2024年3月11日发(作者：职高会考数学试卷金华)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1
∼
8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请
将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
x
2
+
x
(1)曲线
y
=
2
渐近线的条数
x
−1
(A)0(B)1(C)2(D)3
(2)设函数
y
(
x
)=(
e
x
−1)(
e
2
x
−2)⋯(
e
nx
−
n
)
,其中
n
为正整数,则
y
′(0)=
(A)
(−1)
n
−1
(
n
−1)!
(B)
(−1)
n
(
n
−1)!
(C)
(−1)
n
−1
n
!
()
()
(D)
(−1)
n
n
!
()(3)如果函数
f
(
x
,
y
)
在
(0,0)
处连续,那么下列命题正确的是
(A)若极限
lim
x
→0
y
→0
f
(
x
,
y
)
存在,则
f
(
x
,
y
)
在
(0,0)
处可微
x
+
y
f
(
x
,
y
)
存在,则
f
(
x
,
y
)
在
(0,0)
处可微
22
x
+
y
f
(
x
,
y
)
存在
x
+
y
f
(
x
,
y
)
存在
22
x
+
y
(B)若极限
lim
x
→0
y
→0
(C)若
f
(
x
,
y
)
在
(0,0)
处可微,则极限
lim
x
→0
y
→0
(D)若
f
(
x
,
y
)
在
(0,0)
处可微,则极限
lim
x
→0
y
→0
kπ
(4)设
I
K
=
∫
e
x
sin
xdx
(
k
=1,2,3)
则有(
0
2
)
(C)
I
2
<
I
3
<
I
1
(D)
I
2
<
I
1
<
I
3
(A)
I
1
<
I
2
<
I
3
(B)
I
3
<
I
2
<
I
1
⎛
0
⎞⎛
0
⎞⎛
1
⎞⎛
−1
⎞
⎟
,
α
=
⎜
1
⎟
,
α
=
⎜
−1
⎟
,
α
=
⎜
1
⎟
,其中
C
,
C
,
C
,
C
为任意常数，则下列向量组线性相关的(5)设
α
1
=
⎜
0
34
1234
⎜⎟
2
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜
C
⎟⎜
C
⎟⎜
C
⎟⎜
C
⎟
⎝
1
⎠⎝
2
⎠⎝
3
⎠⎝
4
⎠
为()
(A)
α
1
,
α
2
,
α
3
(B)
α
1
,
α
2
,
α
4
(C)
α
1
,
α
3
,
α
4
(D)
α
2
,
α
3
,
α
4
⎛
100
⎞
⎟
(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且
p
−1
AP
=
⎜
，
α
=(
α
1
+
α
2
,
α
2
,
α
3
)，则
⎜
010
⎟
.若P=（
α
1
,
α
2
,
α
3
）
⎜
002
⎟
⎝⎠
Q
−1
AQ
=
()
1
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
⎛
100
⎞
(A)
⎜
020
⎟
(B)
⎜⎟
⎜
001
⎟
⎝⎠
⎛
100
⎞
⎜
010
⎟
(C)
⎜⎟
⎜
002
⎟
⎝⎠
⎛
200
⎞⎛
200
⎞
⎜
010
⎟
(D)
⎜
020
⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜
002
⎟⎜
001
⎟
⎝⎠⎝⎠
)(7)设随机变量
X
与
Y
相互独立，且分别服从参数为
1
与参数为
4
的指数分布，则
p
{
X
<
Y
}
=
(
(A)
1
5
1
(B)
1
3
(C)
2
5
(D)
4
5
()(8)将长度为
1
m
的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
11
(C)(D)
−1
−
22
二、填空题：9
∼
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
(A)(B)
(9)若函数
f
(
x
)
满足方程
f
\'\'
(
x
)+
f
\'
(
x
)−2
f
(
x
)=0
及
f
\'\'
(
x
)+
f
(
x
)=2
e
，则
f
(
x
)=
(10)
∫
2
0
x
2
x
−
x
2
d
x=
z
y
(11)
grad
(
xy+
)|
(2,1,1)
=
(12)设
∑=
{
(
x
,
y
,
z
)
x
+
y
+
z
=1,
x
≥0,
y
≥0,
z
≥0
}
，则
∫∫
yds
=
2
∑
(13)设
X
为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵
E
−
XX
T
的秩为
(14)设
A
,
B
,
C
是随机变量，A与C互不相容，
p
(
AB
)
=
11
,
P
(
C
)
=,
pABC
=
23
()
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
．．．
骤.
(15)
1+
xx
2
证明
x
ln+cos
x
≥1+(−1<
x
<1)
1−
x
2
(16)
求函数
f
(
x
,
y
)=
xe
(17)
∞
−
x
2
+
y
2
2
的极值
4
n
2
+4
n
+3
2
n
求幂级数
x
的收敛域及和函数
2
n
+1
n
=0
∑
(18)
已知曲线
L
:
⎨
⎧
x
=
f
(
t
),
⎩
y
=cos
t
ππ
(0≤
t
<),
其中函数
f
(
t
)
具有连续导数，且
f
(0)=0,
f
\'
(
t
)>0(0<
t
<).
若曲线
L
22
的切线与
x
轴的交点到切点的距离恒为1，求函数
f
(
t
)
的表达式，并求此曲线
L
与
x
轴与
y
轴无边界的区域的面
积。
(19)
已知
L
是第一象限中从点
(0,0)
沿圆周
x
2
+
y
2
=2
x
到点
(2,0)
，再沿圆周
x
2
+
y
2
=4
到点
(0,2)
的曲线段，计算曲线
积分
J
=
∫
3
x
2
y
d
x
+(
x
3
+
x
−2
y
)d
y
L
2
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
(20)(本题满分分)
⎡
1
⎢
0
设
A
=
⎢
⎢
0
⎢
⎣
a
a
1
0
0
0
a
1
0
0
⎤⎛
1
⎞
⎜
−1
⎟
0
⎥
⎥
,
β
=
⎜⎟
⎜
0
⎟
a
⎥
⎜⎟
⎥
1
⎦⎝
0
⎠
（I）计算行列式
A
;
(II)当实数
a
为何值时，方程组
Ax
=
β
有无穷多解，并求其通解。
(21)
⎡
1
⎢
0
已知
A
=
⎢
⎢
−1
⎢
⎣
0
1
⎤
11
⎥
⎥
，二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)=
x
T
(
A
T
A
)
x
的秩为2
0
a
⎥
⎥
a
−1
⎦
0
（1）求实数
a
的值；
（2）求正交变换
x
=
Qy
将
f
化为标准型.
（22）
设二维离散型随机变量
X
、
Y
的概率分布为
012
0
1
4
0
1
4
10
1
3
0
2
（Ⅰ）求
P
{
X
=2
Y
}
；
（Ⅱ）求
Cov(
X
−
Y
,
Y
)
.
(23)
1
12
0
1
12
设随机变量
X
与
Y
相互独立且分别服从正态分布
N
(
u
,
σ
2
)
与
N
(
u
,2
σ
2
)
，其中
σ
是未知参数且
σ
>0。设
Z
=
X
−
Y
.
