x
，
x
a
x
【详解】依题可知，
f
x
a
e
x
x
设
g
x
x
e,
x
1,2
，所以
g
x
x1
e0
，所以
g
x
在
1,2
上单调递增，
g
x
g
1
e
，故
e
1
1
1
，即
a
e
，即a的最小值为
e
1
．
e
a
故选：
C
．
7
．
D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为
cos
1
2sin
2
1
5
，而
为锐角，
24
答案第
2
页，共
16
页
解得：
sin
2
3
5
8
5
1
16
2
5
1
．
4
故选：
D
．
8
．
C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据
S
4
,S
8
的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前
n
项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列
a
n
的公比为
q
，首项为
a
1
，
若
q1
，则
S
6
6a
1
32a
1
3S
2
，与题意不符，所以
q1
；
由
S
4
5
，
S
6
21S
2
可得，
a
1
1
q
4
1
q
5
，
a
1
q
21
a
1
q
①，
1
6
1
2
1
q
1
q
由①可得，
1q
2
q
4
21
，解得：
q
2
4
，
所以
S
8
a
1
1
q
8
1
q
a
1
1
q
4
1
q
1
q
4
5
1
16
85
．
故选：
C
．
方法二：设等比数列
a
n
的公比为
q
，
因为
S
4
5
，
S
6
21S
2
，所以
q1
，否则
S
4
0
，
从而，
S
2
,S
4
S
2
,S
6
S
4
,S
8
S
6
成等比数列，
所以有，
5S
2
S
2
21S
2
5
，解得：
S
2
1
或
S
2
2
5
，
4
当
S
2
1
时，
S
2
,S
4
S
2
,S
6
S
4
,S
8
S
6
，即为
1,4,16,S
8
21
，
易知，
S
8
2164
，即
S
8
85
；
当
S
2
5
时，
S
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
4
1q
2
1q
S
2
2
0
，
与
S
4
5
矛盾，舍去．
故选：
C
．
【点睛】本题主要考查等比数列的前
n
项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是
把握
S
4
,S
8
的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
答案第
3
页，共
16
页
9
．
AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断
A
、
B
选项的正确性，利用二面角的知识判断
C
、
D
选项的正确性
.
【详解】依题意，
APB120
，
PA2
，所以
OP1,OAOB3
，
1
A选项，圆锥的体积为
π
3
3
1
π
，A选项正确；
2
B选项，圆锥的侧面积为
π3223π
，B选项错误；
C
选项，设
D
是
AC
的中点，连接
OD,PD
，
则
ACOD,ACPD
，所以
PDO
是二面角
PACO
的平面角，
则
PDO45
，所以
OPOD1
，
故
ADCD312
，则
AC22
，C选项正确；
D选项，
PD1
2
1
2
2
，所以
S
故选：
AC.
PAC
1
22
2
2
，D选项错误.
2
10
．
AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得
p
，根据弦长公式求得
MN
，根据圆与等腰三角形的
知识确定正确答案
.
2
【详解】A选项：直线
y3
x1
过点
1,0
，所以抛物线
C:y2px
p0
的焦点
F
1,0
，
所以
p
1,
p
2,2
p
4
，则A选项正确，且抛物线
C
的方程为
y
2
4x
.
2
B选项：设
M
x
1
,y
1
,N
x
2
,y
2
，
y
3
x
1
2
由
2
消去
y
并化简得
3x10x3
x3
3x1
0
，
y
4
x
答案第
4
页，共
16
页
1
116
解得
x
1
3,
x
2
，所以
MNx
1
x
2
p
3
2
，B选项错误.
33
3
C
选项：设
MN
的中点为
A
，
M,N,A
到直线
l
的距离分别为
d
1
,d
2
,d
，
因为
d
111
d
1
d
2
MFNF
MN
，
222
即
A
到直线
l
的距离等于
MN
的一半，所以以
MN
为直径的圆与直线
l
相切，
C
选项正确
.
D选项：直线
y3
x1
，即
3xy30
，
O
到直线
3xy30
的距离为
d
3
，
2
116343
所以三角形
OMN
的面积为
，
2323
1
23
由上述分析可知
y
1
3
3
1
23,
y
2
3
1
，
3
3
所以
OM
3
2
23
2
2
13
1
23
，
21,
ON
3
3
3
2
所以三角形
OMN
不是等腰三角形，
D
选项错误
.
故选：
AC.
11
．
BCD
【分析】求出函数
f(x)
的导数
f
(x)
，由已知可得
f
(x)
在
(0,)
上有两个变号零点，转化
为一元二次方程有两个不等的正根判断作答
.
【详解】函数
f
(
x
)
a
ln
x
bc
2
的定义域为
(0,)
，求导得
xx
ab
2
cax
2
bx
2
c
，
f
(
x
)
2
3
xxxx
3
因为函数
f(x)
既有极大值也有极小值，则函数
f
(x)
在
(0,)
上有两个变号零点，而
a0
，
答案第
5
页，共
16
页
因此方程
ax
2
bx2c0
有两个不等的正根
x
1
,x
2
，
Δ
b
2
8
ac
0
b
于是
x
1
x
2
0
，即有
b
2
8ac0
，
ab0
，
ac0
，显然
a
2
bc0
，即
bc0
，A错
a
2
c
xx
0
12
a
误，
BCD
正确
.
故选：
BCD
12
．
ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断
AB
；利用相互独立事件及互斥事件的概率
计算判断
C
；求出两种传输方案的概率并作差比较判断
D
作答
.
【详解】对于
A
，依次发送
1
，
0
，
1
，则依次收到
l
，
0
，
1
的事件是发送
1
接收
1
、发送
0
接收
0
、发送
1
接收
1
的
3
个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
(1
)(1
)(1
)(1
)(1
)
2
，A正确；
对于
B
，三次传输，发送
1
，相当于依次发送
1
，
1
，
1
，则依次收到
l
，
0
，
1
的事件，
是发送
1
接收
1
、发送
1
接收
0
、发送
1
接收
1
的
3
个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为
(1
)
(1
)
(1
)
2
，B正确；
对于
C
，三次传输，发送
1
，则译码为
1
的事件是依次收到
1
，
1
，
0
、
1
，
0
，
1
、
0
，
1
，
1
和
1
，
1
，
1
的事件和，
2232
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为
C
3
(1
)(1
)(1
)(12
)
，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率
P(1
)
2
(12
)
，
单次传输发送
0
，则译码为
0
的概率
P
1
，而
0
0.5
，
因此
PP
(1
)
2
(12
)(1
)
(1
)(12
)0
，即
PP
，D正确.
故选：
ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互
斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键
.
13
．
3
r
r
r
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令
cab
，结合
数量积的运算律运算求解
.
答案第
6
页，共
16
页
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概率,公式,传输,利用,事件,患病者
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