2023届高考数学压轴题(函数整数解问题)专题练习(附答案)

2024年4月12日发(作者：北京中考历年数学试卷题型分析)

2023届高考数学压轴题（函数整数解问题）专题练习

1

1．已知函数

f(x)(kx)e

x

2x

，若f(x)0的解集中有且只有一个正整数，则实数

k

的取值范围为(

2

)

A．

[

C．

[

2121

，



)

e

2

4e2

2121



,



)

e

3

6e

2

4

B．

(

D．

[

2121

，



]

e

2

4e2

2121



,



)

e

3

6e2

1

【名师解析】解：f(x)0，即

(

kx

)

e

x



2

x

0

，

2

112x

也就是

(

kx

)

e

x



2

x

，即

kx



x

，

2

e2

2e

x



2xe

x

2(1



x)

2x



， 令

g(x)



x

，则

g



(x)



e

e

2x

e

x

当x(,1)时，g(x)0，当x(1,)时，g(x)0．

g(x)在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减．

作出函数g(x)与

ykx

ykx

1

的图象如图：

2

1124

的图象过定点

P(0,)

，

A(1,)

，

B(2,

2

)

，

2

2ee



k

PA

2141



2

21

22



2



1

．

ee



，

k

PB



1



0e22



0e

2

4



实数

k

的取值范围为

[

2121



，



)

．

2

e4e2

故选：

A

．

2．已知函数

f

(

x

)



(

kx

2)

e

x

x

(

x

0)

，若

f(x)0

的解集为

(s,t)

，且

(s,t)

中恰有两个整数，则实数

k

的取

值范围为

(

)

A．

[

11



1,



2)

2

ee

1



1)

e

2

B．

[

D．

[

1112



,



)

e

4

2e

3

3

121



,



1)

e

3

3e

2

C．

(



,

【名师解析】解：由

f

(

x

)



(

kx

2)

e

x

x

0

，得

(kx2)e

x

x

，

即

kx

2

设

h

(

x

)

x

，

(x0)

，

e

x

x

，

(x0)

，

e

x

e

x



xe

x

1



x

h



(x)



x

，

(e

x

)

2

e

由

h(x)0

得

0

x

1

，函数

h(x)

为增函数，

由

h(x)0

得

x

1

，函数

h(x)

为减函数，

即当

x

1

时，

h(x)

取得极大值，极大值为

h

（1）



要使

kx

2

1

，

e

x

，

(x0)

，在

s

，

t)

中恰有两个整数，则

k„0

时，不满足条件．

x

e

2323

，当时，（3），即，



A(2,)B(3,)

，

x

3

h

2323

eeee

则

k

0

，当

x

2

时，

h

（2）



则当直线

g(x)kx2

在

A

，

B

之间满足条件，此时两个整数解为1，2，

221





g(2)2k2k1





e

2

，即



e

2

得



e

2

，即

1



2

„

k



1



1

， 此时满足



33

e

3

3e

2



g(3)

…



3k



2

…



k

…

2



1





e

3

e

3





3e

3

即

k

的取值范围是

[

故选：

D

．

121



，

1



2

)

，

3

e3e

3．已知函数

f

(

x

)

xe

x

mxm

，若

f(x)0

的解集为

(a,b)

，其中

b0

；不等式在

(a,b)

中有且只有一个整