(1)求
Z
的概率密度
f
(
z
,
σ
2
);
（2）设
z
1
,
z
2
,⋯,
z
n
为来自总体
Z
的简单随机样本，求
σ
2
的最大似然估计量
σ
2
（3）证明
σ
2
为
σ
2
的无偏估计量
⌢
⌢
数一参考答案
一、选择题
12
CC
二、填空题
3
3
B
4
D
5
C
6
B
7
A
8
D
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
9、
e
x
；10、
π
；
2
11、
{
1,1,1
}
；12、
3
；
12
13、2；14、
3
4
三、解答题
(15)
1+
xx
2
证明：令
f
(
x
)
=
x
ln+cos
x
−1−
，
f
(
x
)
是偶函数
1−
x
2
f
′
(
x
)
=ln
f
′
(
0
)
=0
1+
x
2
x
+−sin
x
−
x
1−
x
1−
x
2
2
(
1−
x
)
+4
x
1144
f
′′
(
x
)
=++−cos
x
−1=−cos
x
−1≥−2>0
222
222
1+
x
1−
x
(
1−
x
)(
1−
x
)(
1−
x
)
22
所以
f
(
x
)
≥
f
(
0
)
=0
1+
xx
2
即证得：
x
ln+cos
x
≥1+
(
−1<
x
<1
)
1−
x
2
(16)
⎧
∂
f
⎪
⎪
解：
⎨
⎪
∂
f
⎪
⎩
y
(
x
,
y
)
=
e
−
x
+
2
22
∂
x
2
y
2
(
x
,
y
)
=
xe
−
x
+
2
(
−
y
)
=0
∂
y
+
xe
−
x
2
+
y
2
2
(
−
x
)
=
e
−
x
2
+
y
2
2
(
1−
x
)
=0
2
得驻点
P
,0
)
,
P
2
(
1,0
)
1
(
−1
x
2
+
y
2
x
2
+
y
2
⎧
∂
2
f
(
x
,
y
)
−−
2
22
=−2
xe
+
e
1−
x
(
−
x
)
⎪
()
2
⎪
∂
x
2
x
2
+
y
2
⎪
−
⎪
∂
f
(
x
,
y
)
=
e
2
(
1−
x
2
)
(
−
y
)
⎨
⎪
∂
x
∂
y
⎪
∂
2
f
(
x
,
y
)
x
2
+
y
2
−
⎪
=
xe
2
(
y
2
−1
)
2
⎪
⎩
∂
y
根据判断极值的第二充分条件，
把
P
,0
)
,
1
(
−1
代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以
P
,0
)
,
为极小值点，极小值为
1
(
−1
f
(
−1,0
)
=−
e
把
P
2
(
1,0
)
代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以
−
1
2
P
2
(
1,0
)
为极大值点，极大值为
−
1
2
f
(
1,0
)
=
e
4
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
(17)解：（Ⅰ）收敛域
4
n
2
+4
n
+3
2(
n
+1)+1
⋅
x
a
n
(
x
)4
n
2
+4
n
+32(
n
+1)+1
22
2
n
+1
R
=lim=lim=lim⋅⋅
x
=
x
n
→∞
a
n
→∞
4(
n
+1)
2
+4(
n
+1)+3
n
→∞
2
n
+14(
n
+1)
2
+4(
n
+1)+3
2
n
+1
n
−1
(
x
)
⋅
x
2(
n
+1)+1
令
x
2
<1
，得
−1<
x
<1
，当
x
=±1
时，技术发散。所以，收敛域为
(−1,1)
4
n
2
+4
n
+3
2
n
∞
(2
n
+1)
2
+2
2
n
∞
2
2
n
（Ⅱ）设
S
(
x
)=
∑
x
=
∑
x
=
∑
[(2
n
+1)
x
2
n
+
x
](
x
<1)
∞
n
=0
2
n
+1
n
=0
2
n
+1
n
=0
∞∞
令
S
1
(
x
)=
∑
(2
n
+1)
x
2
n
，
S
2
2
(
x
)=
x
2
n
n
−0
∑
n
−0
2
n
+1
x
∞
x
∞
因为
∫
2
n
0
S
1
(
t
)
dt
=
∑
∫
(2
n
+1)
tdt
=
∑
x
2
n
+1
=
x
1−
x
2
(
x
<1)
n
=0
0
n
=0
所以
S
(
x
)=(
x
1+
x
2
1
1−
x
2
)
′
=
(1−
x
2
)
2
(
x
<1)
∞
因为
xS
2
(
x
)=
∑
2
x
2
n
+1
n
−0
2
n
+1
∞
所以
[
xS
n
∞
2
(
x
)]′=
∑
2
x
2
=2
n
−0
∑
x
2
n
=2⋅
1
n
−
1−
x
2
(
x
<1)
0
所以
∫
xx
0
[
tS
2
(
t
)]′
dt
=
∫
0
2⋅
1
1−
t
2
dt
=
∫
x
0
(
111+
x
1+
t
+
1−
t
)
dt
=ln
1−
x
(
x
<1)
即
xS
x
2
(
x
)
0
=ln
1+
x
1
1−
x
，故
xSx
)=ln
+
x
2
(
1−
x
当
x
≠0
时，
S
11+
x
2
(
x
)=
x
ln
1−
x
当
x
=0
时，
S
1
(0)=1,
S
2
(0)=2
⎧
所以，
S
(
x
)=
S
⎪
1+
x
2
+
1
x
ln
1+
x
1
(
x
)+
S
2
(
x
)=
⎨
(1−
x
2
)
2
1−
x
x
∈(−1,0)∪(0,1)
⎪
⎩
3
x
=0
(18)解：
曲线
L
在任一处
(
x
,
y
)
的切线斜率为
dy
dx
=
−sin
t
f
′
(
t
)
，
5
2
n
+1
过该点
(
x
,
y
)
处的切线为
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
Y
−cos
t
=
离恒为1.
