2006年河南专升本高数真题(带答案)

2023年12月6日发(作者：今年最难的数学试卷是哪个)

2006年河南专升本高数真题（带答案）

2006年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

《高等数学》试卷

一、单项选择题（每小题2分，共计60分）

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题

干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ） A. ]1,2

1[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-

解：B x x ?≤-≤-?≤≤112110.

2.函数)1l n (

2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是 （ ）

A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数

解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ?.

3. 当0→x 时，x x s i n 2

-是x 的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 解：

20-=-→x

x

x x C ?. 4.极限

=+∞→n

n

n n s 32l

i

（ ）

A. ∞

B. 2

C. 3

D. 5

解：B n

n

n n n n n ?=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim

.

5.设函数??

=+≠-=0,10,1

1sin lim)(2x a x x e x f ax ，在0=x 处连续，则 常数=a （ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解：B a a a ae x

e x

f ax x ax x x ?=?+===-=→→→1122lim 1

lim

)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导 ，则=--+→x

x f x f x )

1()21(lim

0 （ ）

A. )1(f \'

B. )1(2f \'

C. )1(3f \'

D. -)1(f \' 解：x

x f f f x f x x f x f x x )

1()1()1()21(lim )1()21(lim

00--+-+=--+→→

C f x

f x f x f x f x x ?\'=---+-+=→→)1(3)

1()1(lim 2)1()21(lim

200 7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标

（ ）

A. （2，5）

B. （-2，5）

C. （1，2）

D.

（-1，2） 解： A y x x x y ?==?=?=\'5,2422000.

8.设

==

202cos sin t

y du

u x t ，则

=dx

dy

（ ）

A. 2

t B. t 2 C.-2

t D. t 2-

解： D t t

t t dx dy ?-=-=2sin sin 222

. 9.设2(ln )

2(>=-n x x y n ，为

正

整

数

),

则

=)

(n y （ ）

A.x n x ln )(+

B.

x 1 C.1

)!2()1(---n n x

n D. 0 解：B x

y x y x x y

n n n ?=?+=?=--1ln 1ln )()1()

2(. 10.曲线2

33

222++--=x x x x y （ ）

A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线

B. 有一条水平渐近线，两条垂

直渐近线

C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，

D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线 解：A y y y x x x x x x x x y x x x ?∞=-==?++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )

2)(1()3)(1(2332.

11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.

]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)1(1

3

2

-=

x y

C.]2,1[,232

+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =

解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ?.

12. 函数x

e

y -=在区间),(+∞-∞内 （ ）

A. 单调递增且图像是凹的曲线

B. 单调递增且图像是凸的曲线

C. 单调递减且图像是凹的曲线

D. 单调递减且图像是凸的曲线

解： C e y e y x x

>=\'\'<-=\'--0,0.

13.若

+=C x F dx x f )()(，

则?=--dx e f e x

x

)( （ ）

A.C e F e x x ++--)(

B. C e F x +-)(

C. C e F e x x +---)(

D. C e F x +--)(

解：D C e F e d e f dx e f e x x x x x ?+-=-=?

-----)()()()(.

14. 设)(x f 为可导函数，且x e x f =-\')12( ，则 =)(x f （ ）

A. C e x +-1

22

1 B. C e x ++)1(21

2 C. C e x ++1

22

1 D. C e x +-)1(2

1

2 解：B C e

x f e x f e x f x x x

+==\'=-\'++)1(2

1

)1(2

1

2)()()12(.

15. 导数

=?b

a tdt dx

d arcsin （ ） A.x arcsin B. 0 C. a b arcsin arcsin - D. 2

11

x

-

解：?b a xdx arcsin 是常数，所以

B xdx dx d b

a

=0arcsin . 16.下列广义积分收敛的是 （ ） A.

+∞

1

dx e x

B. ?

+∞

1

1dx x C. ?+∞+12

41

dx x D. ?+∞1cos xdx

解：C x dx x

-==++∞∞

+?)21

arctan 4(412arctan 4141112π. 17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的

面积为

（ ）

A.

-b a

dx x g x f )]()([ B. ?-b

a

dx x g x f )]()([

C.

-b

a

dx x f x g )]()([ D. ?-b

a

dx x g x f |)()(|

解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ?-b

a

dx x g x f |)()(|D ?.

18. 若直线

3

2

311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n

（

）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解： B n n n ?=?=+-?-⊥30943}3,43{}3,,1{. 19.设

y

x y x y x f arcsin

)1(),(-+=，则偏导数

)1,(x f x \'为（ ）

A.2

B.1

C.-1

D.-2 解： B x f x x f x ?=\'?=1)1,()1,(.

