2024年3月11日发(作者：江苏徐州会考数学试卷真题)
基础班微积分辅导第15章
第二类曲线积分2与第一类曲面积分
1. 平面曲线积分与路径无关的条件
定理15.1 (Green公式) 设
D
为平面上的有界连通闭区域,记
∂D
为
D
的有向边界,其正方向
的定义为:沿
∂D
的正方向走,
D
区域在其左边.若平面二元向量值函数
F(x,y)=(X(x,y),Y(x,y))
是
C
(1)
类函数(即
X(x,y),Y(x,y)
在
D
有一阶连续偏导数),则
⎛
∂Y∂X
⎞
XdxYdy−+=
⎟
dxdy
⎜
∫∫∫
∂x∂x
⎠
∂DD
⎝
【证】
定理15.2 在单连通域
D
中：
F(x,y)=(X(x,y),Y(x,y))
有一阶连续偏导数，线积分与路
径无关（任意闭路积分为零）
⇔
∂Y∂X
=
。
∂x∂y
【证】
定理15.3 在单连通域
D
中：
F(x,y)=(X(x,y),Y(x,y))
有一阶连续偏导数，则存在
D
中
的可微函数
u(x,y)
满足
u(x,Y)=Xdx+Ydy
⇔
∂Y∂X
=
。
∂y∂x
【证】
定理15.4 在复连通域
D
中：
F(x,y)=(X(x,y),Y(x,y))
有一阶连续偏导数，且满足
∂Y∂X
，则
=
∂x∂y
（1）当
D
中有唯一奇
P
0
点时，则环绕
P
0
的任意闭路积分恒为一个常数。
（1）当
D
中有有限个奇点
P
1
,P
2
,
L
,P
n
点时，则在任意环绕
P
1
,P
2
,
L
,P
n
在内的闭路积分恒
为一个常数：
【证】
例15.1设有向折线
L
为
A(
∫
L
=
∑
∫
i
=1
n
L
i
≡C
。
π
2
,−
π
)→B(,)→C(−,)
的两段线段构成，计算
22222
ππππ
∫
L
cos
2
ydx−sin
2
xdy
。
【解】（方法1）
∫
L
cos
2
ydx−sin
2
xdy=
∫
cos
2
ydx−sin
2
xdy+
∫
cos
2
ydx−sin
2
xdy
ABBC
=
∫
π
−
sin
2
π
2
π
2
−
2
dy−
∫
2
π
cos
2
−
2
π
π
2
dx=−
π
。
（方法2）用Green定理方法：
1
∫
cos
L
2
ydx−sin
2
xdy=
∫
ABCA
cos
2
ydx−sin
2
xdy−
∫
cos
2
ydx−sin
2
xdy
CA
π
=
∫∫
ΔABC
(−2sinxcosx+2sinycosy)dxdy−
∫
2
π
cos
2
(−x)dx−sin
2
xd(−x)
−
2
π
=0−
∫
2
π
dx=−
π
−
2
例15.2
L
为
x+y=9
正向, 则
I=
22
∫
(
2xy−2y+x
)
dx+
(
x
2
L
2
−4x−y
2
dy
=?
)
【解】 我们已用直接法求值.现在我们用Green公式来求值.
I
=
∫
(
2xy
−
2y
+
x
)
dx
+
(
x
2
L
2
−
4x
−
y
2
dy
=
)
∫∫
D
其中
D=(x,y)x
2
+y
2
≤9
。
{}
⎡
∂
2
∂
2
−−−
x4xy2xy
−
2y
+
x
2
⎢
∂
x
∂
y
⎣
()()
⎤
⎥
dxdy
⎦
I=
∫∫
(
2x−4−2x+2
)
dxdy=−2×9
π
=−18
π
D
x
2
y
2
例15.3求
(1+ye)dx+(x+e)dy
, 其中
L
为沿椭圆
2
+
2
=1
的上半周由
A(a,0)
到
L
ab
B(−a,0)
.
【解】 添加辅助直线
BA
, 由Green公式
∫
xx
∫
L
+
BA
(1+ye
x
)dx+(x+e
x
)dy=
∫∫
D
x
(1+e
x
−e
x
)dxdy=
π
2
ab
.
而
∫
π
故
(1+ye)dx+(x+e)dy=ab−2a
∫
2
BA
(1+ye
x
)dx+(x+e
x
)dy=2a
x
L
若曲线本身不封闭, 可以通过添加辅助线的方法使其封闭, 然后再用Green公式简化计算.
例15.4设
Q(x,y)
在全平面上连续可微,已知曲线积分
并且对于任意的
t
,有
∫
L
2xydx+Q(x,y)dy
与路径无关,
(t,1)
(0,0)
∫
(1,t)
(0,0)
2xydx+Q(x,y)dy=
∫
2xydx+Q(x,y)dy
.求函数
Q(x,y)
.
【解】 根据条件得到
∂Q
∂
=(2
xy
)=2
x
，因此
Q(x,y)=x
2
+f(y)
.
∂x∂y
1
t
另外算出两个曲线积分
∫
∫
(1,
t
)
(0,0)
2xydx+Q(x,y)dy=
∫
2x⋅0dx+
∫
Q(1,y)dy
00
=
∫
[1+f(y)]dy=t+
∫
f(y)dy
，
00
(
t
,1)
(0,0)
tt
2xydx+Q(x,y)dy=
∫
Q(0,y)dy+
∫
2x⋅1dx=
∫
f(y)dy+t
2
，
000
1
t
1
令两者相等得到
t+
∫
t
0
f(y)dy=
∫
f(y)dy+t
2
.
0
1
关于
t
求导数得到
f(t)=2t−1
, 于是
Q(x,y)=x+2y−1
.
2
2
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