八年级数学 勾股定理证明方法

2024年4月12日发(作者：数学试卷瞎猜法)

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

ab

ba

a

aca

a

cb

c

a

b

b

c

b

c

bb

c

a

a

a

bb

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做

三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a

2

b

2

4abc

2

4ab

22

， 整理得

a

2

b

2

c

2

.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1

ab

等于

2

. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

G

D

b

∴ ∠AHE = ∠BEF.

a

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

c

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

H

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

c

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

b

正方形. 它的面积等于c

2

.

a

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

AE

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

a

C

b

c

F

c

b

a

B

2



ab

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.

D

b

G

F

E

a

H

C

∴



ab



2

4

1

abc

2

2

222

. ∴

abc

.

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c

A

B

【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1

ab

2

三角形的面积等于. 把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c

2

.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90º.

2



ba

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

1

2

4ab



ba



c

2

∴

2

.

∴

abc

.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面

1

ab

2

积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、

C

E、B三点在一条直线上.

222

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

D

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,

a

∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.

∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.

A

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

c

b

E

c

a

b

B

1

2

c

2

它的面积等于.

又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,

∴ AD∥BC.

1



ab



2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

2

.

1



ab



2

2

1

ab

1

c

2

22

. ∴

2

∴

abc

.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它

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222