20. 设方程02=-xyz e z

确定了函数),(y x f z = ，则x z

= （ ）

A. )12(-z x z

B. )12(+z x z

C. )12(-z x y

D. )

12(+z x y

解： 令xy e F yz F xyz e z y x F z z x z -=\'-=\'?-=222,),,(

A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ?-=-=-=)12(222. 21.设函数x y y x z +=2 ，则===11y x dz （ ） A. dy dx 2+ B. dy dx 2- C. dy

dx +2 D. dy dx -2

解：2

2

2x

ydx

xdy dy x xydx dz -+

+= A dy dx dx dy dy dx dz y x ?+=-++=?==221

1

.

22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内 （ ）

A.有极大值，无极小值

B. 无极大值，有极小值

C.有极大值，有极小值

D. 无极大值，无极小值

解：,6)0,0(),(062,06222-==?=-=??=-=??x z y x y x y z x y x z

=-=2,622

2y x z

y z 是极大值A ?.

23设D 为圆周由01222

2

=+--+y x y x 围成的闭区域 ，则=??D

dxdy

（ ）

A. π

B. 2π

C.4π

D. 16π

解：有二重积分的几何意义知：=??D

dxdy 区域D 的面积为π. 24.交换二次积分??>a x

a dy y x f dx 00

0(),(，常数）的积分次序后可化为 （ ） A. ??a y dx y x f dy 0

),( B. ??a a y

dx y x f dy 0),(

C.

a

a dx y x f dy 0

),( D. ??a y

a

dx y x f dy 0

),(

解： 积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=

B ?.

25.若二重积分=20sin 20

)sin ,cos (),(πθ

θθθrdr r r f d dxdy y x f D

，则积分区域D 为

（

）

A. x y x 222≤+

B. 222≤+y x

C. y y x 222≤+

D. 220y y x -≤≤

解

：在

极

坐

标

下

积

分

区

域

可

表

示

为

：

}s i n 20,2

0|),{(θπ

θθ≤≤≤

≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为

y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ?

26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则

=-+?

L

dy dx y x )(

（

）

A. 2

B.1

C. -1

D. -2 解

：

L

：

,1?-==x y xxx从1变到0，-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L.27.下列级数中，绝对收敛的是（ ）A ．∑∞=1sin n n πB ．∑∞=-1sin)1(n nnπC ．∑∞=-12sin)1(n nn πD ．∑∞=1cos n n π解： ?<22sinn n ππ∑∞=π12sinn n收敛C ?. 28. 设幂级数n n n na x a(0∑∞=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则∑∞=-0)1(n n na（ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定解：∑∞=0n nn

x a

在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞

=-0

)1(n n n a 绝

对收敛A ?.

29. 微分方程0s i n c o s c

o s s i n =+y d x x y d y x 的通解为 （ ） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 解：dx x

x

dy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=?=+

C C y x C x y x

x

d y y d ?=?=+?-=?

sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin . 30.微分方程x

xe y y y -=-\'+\'\'2的特解用特定系数法可设为 （ ）

A. x

e

b ax x y -+=*)( B. x

e

b ax x y -+=*)(2

C. x

e b ax y -+=*)( D. x

axe y -=*

解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x

e b ax y -+=*)( C ?.

二、填空题（每小题2分，共30分）

31.设函数,1

||,01

||,1)(>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.

解：1)(sin 1|sin |=?≤x f x .

32.=--+→x

x x x 23

1lim

22

=_____________.解

：

=++=++--=--+→→→)31(1

lim )31)(2()2(lim 231lim

2222

x x x x x x x x x x x x 12

3

341=

=.

33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.

解：dx x

dy 2

412

+= . 34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b

a 和分别为___________.

解

：

b a b a b ax x x f -+-=-=+-?++=\'12,02323)(25,4==?b a .

35.曲线1232

3-+-=x x x y 的拐点为 __________.

解：)1,1(),(0662632

-=?=-=\'\'?+-=\'y x x y x x y .

36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.

解：2)1()1()()(=-=?=-g f C C x g x f 2)()(=-?x g x f .

37.

-

=+π

π

dx x x )sin (32 _________.

解：3

202sin )sin (3

02

3

2

32

π=+=+=+π

π

π-π

π-π

π-dx x xdx dx x dx x x .

38.设函数<≥=0

,0

,)(2x x x e x f x

，则 ?=-20)1(dx x f __________.

解：--=--=+=====-2

2)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x

t x .

39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a

与向量的夹角为__________.

解：3,2

1663||||,cos π

>=?<==?>=

40.曲线??

==0

22z x

y L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________.

解：把x y 22=中的2y 换成22y z +，即得所求曲面方程x y z 222=+.

41.设函数y x xy z sin 2

+= ，则 =y

x z

2_________.

解： ?+=??y x y x z sin 2y x y

x z cos 212+=. 42.设区域

}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则

___

)(2

=-D

dxdy x y . 解：

-=-=-=--Ddx x dy x y dx dxdy x y 102

101122322)()( . 43. 函数2

)(x e x f -=在00=x 处展开的幂级数是________________. 解

：

∑∞

=?=0!n n x

n x e ∑∑∞=∞

=-+∞-∞∈-=-==00

22),(,!1)1(!)()(2

n n n n n x x x n n x e x f .