−sin
t
(
X
−
f
(
t
))
。令
Y
=0
得
X
=
f
′(
t
)cot
t
+
f
(
t
)
。由于曲线
L
与
x
轴和
y
轴的交点到切点的距
f
′
(
t
)
π
2
故有
[
f
′
(
t
)cot
t
+
f
(
t
)−
f
(
t
)]
2
+cos
2
t
=1
，又因为
f
\'
(
t
)>0(0<
t
<)
所以
f
′
(
t
)=
sin
t
，两边同时取不定积分可得
f
(
t
)=lnsec
t
+tan
t
−sin
t
+
C
，又由于
f
(0)=0
，所以C=0故
cot
t
函数
f
(
t
)=lnsec
t
+tan
t
−sin
t
此曲线
L
与
x
轴和
y
轴所围成的无边界的区域的面积为：
π
2
S
=
∫
cos
tf
′
(
t
)
dt
=
0
π
4
(19)解：
补充曲线
L
1
沿
y
轴由点
(2,0)
到点
(0,0)
,D为曲线
L
和
L
1
围城的区域。由格林公式可得
原式=
=
L
+
L
1
∫
2
3
x
2
y
d
x
+(
x
3
+
x
−2
y
)d
y
−
∫
3
x
2
y
d
x
+(
x
3
+
x
−2
y
)d
y
L
1
L
1
DL
1
∫∫
(3
x
D
+1−3
x
2
)
dσ
−
∫
(−2
y
)
dy
=
∫∫
1
dσ
+
∫
2
ydy
=
2
2
11
ππ
⋅
π
⋅2
2
−⋅
π
⋅1
2
−
∫
2
ydy
=−
y
2
0
=−4
0
4222
(20)解：
（I）
⎡
1
⎢
0
A
=
⎢
⎢
0
⎢
⎣
a
a
1
0
0
0
a
1
0
0
⎤
⎡
1
a
0
⎤⎡
a
00
⎤
0
⎥
⎥
=1×
⎢
01
a
⎥
+
a
×(−1)
4+1
⎢
1
a
0
⎥
=1−
a
4
⎢⎥⎢⎥
a
⎥
⎢⎢
⎥
⎣
001
⎥
⎦⎣
01
a
⎥
⎦
1
⎦
(II)对方程组
Ax
=
β
的增广矩阵初等行变换：
⎡
1
a
⎢
01
⎢
⎢00
⎢
⎣
a
0
⎡
1
⎢
0
→
⎢
⎢0
⎢
⎣
0
001
⎤⎡
1
a
⎢
01
a
0−1
⎥
⎥
→
⎢
1
a
0⎥⎢00
⎥⎢
010
⎦⎣
0−
a
2
001
⎤⎡
1
⎢
0
a
0−1
⎥
⎥
→
⎢
1
a
0⎥⎢0
⎥⎢
01−
a
⎦⎣
0
a
001
⎤
1
a
0−1
⎥
⎥
01
a
0⎥
⎥
0
a
3
1−
a
−
a
2
⎦
a
1
0
0
00
a
0
1
a
01−
a
4
1
⎤
−1
⎥
⎥
0⎥
⎥
−
a
−
a
2
⎦
可知，要使方程组
Ax
=
β
有无穷多解，则有
1−
a
4
=0
且
−
a
−
a
2
=0
，可知
a
=−1
6
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
⎡
1−1001
⎤⎡
1
⎢
01−10−1
⎥⎢
0
⎥
，进一步化为最简形得
⎢
此时，方程组
Ax
=
β
的增广矩阵变为
⎢
⎢001−10⎥⎢0
⎢⎥⎢
00000
⎣⎦⎣
0
⎛
1
⎞⎛
0
⎞⎛
1
⎞⎛
0
⎞
⎜
1
⎟⎜
−1
⎟⎜
1
⎟⎜
−1
⎟
导出组的基础解系为
⎜⎟
，非齐次方程的特解为
⎜⎟
，故其通解为
k
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜
1
⎟⎜
0
⎟⎜
1
⎟⎜
0
⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
10
⎝⎠⎝⎠⎝
1
⎠⎝
0
⎠
0
1
0
0
0−10
⎤
0−1−1
⎥
⎥
可知
1−10⎥
⎥
000
⎦
(21)解：
（1）
由二次型的秩为2，知
r
(
A
T
A
)=2
，故
r
(
A
)=
r
(
A
T
A
)=2
对矩阵A初等变换得
⎡
⎢
101
⎤⎡
101
⎤⎡
01
⎤⎡
101
⎤
⎢
011
⎥⎢
011
⎥⎢
1
11
⎥⎢
011
⎥
⎢
⎢
−10
a
⎥
⎥
→
⎢
0
a
+1
⎥
⎥
→
⎢
0
0
a
+1
⎥
⎥
→
⎢
⎢
00
a
+1
⎥
⎥
⎣
0
a
−1
⎥
⎢
⎦
⎢
0
⎣
0
a
−1
⎥
⎢
⎦
⎢
0
⎣
00−1−
a
⎥
⎦
⎢
⎣
000
⎥
⎦
因
r
(
A
)=2
，所以
a
=−1
⎛
202
⎞
（2）令
B
=
A
T
A
=
⎜
⎜
022
⎟
⎜
⎝
224
⎟
⎟
⎠
λ
−20−2
λ
−20−21
λE
−
B
=0
λ
−2−2=−(
λ
−2)
λ
−2−2=(
λ
−2)−1
−2−2
λ
−40−2
λ
−40
的特征值为
λ
1
=0,
λ
2
=2,
λ
3
=6
对于
λ
1
=0，解(
λ
1
E
−
B
)
X
=0得对应的特征向量为
α
1
=(1,1,−1)
T
对于
λ
2
=2
，解
(
λ
2
E
−
B
)
X
=0
得对应的特征向量为
α
2
=(1,−1,0)
T
对于
λ
T
3
=6，解(
λ
3
E
−
B
)
X
=0得对应的特征向量为
α
3
=(1,1,2)
将
α
1
,
α
2
,
α
3
单位化可得
η
1
⎛
⎜
1
⎞
⎟
⎛
1
⎞⎛
1
⎞
3
⎜
,
η
1
⎜⎟
1
⎜⎟
1
=1
⎜
⎟
2
=−1,
η
1
=1
⎟
⎝
−1
⎟
⎠
2
⎜
⎜
⎟
⎝
0
⎟
⎠
6
⎜
⎜
⎝
2
⎟
⎠
7
0−2
λ
−2−2=
λ
(
λ
−2)(
λ
−6)=0
所以B
−2
λ
−4
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
⎛1
⎜
⎜
3
⎜
1
正交矩阵
Q
=
⎜
⎜
3
⎜
1
⎜
−
⎝
3
1
2
1
−
2
0
1⎞
⎟
6
⎟
⎛
0
⎞
⎟
1
⎜
T
2
⎟
⎟
，则
QAQ
=
⎜⎟
6
⎟
⎜
6
⎟
⎝⎠
2
⎟
⎟
6
⎠
2
因此，作正交变换
x
=
Qy
，二次型的标准形为
f
(
x
)=
x
T
(
A
T
A
)
x
=
y
T
Ay
=2
y
2
2
+6
y
3
（22）解：
X
P
Y
P
XY
P
0
7/12
0
1/2
0
1/3
1
1/3
1
1/3
1
1/3
2
0
2
1/6
2
1/3
4
1/12
（Ⅰ）
P
{
X
=2
Y
}
=
P
{
X
=0,
Y
=0
}
+
P
{
X
=2,
Y
=1
}
=
（Ⅱ）
cov(
X
−
Y
,
Y
)=cov(
X
,
Y
)−cov(
Y
,
Y
)
11
+0=
44
25
cov(
X
,
Y
)=
EXY
−
EXEY
，其中
EX
=,
EX
2
=1,
EY
=1,
EY
2
=,
33
45
DX
=
EX
2
−(
EX
)
2
=1−=
99
522
DY
=
EY
2
−(
EY
)
2
=−1=
，
EXY
=
333
22
所以，
cov(
X
,
Y
)=0,cov(
Y
,
Y
)=
DY
=,cov(
X
−
Y
,
Y
)=−,
ρ
XY
=0
33
(23)解：
（1）因为
X
∼
N
(
u
,
σ
2
)
，
Y
∼
N
(
u
,2
σ
2
)
，且
X
与
Y
相互独立，故
Z
=
X
−
Y
∼(0,3
σ
2
)
−
1
2
所以Z的概率密度为
f
(
z
,
σ
)=
e
6
σ
(−∞<
z
<∞)
6
πσ
2
z
2
（2）最大似然函数为
−
i
1
22
L
(
σ
)=∏
f
(
z
i
;
σ
)=∏(
e
6
σ
),−∞<
z
i
<∞(
i
=1,2,⋯,
n
)
i
=1
i
=1
6
πσ
nn
z
2
2
两边取对数，得
1
Z
i
2
2
ln
L
(
σ
)=
∑
[−ln6
π
−ln
σ
−
2
]
26
σ
i
=1
2
n
两边求导得
8
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
n
d
ln
L
(
σ
2
)
n
1
Z
i
2
1
22
=[−+]=[−3
nσ
+
Z
]
∑∑
i
222222
d
(
σ
)2
σ
6(
σ
)6(
σ
)
i
=1
i
=1
d
ln
L
(
σ
2
)1
n
22
令
=0
，得
σ
=
∑
Z
i
3
n
i
=1
d
(
σ
2
)
⌢
2
1
n
2
所以
σ
的最大似然估计量
σ
=
∑
Z
i
3
n
i
=1
⌢
2
1
n
1
n
1
n
22
（3）证明：
E
(
σ
)=
∑
E
(
Z
i
)=
∑
[
D
(
Z
i
)+(
E
(
Z
i
))]=
∑
3
σ
2
=
σ
2
3
n
i
=1
3
n
i
=1
3
n
i
=1
⌢
所以
σ
2
为
σ
2
的无偏估计量
2
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1
∼
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所
选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
x
2
+
x
(1)曲线
y
=
2
的渐近线条数
x
−1
(A)0(B)1(C)2(D)3
((2)设函数
f
(
x
)=(
e
x
−1)(
e
2
x
−2)⋯(
e
nx
−
n
)
其中
n
为正整数,则
f
\'
(0)=
(A)
(−1)
n
−1
(
n
−1)!
