2024年4月7日发(作者：江苏出高考数学试卷)
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
绝密★启用前
2020年全国统一高考数学试题（文科)（新课标Ⅱ)
试题副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
得分
一
二
三
总分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
……
○
_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得分
一、单选题
1
．已知集合
A={x|x1}
，
B{x|x2}
，则
A
∩
B
=
A
．
(
–
1
，
+
∞
) B
．
(
–∞，
2)
C
．
(–1
，
2) D
．
【答案】
C
【解析】
【分析】
本题借助于数轴，根据交集的定义可得．
【详解】
由题知，
AB(1,2)
，故选
C
．
【点睛】
本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理
解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．
2
．设
z
=i(2+i)
，则
z
=
A
．
1+2i B
．
–1+2i
C
．
1–2i D
．
–1–2i
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题根据复数的乘法运算法则先求得
z
，然后根据共轭复数的概念，写出
z
．
试题第1页，总19页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
【详解】
zi(2i)2ii
2
12i
，
所以
z12i
，选
D
．
【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考
查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
3
．已知向量
a
=(2
，
3)
，
b
=(3
，
2)
，则
|
a
–
b
|=
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
A
．
2
B
．
2
C
．
5
2
D
．
50
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题先计算
ab
，再根据模的概念求出
|ab|
．
【详解】
由已知，
ab(2,3)(3,2)(1,1)
，
所以
|ab|(1)
2
1
2
2
，
故选
A
【点睛】
本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由
于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程
中出错．
4
．生物实验室有
5
只兔子，其中只有
3
只测量过某项指标，若从这
5
只兔子中随机取
出
3
只，则恰有
2
只测量过该指标的概率为
A
．
2
3
B
．
3
5
C
．
2
D
．
1
5
5
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率
的计算公式求解．
试题第2页，总19页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
【详解】
设其中做过测试的
3
只兔子为
a,b,c
，剩余的
2
只为
A,B
，则从这
5
只中任取
3
只的所
有取法有
{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B}
，
{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}
共
10
种．其中恰有
2
只做过测试的取法有
{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}
共
6
种，
所以恰有
2
只做过测试的概率为
63
，选
B
．
105
……
○
_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应
用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图
法”，可最大限度的避免出错．
5
．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低
的次序为
A
．甲、乙、丙
B
．乙、甲、丙
C
．丙、乙、甲
D
．甲、丙、乙
【答案】
A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解
.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故
3
人成绩由高
到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，
则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测
正确，不符合题意，故选
A
．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知
识、逻辑推理能力的考查．
6
．设
f
(
x
)
为奇函数，且当
x
≥0
时，
f
(
x
)=
，则当
x
<0
时，
f
(
x
)=
A. B.
试题第3页，总19页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
先把
x<0
，转化为
-x>0,
代入可得
【详解】
是奇函数，
当时，，
时，．
，得．故选
D
．
，结合奇偶性可得
.
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，
利用转化与化归的思想解题．
7
．设
α
，
β
为两个平面，则
α
∥
β
的充要条件是
A
．
α
内有无数条直线与
β
平行
B
．
α
内有两条相交直线与
β
平行
C
．
α
，
β
平行于同一条直线
D
．
α
，
β
垂直于同一平面
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利
用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．
【详解】
由面面平行的判定定理知：
内两条相交直线都与
平行是
//
的充分条件，由面
面平行性质定理知，若
//
，则
内任意一条直线都与
平行，所以
内两条相交
直线都与
平行是
//
的必要条件，故选
B
．
【点睛】
面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观
臆断，如：“若
a
,b
,a//b
，则
//
”此类的错误．
8
．若
x
1
=
4
，
x
3
2
=
4
是函数
f
(
x
)=
sin
x
(
>0)
两个相邻的极值点，则
=
A
．
2 B
．
3
2
试题第4页，总19页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
C
．
1
【答案】
A
【解析】
【分析】
D
．
1
2
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得
.
【详解】
由题意知，
f(x)sin
x
的周期
T
2
2(
3
)
，得
2
．故选
A
．
44
……
○
_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
【点睛】
本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采
取公式法，利用方程思想解题．
9
．若抛物线
y
2
=2
px
（
p
>0
）的焦点是椭圆
x
2
3p
y
2
p
1
的一个焦点，则
p
=
A
．
2 B
．
3
C
．
4 D
．
8
【答案】
D
【解析】
【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于
p
的方程，即可解出
p
，或者利用检验
排除的方法，如
p2
时，抛物线焦点为（
1
，
0
），椭圆焦点为（±
2
，
0
），排除
A
，同
样可排除
B
，
C
，故选
D
．
【详解】
因为抛物线
y
2
2px(p0)
的焦点
(
p
x
2
2
,0)
是椭圆
3p
y
2
p
1
的一个焦点，所以
3pp(
p
2
)
2
，解得
p8
，故选
D
．
【点睛】
本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
10
．曲线
y
=2sin
x
+cos
x
在点
(
π，–
1)
处的切线方程为
A
．
xy10
B
．
2xy210
C
．
2xy210
D
．
xy10
【答案】
C
试题第5页，总19页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
【解析】
【分析】
先判定点
(,1)
是否为切点，再利用导数的几何意义求解
.