44.幂级数∑∞

=+++-0

1

12)1()1(n n n n

n x 的和函数为 _________.

解

：

∑∑∑∞=∞

=-+∞

=+++=-=+-=+-01

11011

)21l n

)2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n n

x n x n x n x

,

)22(≤<-x .

45.通解为x

x

e C e C y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐

次微分方程为_________.

解：x x

e C e C y 321+=-0323,1221=--?=-=?λλλλ

032=-\'-\'\'?y y y .

三、计算题（每小题5分，共40分）46．计算 xx ex x x 2sin 1lim 3202-→--. 解：21lim 3222lim 81lim 2sin 1lim 2222x e x xe x x e x xx ex x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 161lim 161322lim22000-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.求函数xx x y 2sin 2)3(+=的导数dx dy .解：取对数得 ：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，两边对x 求导得：x xx x x x x y y 2sin 332)3ln(2cos 2122++++=\' 所以]2sin 332)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x xx x x x x x x y x+++++=\' xx x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-.48.求不定积分 ?-dx x x 224.解

：

====?

-==-=π<

<π-dt t tdt tdt t t

dx x x t x t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22

2

22

C

x x x C t t x C t t +--=+-=+-=2

42arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 22

.

49.计算定积分

--+1

02)2()

1ln(dx x x .

解：+---+=-+=-+10101

01

02)

1)(2(1

2)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x

=-=+-+=++--=101

02ln 3

1

2ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x .

50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求

y

z x z ,. 解：x

v v g x u u g x y x y x f x z ++?+?+\'=??)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u

\'+\'++\'=

=++?+?+\'=??y

v

v g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v

\'++\'.

51．计算二重积分??=D

ydxdy x I 2， 其中D 由12,===x x y x y 及所围成.

解：积分区域如图06-1所示， 可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤. 所以 ==

1

22

2x

x D

ydy x dx ydxdy x I 10

3

10323)2(

10510421

2

2

====??x dx x y dx x x

x .

52．求幂级数n

n n

x n ∑∞

=--+0)1()

3(1

解： 令t x =-1，级数化为 n

n n

t n ∑∞

=-+0)

3(1，这是不缺项的标准的幂级数. 因为 313

)3(11)

3(1

lim 1)3(1)3(1lim lim 11=

--+-=+?-+-+==∞→+∞→+∞→n

n

n n n n n n n n n a a ρ， 故级数

n

n n

t n ∑∞=-+0)

3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数n

n n

x n ∑∞

=--+0)1()

3(1有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为），（42-. 53．求微分方程 0)12(2

=+-+dy x xy dy x 通解.

解：微分方程0)12(2

=+-+dx x xy dy x 可化为 212x

x y x y -=+\'，这是一

阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+

\'y x y 通解为2x

C y =. 2)(x x C y =，则3

)

(2)(x x C x C x y -\'=\'，代入

C x x x C +-=?2

)(2

. 2211x

C

x y +-=.

四、应用题（每小题7分，共计14分）

54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月

生产成本是522

1+-=x x C （千元），乙厂月生产成本是322

2++=y y C （千

元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.

解：由题意可知：总成本8222

2

21++-+=+=y x y x C C C ，

约束条件为8=+y x . 问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .

把8=+y x 代入目标函数得 0(882022

>+-=x x x C 的整数）.

则204-=\'x C ，令0=\'C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=\'\'C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有

38,3==C y . 所以 甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元. 55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一

平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。 利用体积公式?=b

a

y dx x f x V |)(|2π

.

显然，抛物线与x 两交点分别为（1，0）、（2，0）,平面图形在x 轴的下方.

故 ?

=b

a

y dx x f x V |)(|2π

---=21)2)(1(2dx x x x π

+--=21

2

3

)23(2dx x x x

π

2)4(22

1

234ππ=+--=x x x .

五、证明题（6分）

56.设)(x f 在],[a a -（0

>a ，为常数）上连续， 证明：

--+=a

a

a

dx x f x f dx x f 0

)]()([)(.

并计算

--+4

41cos π

πdx e x

x .证明：因为?

--+=a

a

a a

dx x f dx x f dx x f 0

)()()(，

而-=-=--====-=-00

)()()()()(a

a

a t

x a dx x f dt t f t d t f dx x f ，

故

-+=+=--a a

a

a

a a

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0

0)()()()()(

即有

--+=a

a

a

dx x f x f dx x f 0

)]()([)(.

利用上述公式有

dx e e e x dx e x e x dx e x x x x

x x x

ππ-ππ--??

+++=??+-++=+404044111cos 1)cos(1cos 1cos 2

2sin cos 40

4

===?π

πx dx x . 图06-2