(3)设
a
n
>0(
n
=1,2,3⋯),
(B)
(−1)
n
(
n
−1)!
(C)
(−1)
n
−1
n
!
()
)
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+⋯
a
n
，则数列
{
S
n
}
有界是数列
{
a
n
}
收敛的
()
(B)充分非必要条件
(D)非充分也非必要
(A)充分必要条件
(C)必要非充分条件
(4)设
I
k
=
∫
e
x
sin
x
d
x
(
k
=1,2,3),
则有
0
kπ
2
(
(A)
I
1
<
I
2
<
I
3
(B)
I
3
<
I
2
<
I
1
(C)
I
2
<
I
3
<
I
1
(D)
I
2
<
I
1
<
I
3
)
(5)设函数
f
(
x
,
y
）为可微函数，且对任意的
x
,
y
都有
立的一个充分条件是
∂（
x
,
y
）∂（
x
,
y
）
>0,<0,
则使不等式
f
(
x
1
,
y
1
)>
f
(
x
2
,
y
2
)成
∂
x
∂
y
(
(A)
x
1
>
x
2
,
y
1
<
y
2
(B)
x
1
>
x
2
,
y
1
>
y
2
(C)
)
x
1
<
x
2
,
y
1
<
y
2
(D)
x
1
<
x
2
,
y
1
>
y
2
(6)设区域
D
由曲线
y
=sin
x
,
x
=±
π
,
y
=1
围成，则
∫∫
(
x
5
y
−1)d
x
d
y
=
2
D
(
9
)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
(A)
π
(B)2(C)-2(D)-
π
⎛
0
⎞⎛
0
⎞⎛
1
⎞⎛
−1
⎞
⎟
，
α
=
⎜
1
⎟
,
α
=
⎜
−1
⎟
,
α
=
⎜
1
⎟
,
C
，
C
，
C
，
C
均为任意常数,则下列数列组相关的(7)设
α
1
=
⎜
0
2
234
⎜⎟⎜⎟
3
⎜⎟
4
⎜⎟
1
⎜
C
⎟⎜
C
⎟⎜
C
⎟⎜
C
⎟
⎝
1
⎠⎝
2
⎠⎝
3
⎠⎝
4
⎠
是
(
(A)
)
α
1
，
α
2
，
α
3
(B)
α
1
，
α
2
，
α
4
(C)
α
2
，
α
3
，
α
4
(D)
α
1
，
α
3
，
α
4
⎛
100
⎞
⎟
,若
P
=
α
,
α
,
α
，
Q
=
α
+
α
,
α
,
α
,则(8)设
A
为3阶矩阵,
P
为3阶可逆矩阵,且
P
−1
AP
=
⎜
010
(
123
)(
1223
)
⎜⎟
⎜
002
⎟
⎝⎠
Q
−1
AQ
=
⎛
100
⎞
(A)
⎜
020
⎟
⎜⎟
⎜
001
⎟
⎝⎠
⎛
100
⎞
(B)
⎜
010
⎟
⎜⎟
⎜
002
⎟
⎝⎠
⎛
200
⎞
(C)
⎜
020
⎟
⎜⎟
⎜
001
⎟
⎝⎠
()
⎛
200
⎞
(D)
⎜
020
⎟
⎜⎟
⎜
001
⎟
⎝⎠
二、填空题：9
∼
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
d
2
y
(9)设
y
=
y
(
x
)
是由方程
x
−
y
+1=
e
所确定的隐函数，则
2
=
dx
x
=0
2
y
.
(10)
lim
n
⎛
⎜
n
→∞
111
⎞
++
⋯
+=
22222
⎟
1+
n
2+
nn
+
n
⎝⎠
⎛
⎝
1⎞
∂
z
2
∂
z
,
fux
+
y
=
()
其中函数可微，则
y
⎟
∂
x
∂
y
⎠
.
(11)设
z
=
f
⎜
ln
x
+
.
(12)微分方程
y
d
x
+
x
−3
y
2
d
y
=0
满足条件
y
(13)曲线
y
=
x
2
+
x
(
x
<0
)
上曲率为
()
x
=1
=1
的解为
y
=
.
2
的点的坐标是
2
.
.(14)设
A
为3阶矩阵，
A
=3
，
A
*
为
A
伴随矩阵，若交换
A
的第1行与第2行得矩阵
B
，
则
BA
*
=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
．．．
骤.
(15)(本题满分10分)
已知函数
f
(
x
)
=
（I）求
a
的值;
（II）若
x
→0
当时，
(16)
1+
x
1
−
，记
a
=lim
f
(
x
)
，
x
→0
sin
xx
f
(
x
)
−
a
与
x
k
是同阶无穷小，求常数
k
的值.
10
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
求函数
f
(
x
,
y
)
=
xe
(17)
−
x
2
+
y
2
2
的极值.
过
(0,1)
点作曲线
L
:
y
=
lnx
的切线,切点为
A
,又
L
与
x
轴交于
B
点,区域
D
由
L
与直线
AB
围城,求区域
D
的面积及
D
绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)
计算二重积分
(19)
已知函数
f
(
x
)
满足方程
f
′′
(
x
)+
f
′
(
x
)−2
f
(
x
)=0
及
f
′′
(
x
)+
f
(
x
)=2
e
x
,
(I)求的表达式;
(II)求曲线
y
=
f
(
x
2
)
∫
f
(−
t
2
)d
t
的拐点
f
′(0)
0
∫∫
xy
d
σ
，其中区域
D
为曲线
r
=1+cos
θ
(
0≤
θ
≤
π
)
与极轴围成.
D
x
(20)
1+
xx
2
证明
x
ln+cos
x
≥1+
,
(−1<
x
<1)
.