【详解】
当
x
时，
y2sincos1
，即点
(,1)
在曲线
y2sinxcosx
上．
y
2cosxsinx,
y
x
2cos
sin
2,
则
y2sinxcosx
在点
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
(,1)
处的切线方程为
y(1)2(x)
，即
2xy210
．故选
C
．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素
养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首
先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，
再求导，然后列出切线方程．
11
．已知
a
∈（
0
，
π
2
），
2sin2α=cos2α+1
，则
sinα=
A
．
1
B
．
5
5
5
C
．
3
3
D
．
25
5
【答案】
B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为
1
关系得出答案．
【详解】
2sin2cos21
，
4sincos2cos
2
.
0,
2
,cos0
．
sin0,2sincos
，又
sin
2
cos
2
1
，
5sin
2
1,sin
2
1
5
，
又
sin
0
，
sin
5
5
，故选
B
．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余
弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后
试题第6页，总19页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
x
2
y
2
12
．设
F
为双曲线
C
：
2
2
1
（
a
>0
，
b
>0
）的右焦点，
O
为坐标原点，以
OF
为
ab
直径的圆与圆
x
2
+
y
2
=
a
2
交于
P
、
Q
两点．若
|
PQ
|=|
OF
|
，则
C
的离心率为
A
．
2
C
．
2
【答案】
A
B
．
3
D
．
5
……
○
_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出
P
点坐标，代入圆的方程得到
c
与
a
关系，可求双曲线的
离心率．
【详解】
设
PQ
与
x
轴交于点
A
，由对称性可知
PQx
轴，
又
PQ|OF|c
，
|PA|
c
2
,PA
为以
OF
为直径的圆的半径，
A
为圆心
|OA|
c
2
．
P
c
,
c
2
，又
P
点在圆
x
2
y
2
a
2
2
上，
c
2
4
c
2
4
a
2
，即
c
2
22
c
2
2
a,e
a
2
2
．
e2
，故选
A
．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几
试题第7页，总19页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲
试题第8页，总19页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
…
※
※
…
…
在
※
…
…
※
…
装
要
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
…
○
※
○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2x3y60，
y
满足约束条件
xy30，
则
z
=3
x
–
y
的最大值是
___________.
13
．若变量
x
，
y20，
……
○
_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
【答案】
9.
【解析】
【分析】
作出可行域，平移
3xy0
找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标
函数可得
.
【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形
ABC
区域，根据直线
3xyz0
中的
z
表示纵截距的相反数，
当直线
z3xy
过点
C（3,0）
时，
z
取最大值为
9
．
【点睛】
本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图
解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函
数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．
14
．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有
10
个车次
的正点率为
0.97
，有
20
个车次的正点率为
0.98
，有
10
个车次的正点率为
0.99
，则经停
该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
___________.
【答案】
0
．
98.
【解析】
【分析】
试题第9页，总19页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】
由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为
100.97200.98100.9939.2
，
其中高铁个数为
10+20+10=40
，所以该站所有高铁平均正点率约为
【点睛】
本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难
度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正
39.2
0.98
．
40
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
点列车数量与列车总数的比值．
15
．
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.
已知
b
sin
A
+
a
cos
B
=0
，则
B
=___________.
【答案】
3
4
.
【解析】
【分析】
先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得
.
【详解】
由正弦定理，得
sinBsinAsinAcosB0
．
A(0,),B(0,)
，
sinA0,
得
sinBcosB0
，即
tanB1
，
B
3
4
.
故选
D
．
【点睛】
本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，
利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在
(0,
)
范围内，
化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．
16
．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正
方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
“
半正多面体
”
（图
1
）
.
半正多
面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体
.
半正多面体体现了数学的对称
美．图
2
是一个棱数为
48
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，
且此正方体的棱长为
1
．则该半正多面体共有
________
个面，其棱长为
_________
．
试题第10页，总19页
…
…
○
…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
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考查,利用,运算,本题,基本,概率,定理,数学
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