1−
x
2
(21)
(I)证明方程
x
n
+
x
n-1
+⋯+
x
=1
n
>1的整数
，在区间
⎜
,1
⎟
内有且仅有一个实根；
（II）记（I）中的实根为
x
n
，证明
lim
x
n
存在，并求此极限.
n
→∞
()
⎛
1
⎞
⎝
2
⎠
(22)
⎛⎞
1
a
00
⎛⎞
⎜
1
⎟
⎜
01
a
0
⎟
⎜⎟
⎜⎟
设
A
=
，
β
=
⎜
−1
⎟
⎜
001
a
⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜
0
⎟
a
001
⎝⎠
⎜
0
⎟
⎝⎠
（I）计算行列式
A
；
(II）当实数
a
为何值时，方程组
Ax
=
β
有无穷多解，并求其通解.
(23)
⎛
10
⎜
01
已知
A
=
⎜
⎜
−10
⎜
⎝
0
a
（I）求实数
a
的值；
1
⎞
1
⎟
⎟
，二次型
f
(
x
,
x
,
x
)
=
x
T
(
A
T
A
)
x
的秩为2，
123
a
⎟
⎟
−1
⎠
（II）
求正交变换
x
=
Qy
将
f
化为标准形.
数二参考答案
一、选择题
1
C
二、填空题
11
2
C
3
A
4
D
5
D
6
D
7
C
8
B
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
9、
2
xπ
；10、；
e
x
+14
11、0；12、
x
=
y
2
；13、
(
−1,0
)
；14、
−27
三、解答题
15、解：（I）
a
=lim
f
(
x
)
=lim
x
→0
1+
x
1
x
−sin
xx
−=lim+=0+1=1
x
→0
sin
x
x
→0
xx
sin
x
sin
x
（II）
lim
⎡
⎣
f
(
x
)
−
a
⎤
⎦
=lim
⎜
x
→0
⎛
1+
x
−
1
−1
⎞
=lim
⎛
x
−sin
x
+
x
−sin
x
⎞
⎜
x
→0
sin
xx
⎟
sin
x
⎟
⎝⎠
x
→0
⎝
x
sin
x
⎠
1
3
x
⎛
(
x
−sin
x
)(
1+
x
)
⎞
=lim
⎜
=lim
6
⎟
x
→0
x
sin
x
⎝⎠
x
→0
x
sin
x
1
3
x
6
⎡
f
(
x
)
−
a
⎤
x
sin
x
=
1
，所以k=1
lim
⎢
=lim
⎥
x
→0
x
x
→0
x
6
⎣⎦
⎧
∂
f
⎪
⎪
16、解：
⎨
⎪
∂
f
⎪
⎩
得驻点
yx
+
yx
−−
(
x
,
y
)
−
x
+
22
=
e
+
xe
(
−
x
)
=
e
∂
x
x
2
+
y
2
−
(
x
,
y
)
=
xe
2
(
−
y
)
=0
∂
y
22222
+
y
2
2
(
1−
x
)
=0
2
P
,0
)
,
P
2
(
1,0
)
1
(
−1
x
2
+
y
2
x
2
+
y
2
⎧
∂
2
f
(
x
,
y
)
−−
2
22
=−2
xe
+
e
1−
x
⎪
()
(
−
x
)
2
∂
x
⎪
2
x
2
+
y
2
⎪
−
∂
fx
,
y
()
=
e
2
1−
x
2
−
y
⎪
()
()
⎨
∂
x
∂
y
⎪
⎪
∂
2
f
(
x
,
y
)
x
2
+
y
2
−
⎪
=
xe
2
(
y
2
−1
)
2
⎪
⎩
∂
y
根据判断极值的第二充分条件，
把
P
,0
)
,
1
(
−1
代入二阶偏导数B=0，A>0，C>0，所以
P
,0
)
,
为极小值点，极小值为
1
(
−1
f
(
−1,0
)
=−
e
把
P
2
(
1,0
)
代入二阶偏导数B=0，A<0，C<0，所以
−
1
2
P
2
(
1,0
)
为极大值点，极大值为
−
1
2
f
(
1,0
)
=
e
（17）解：
y
′
=
11
，设切点坐标
(
x
o
,ln
x
o
)
，切线方程为
y
−ln
x
o
=
(
x
−
x
o
)
xx
o
12
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
又切线过点
(0,1)
，所以
x
o
=
e
，故切线方程为
y
=
切线与x轴交点为B
−
e
2
,0
所围面积
2
1
x
+1
e
2
()
y
22
⎤
A
=
∫
⎡
e
−
ey
−1
dy
=
e
−1
()
⎦
0
⎣
2
旋转体体积
e
2
1
2
⎡
2
2
222
V
=
π
2
⎣
e
−
(
−
e
)
⎤
−
π
ln
xdx
=
πe
+3
)(
∫
⎦
1
33
（18）解：
∫∫
xy
d
σ
=
∫
D
π
0
dθ
∫
1+cos
θ
0
ρ
cos
θρ
sin
θρdρ
=
1
π
1
1
16
44
cos
θ
sin
θ
1+cos
θdθ
=
t
1+
tdt
=
()()
4
∫
0
4
∫
−1
15
（19）解：（I）
f
\'\'
(
x
)+
f
\'
(
x
)−2
f
(
x
)=0
对应的特征方程为
r
2
+
r
−2=0
，r=-2，r=1
所以
f
(
x
)
=
C
1
e
−2
x
+
C
2
e
x
把
f
(
x
)
=
C
1
e
−2
x
+
C
2
e
x
代入
f
\'\'
(
x
)+
f
(
x
)=2
e
x
，得到
f
(
x
)
=
e
x
（II）
同理，当x<0时，
y
′′<0
可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。
1+
xx
2
（20）证明：令
f
(
x
)
=
x
ln+cos
x
−1−
1−
x
2
，
f
′
(
x
)
=ln
f
′
(
0
)
=0
1+
x
2
x
+−sin
x
−
x
2
1−
x
1−
x
2
(
1−
x
2
)
+4
x
2
11
44
f
′′
(
x
)
=++−cos
x
−1
=−cos
x
−1≥−2>0
2
22
2
2
2
1+
x
1−
x
(
1−
x
)(
1−
x
)(
1−
x
)
13
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
所以
f
(
x
)
≥
f
(
0
)
=0
1+
xx
2
即证得：
x
ln+cos
x
≥1+
(
−1<
x
<1
)
1−
x
2
（21）令
f
(
x
)
=
x
n
+
x
n
-1
+⋯+
x
−1
⎛
1
⎞
f
(
x
)
在区间
⎜
,1
⎟
上连续，且单调
⎝
2
⎠
1
⎞⎛
1
⎞⎛
1
⎞
f
(
1
)
=
n
−1>0
，
f
⎛
⎜
2
⎟
=
⎜
2
⎟
+
⎜
2
⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
nn
−1
1
1
+
⋯
+−1<
2
−1<0
1
2
1−
2
⎛
1
⎞
根据零点定理，得到在区间
⎜
,1
⎟
存在零点，又
f
(
x
)
单调，因此存在唯一零点。
⎝
2
⎠
1
（II）根据拉格朗日中值定理，存在点
<
ξ
<
x
n
2
1
⎞
f
(
x
n
)
−
f
⎛
⎜
2
⎟
⎝⎠
=
f
′
ξ
有
()
>1
1
x
n
−
2
所以
x
n
−
1
≤
f
(
x
n
)
−
2
1
⎞
1
f
⎛
→
⎜
2
⎟
2
n
⎝⎠
x
n
=0
由夹逼原理得
lim
n
→∞
（22）解：
（I）
⎡
1
⎢
0
A
=
⎢
⎢
0
⎢
⎣
a
a
1
0
0
0
a
1
0
0
⎤
⎡
1
a
0
⎤⎡
a
00
⎤
0
⎥
⎥
=1×
⎢
01
a
⎥
+
a
×(−1)
4+1
⎢
1
a
0
⎥
=1−
a
4
⎢⎥⎢⎥
a
⎥
⎢⎢
⎥
⎣
001
⎥
⎦⎣
01
a
⎥
⎦
1
⎦
(II)对方程组
Ax
=
β
的增广矩阵初等行变换：
⎡
1
a
⎢
01
⎢
⎢00
⎢
⎣
a
0
⎡
1
⎢
0
→
⎢
⎢0
⎢
⎣
0
001
⎤⎡
1
a
⎢
01
a
0−1
⎥
⎥
→
⎢
1
a
0⎥⎢00
⎥⎢
010
⎦⎣
0−
a
2
001
⎤⎡
1
⎢
0
a
0−1
⎥
⎥
→
⎢
1
a
0⎥⎢0
⎥⎢
01−
a
⎦⎣
0
a
001
⎤
1
a
0−1
⎥
⎥
01
a
0⎥
⎥
0
a
3
1−
a
−
a
2
⎦
a
1
0
0
00
a
0
1
a
01−
a
4
1
⎤
−1
⎥
⎥
0⎥
⎥
−
a
−
a
2
⎦
14
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
可知，要使方程组
Ax
=
β
有无穷多解，则有
1−
a
4
=0
且
−
a
−
a
2
=0
，可知
a
=−1
⎡
1−1001
⎤⎡
1
⎢
01−10−1
⎥⎢
0
⎥
，进一步化为最简形得
⎢
此时，方程组
Ax
=
β
的增广矩阵变为
⎢
⎢001−10⎥⎢0
⎢⎥⎢
⎣
00000
⎦⎣
0
⎛
1
⎞⎛
0
⎞⎛
1
⎞⎛
0
⎞
⎜
1
⎟⎜
−1
⎟⎜
1
⎟⎜
−1
⎟
导出组的基础解系为
⎜⎟
，非齐次方程的特解为
⎜⎟
，故其通解为
k
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜
1
⎟⎜
0
⎟⎜
1
⎟⎜
0
⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
10
⎝⎠⎝⎠⎝
1
⎠⎝
0
⎠
（23）解：
（1）
由二次型的秩为2，知
r
(
A
T
A
)=2
，故
r
(
A
)=
r
(
A
T
A
)=2
对矩阵A初等变换得
00−10
⎤
10−1−1
⎥
⎥
可知
01−10⎥
⎥
0000
⎦
⎡
1
⎢
0
⎢
⎢
−1
⎢
⎣
0
01
⎤⎡
1
⎢
011
⎥
⎥
→
⎢
0
a
⎥⎢
0
⎥⎢
a
−1
⎦⎣
0
01
⎤⎡
1
⎢
011
⎥
⎥
→
⎢
0
a
+1
⎥⎢
0
⎥⎢
a
−1
⎦⎣
0
01
⎤⎡
1
⎢
011
⎥
⎥
→
⎢
0
a
+1
⎥⎢
0
⎥⎢
0−1−
a
⎦⎣
0
01
⎤
11
⎥
⎥
0
a
+1
⎥
⎥
00
⎦
因
r
(
A
)=2
，所以
a
=−1
⎛
202
⎞
⎟
（2）令
B
=
A
T
A
=
⎜
022
⎜⎟
⎜
224
⎟
⎝⎠
λ
−20−2
λ
−20−210−2
λE
−
B
=0
λ
−2−2=−(
λ
−2)
λ
−2−2=(
λ
−2)−1
λ
−2−2
−2−2
λ
−40−2
λ
−40−2
λ
−4
=
λ
(
λ
−2)(
λ
−6)=0
所以B的特征值为
λ
1
=0,
λ
2
=2,
λ
3
=6
对于
λ
1
=0，解(
λ
1
E
−
B
)
X
=0得对应的特征向量为
α
1
=(1,1,−1)
T
对于
λ
2
=2，解(
λ
2
E
−
B
)
X
=0得对应的特征向量为
α
2
=(1,−1,0)
T
对于
λ
3
=6
，解
(
λ
3
E
−
B
)
X
=0
得对应的特征向量为
α
3
=(1,1,2)
T
将
α
1
,
α
2
,
α
3
单位化可得
15
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
⎛
1
⎞⎛
1
⎞⎛
1
⎞
1
⎜⎟
1
⎜⎟
1
⎜⎟
η
1
=1,
η
=−1,
η
=1
⎟
21
⎜⎟⎜⎟⎜
3
⎜⎟
2
⎜⎟
6
⎜⎟
−10
⎝⎠⎝⎠⎝
2
⎠
⎛1
⎜
⎜
3
⎜
1
正交矩阵
Q
=
⎜
⎜
3
⎜
1
⎜
−
⎝
3
1
2
1
−
2
0
1⎞
⎟
6
⎟
⎛
0
⎞
1
⎟
⎜⎟
T
⎟
，则
QAQ
=
⎜
2
⎟
6
⎟
⎜
6
⎟
⎝⎠
2
⎟
⎟
6
⎠
2
因此，作正交变换
x
=
Qy
，二次型的标准形为
f
(
x
)=
x
T
(
A
T
A
)
x
=
y
T
Ay
=2
y
2
2
+6
y
3
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1
∼
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所
选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
x
2
+
x
(1)曲线
y
=
2
渐近线的条数为
x
−1
(A)0(B)1(C)2(D)3
(2)设函数
f
(
x
)=(
e
x
−1)(
e
2
x
−2)⋯(
e
nx
−
n
)
，其中
n
为正整数，则
f
\'(0)=
(A)
(−1)
n
−1
(
n
−1)!
(B)
(−1)
n
(
n
−1)!
(3)设函数
f
(
t
)
连续，则二次积分
∫
d
θ
∫
(A)
(C)
π
2
0
2
()
()
(C)
(−1)
n
−1
n
!
(D)
(−1)
n
n
!
(
4−
x
2
2
2cos
θ
f
(
r
2
)
r
d
r
=
(B)
(D)
)
∫
0
d
x
∫
2
x
−
x
∫
0
d
y
∫
1+1+
y
∞
24−
x
2
2
x
+
yf
(
x
+
y
)d
y
x
+
yf
(
x
+
y
)d
x
2222
2222
∫
0
d
x
∫
2
x
−
x
∫
0
d
y
∫
1+1+
y
24−
y
2
2
f
(
x
2
+
y
2
)d
y
f
(
x
2
+
y
2
)d
x
()
24−
y
2
22
(4)已知级数
∑
(−1)
n
=1
n
∞
1
(−1)
n
n
sin
α
绝对收敛，级数
∑
2−
a
条件收敛，则
n
n
=1
n
(A)
0<
a
≤
1
2
(B)
1
<
a
≤1
2
(C)
1<
a
≤
3
2
3
(D)
<
a
<2
2
⎛
0
⎞⎛
0
⎞⎛
1
⎞⎛
−1
⎞
⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
(5)设
α
1
=
⎜
⎜
0
⎟
,
α
2
=
⎜
1
⎟
,
α
3
=
⎜
−1
⎟
,
α
4
=
⎜
1
⎟
,其中
C
1
,
C
2
,
C
3
,
C
4
为任意常数，则下列向量组线性相关的
⎜
C
⎟⎜
C
⎟⎜
C
⎟⎜
C
⎟
⎝
1
⎠⎝
2
⎠⎝
3
⎠⎝
4
⎠
为()
(A)
α
1
,
α
2
,
α
3
(B)
α
1
,
α
2
,
α
4
(C)
α
1
,
α
3
,
α
4
(D)
α
2
,
α
3
,
α
4
16
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
⎛
100
⎞
(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且
p
−1
AP
=
⎜
010
⎟
.若P=（
α
1
,
α
2
,
α
3
），
α
=(
α
1
+
α
2
,
α
2
,
α
3
)
，则
⎜⎟
⎜
002
⎟
⎝⎠
Q
−1
AQ
=
()
⎛
100
⎞
⎟
(A)
⎜
020
⎜⎟
⎜
001
⎟
⎝⎠
⎛
100
⎞
⎟
(B)
⎜
010
⎜⎟
⎜
002
⎟
⎝⎠
⎛
200
⎞
⎟
(C)
⎜
010
⎜⎟
⎜
002
⎟
⎝⎠
⎛
200
⎞
⎟
(D)
⎜
020
⎜⎟
⎜
001
⎟
⎝⎠
(7)设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则
PX
2
+
Y
2
≤1=
(
(A)
{}
)
1
4
(B)
1
2
(C)
π
8
(D)
π
4
X
1
−
X
2
的分布为(
|
X
3
+
X
4
−2|
)(8)设
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
为来自总体
N
(1,
σ
2
)
（
σ
>
0）的简单随机样本，则统计量
(C)
χ
2
(1)
(D)
F
(1,1）
(A)N（0,1）(B)t(1)
二、填空题：9
∼
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
(9)
lim
(
tan
x
)
cos
x
−sin
x
=
x
→
π
4
1
(10)设函数
f
(
x
)
=
⎨
⎧
dy
⎪ln
x
,
x
≥1
，
y
=
f
(
f
(
x
)
)
，则
dx
⎪
⎩
2
x
−1,
x
<1
f
(
x
,
y
)−2
x
+
y
−2
x
+(
y
−1)
22
x
=
e
=
(11)设连续函数
z
=
f
(
x
,
y
)
满足
lim
x
→0
y
→1
=0
则d
z
|
(
0,1
)
=
(12)由曲线
y
=
4
和直线
y
=
x
及
y
=4
x
在第一象限中围成的平面图形的面积为
x
(13)设
A
为3阶矩阵，
A
=3
，
A
*
为
A
的伴随矩阵。若交换
A
的第1行与第2行得矩阵
B
,则
BA
*
=
(14)设
A
、
B
、
C
是随机事件，
A
与
C
互不相容，
P
(
AB
)=
11
,
P
(
C
)=
,则
P
(
AB
|
C
)=
23
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
．．．
骤.
(15)
e
x
−
e
2−2cos
x
求极限
lim
x
→0
x
4
(16)
计算二重积分
∫∫
e
x
xy
d
x
d
y
，其中
D
是以曲线
y
=
x
,
y
=
2
1
及
y
轴为边界的无界区域.
x
(17)
某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量
17
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
分别为
x
（件）和
y
（件），且定两种产品的边际成本分别为
20+
（1）求生产甲乙两种产品的总成本函数
C
(
x
,
y
)
（万元）
x
（万元/件）与
6+
y
（万元/件）。
2
(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本
(3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
(18)
1+
xx
2
证明
x
ln+cos
x
≥1+,(−1<
x
<1)
1−
x
2
(19)
已知函数
f
(
x
)
满足方程
f
\'\'
(
x
)+
f
\'
(
x
)−2
f
(
x
)=0
及
（1）求
f
(
x
)
的表达式
(20)
x
0
f
\'\'
(
x
)+
f
(
x
)=2
e
x
(2)求曲线
y
=
f
(
x
2
)
∫
f
(−
t
2
)d
t
的拐点
⎛⎞
1
a
00
⎛⎞
⎜
1
⎟
⎜
01
a
0
⎟
⎜⎟
⎜⎟
设
A
=
，
β
=
⎜
−1
⎟
⎜
001
a
⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜
0
⎟
a
001
⎝⎠
⎜
0
⎟
⎝⎠
（1）
计算行列式
A
；
（2）当实数
a
为何值时，方程组
Ax
=
β
有无穷多解，并求其通解.
(21)
⎛
10
⎜
01
已知
A
=
⎜
⎜
−10
⎜
⎝
0
a
（1）求实数
a
的值；
1
⎞
1
⎟
⎟
，二次型
f
(
x
,
x
,
x
)
=
x
T
(
A
T
A
)
x
的秩为2，
123
a
⎟
⎟
−1
⎠
（2）
求正交变换
x
=
Qy
将
f
化为标准形.
（22）
设二维离散型随机变量
X
、
Y
的概率分布为
012
0
1
4
0
1
4
10
1
3
0
2
1
12
0
1
12
18
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
（Ⅰ）求
P
{
X
=2
Y
}
；
（Ⅱ）求
Cov(
X
−
Y
,
Y
)
.
（23）
设随机变量
X
与
Y
相互独立，且服从参数为1的指数分布.记
U
=max
{
X
,
Y
}
，
V
=min
{
X
,
Y
}
（Ⅰ）求
V
的概率密度
f
V
(
v
)；
（Ⅱ）求
E
(
U
+
V
)
.
数三参考答案
一、选择题
1
C
二、填空题
9、
e
−2
2
C
3
B
4
D
5
C
6
B
7
D
8
B
；10、4；11、
2
dx
−
dy
；12、
4ln2
；13、
−27
；14、
3
4
三、解答题
15、解：
16、解：
19
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
17、解：
xx
2
′
(
x
,
y
)=20+
，对x积分得：
C
(
x
,
y
)=20
x
++
D
(
y
)
（I）
C
x
24
再对y求导有，
C
′
y
(
x
,
y
)=
D
′
(
y
)
=6+
y
y
2
再对y积分有，
D
(
y
)
=6
y
++
c
2
x
2
y
2
所以
C
(
x
,
y
)=20
x
++6
y
++
c
，又
C
(0,0)=10000
，所以
c
=10000
42
x
2
y
2
所以
C
(
x
,
y
)=20
x
++6
y
++10000
42
x
2
y
2
（II）x+y=50，把y=50-x代入
C
(
x
,
y
)=20
x
++6
y
++10000
42
2
3
x
C
(
x
)=−36
x
+11550
4
⎛3
x
2
⎞
′
令
C
′
(
x
)=
⎜
−36
x
+11550
⎟
=0
，得x=24，y=50-24=26，
4
⎝⎠
这时总成本最小C（24,26）=11118万元
′
(
x
,
y
)
(
24,26
)
=32
（万元/件）（III）
C
x
经济意义：总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加32万元。
1+
xx
2
18、证明：令
f
(
x
)
=
x
ln+cos
x
−1−
1−
x
2
，
20
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
f
′
(
x
)
=ln
f
′
(
0
)
=0
1+
x
2
x
+−sin
x
−
x
1−
x
1−
x
2
2
(
1−
x
)
+4
x
11
44
f
′′
(
x
)
=++−cos
x
−1
=−cos
x
−1≥−2>0
2
22
2
2
2
1+
x
1−
x
(
1−
x
)(
1−
x
)(
1−
x
)
22
所以
f
(
x
)
≥
f
(
0
)
=0
1+
xx
2
即证得：
x
ln+cos
x
≥1+
(
−1<
x
<1
)
1−
x
2
19、解：（I）
f
\'\'
(
x
)+
f
\'
(
x
)−2
f
(
x
)=0
对应的特征方程为
r
2
+
r
−2=0
，r=-2，r=1
所以
f
(
x
)
=
C
1
e
−2
x
+
C
2
e
x
把
f
(
x
)
=
C
1
e
−2
x
+
C
2
e
x
代入
f
\'\'
(
x
)+
f
(
x
)=2
e
x
，得到
f
(
x
)
=
e
x
（II）
同理，当x<0时，
y
′′<0
可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。
20、解：
（I）
⎡
1
⎢
0
A
=
⎢
⎢
0
⎢
⎣
a
a
1
0
0
0
a
1
0
0
⎤
⎡
1
a
0
⎤⎡
a
00
⎤
0
⎥
⎥
=1×
⎢
01
a
⎥
+
a
×(−1)
4+1
⎢
1
a
0
⎥
=1−
a
4
⎢⎥⎢⎥
a
⎥
⎢⎢
⎥
⎣
001
⎥
⎦⎣
01
a
⎥
⎦
1
⎦
(II)对方程组
Ax
=
β
的增广矩阵初等行变换：
21
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
⎡
1
a
⎢
01
⎢
⎢00
⎢
⎣
a
0
⎡
1
⎢
0
→
⎢
⎢0
⎢
⎣
0
001
⎤⎡
1
a
⎢
01
a
0−1
⎥
⎥
→
⎢
1
a
0⎥⎢00
⎥⎢
010
⎦⎣
0−
a
2
001
⎤⎡
1
⎢
0
a
0−1
⎥
⎥
→
⎢
1
a
0⎥⎢0
⎥⎢
01−
a
⎦⎣
0
a
001
⎤
1
a
0−1
⎥
⎥
01
a
0⎥
⎥
0
a
3
1−
a
−
a
2
⎦
a
1
0
0
00
a
0
1
a
01−
a
4
1
⎤
−1
⎥
⎥
0⎥
⎥
−
a
−
a
2
⎦
可知，要使方程组
Ax
=
β
有无穷多解，则有
1−
a
4
=0
且
−
a
−
a
2
=0
，可知
a
=−1
此时，方程组
Ax
=
β
的增广矩阵变为
⎡
1−10
⎢
01−1
⎢
⎢0
⎢
⎣
0
0
0
1
0
0
0
−1
0
1
⎤
−1
⎥
⎥
⎡
100−10
⎤
⎢
010−1−1
⎥
⎥
可知，进一步化为最简形得
⎢
0⎥⎢001−10⎥
⎥⎢⎥
0
⎦
00000
⎣⎦
⎛
1
⎞⎛
0
⎞⎛
1
⎞⎛
0
⎞
⎜
1
⎟⎜
−1
⎟⎜
1
⎟⎜
−1
⎟
导出组的基础解系为
⎜⎟
，非齐次方程的特解为
⎜⎟
，故其通解为
k
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜
1
⎟⎜
0
⎟⎜
1
⎟⎜
0
⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
10
⎝⎠⎝⎠⎝
1
⎠⎝
0
⎠
21、解：
（1）
由二次型的秩为2，知
r
(
A
T
A
)=2
，故
r
(
A
)=
r
(
A
T
A
)=2
对矩阵A初等变换得
⎡
1
⎢
0
⎢
⎢
−1
⎢
⎣
0
01
⎤⎡
1
⎢
011
⎥
⎥
→
⎢
0
a
⎥⎢
0
⎥⎢
a
−1
⎦⎣
0
01
⎤⎡
1
⎢
011
⎥
⎥
→
⎢
0
a
+1
⎥⎢
0
⎥⎢
a
−1
⎦⎣
0
01
⎤⎡
1
⎢
011
⎥
⎥
→
⎢
0
a
+1
⎥⎢
0
⎥⎢
0−1−
a
⎦⎣
0
01
⎤
11
⎥
⎥
0
a
+1
⎥
⎥
00
⎦
因
r
(
A
)=2
，所以
a
=−1
⎛
202
⎞
⎟
（2）令
B
=
A
T
A
=
⎜
022
⎜⎟
⎜
224
⎟
⎝⎠
λ
−20−2
λ
−20−210−2
λE
−
B
=0
λ
−2−2=−(
λ
−2)
λ
−2−2=(
λ
−2)−1
λ
−2−2=
λ
(
λ
−2)(
λ
−6)=0
所以B
−2−2
λ
−40−2
λ
−40−2
λ
−4
的特征值为
λ
1
=0,
λ
2
=2,
λ
3
=6
对于
λ
1
=0
，解
(
λ
1
E
−
B
)
X
=0
得对应的特征向量为
α
1
=(1,1,−1)
T
22
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
对于
λ
2
=2，解(
λ
2
E
−
B
)
X
=0得对应的特征向量为
α
2
=(1,−1,0)
T
对于
λ
3
=6，解(
λ
3
E
−
B
)
X
=0得对应的特征向量为
α
3
=(1,1,2)
T
⎛
1
⎞⎛
1
⎞⎛
1
⎞
1
⎜⎟
1
⎜⎟
1
⎜⎟
将
α
1
,
α
2
,
α
3
单位化可得
η
1
=1,
η
=−1,
η
=
⎟
2
⎜⎟
1
⎜
1
⎟
3
⎜
26
⎜
−1
⎟⎜
0
⎟⎜
2
⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛1
⎜
⎜
3
⎜
1
正交矩阵
Q
=
⎜
⎜
3
⎜
1
⎜
−
⎝
3
1
2
1
−
2
0
1⎞
⎟
6
⎟
⎛
0
⎞
1
⎟
⎜⎟
T
⎟
，则
QAQ
=
⎜
2
⎟
6
⎟
⎜
6
⎟
⎝⎠
2
⎟
⎟
6
⎠
2
因此，作正交变换
x
=
Qy
，二次型的标准形为
f
(
x
)=
x
T
(
A
T
A
)
x
=
y
T
Ay
=2
y
2
2
+6
y
3
22、解：
X
P
Y
P
XY
P
0
7/12
0
1/2
0
1/3
1
1/3
1
1/3
1
1/3
2
0
2
1/6
2
1/3
4
1/12
（Ⅰ）
P
{
X
=2
Y
}
=
P
{
X
=0,
Y
=0
}
+
P
{
X
=2,
Y
=1
}
=
（Ⅱ）
cov(
X
−
Y
,
Y
)=cov(
X
,
Y
)−cov(
Y
,
Y
)
11
+0=
44
25
cov(
X
,
Y
)=
EXY
−
EXEY
，其中
EX
=,
EX
2
=1,
EY
=1,
EY
2
=,
33
45
DX
=
EX
2
−(
EX
)
2
=1−=
99
522
DY
=
EY
2
−(
EY
)
2
=−1=
，
EXY
=
333
22
所以，
cov(
X
,
Y
)=0,cov(
Y
,
Y
)=
DY
=,cov(
X
−
Y
,
Y
)=−,
ρ
XY
=0
33
23、解：
23
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学
24
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产品,矩阵,曲线,下列
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