2024年4月11日发(作者：小升初独立思考数学试卷)
2012
年全国统一高考数学试卷（理科） （新课
标）
一、选择题：本大题共
题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
1
（
5
分）已知集合
A={ 1
，
2
，
3
，
4
，
5}
，
B={
（
x
，
y
）
|
x
∈
A
，
y
∈
A
，
x
﹣
y
∈
A}
，
12
小题，每小题
5
分，在每小
则
B
中所含元素的个数为（ ）
A 3 B 6 C 8 D 10
2
（
5
分）将
2
名教师，
4
名学生分成
2
个小组，分别安排到
甲、乙两地参加社
会实践活动，每个小组由
的安排方案共有
（）
A 12
种
B 10
种
1
名教师和
2
名学生组成，不同
C 9
种
D 8
种
z=
的
） ，
3
（
5
分）下面是关于复数
四个命题：其中的真命题为（
p
1
：
| z| =2
，
p
2
：
z =2i
，
p
3
：
z
的共轭复数为
1+i
，
p
4
：
z
的虚部为﹣
1
A p
2
，
p
3
B p
1
，
C p
2
，
p
4
4
（
5
分）设
F
1
、
F
2
是椭圆
=1
（
a
>
b
>
0
）的左、右焦点，
P
为直线
D p
3
，
p
4
E
：
+
x=
上一点，△
F
2
PF
1
是底角为
形，则
E
的离心率为（
A B C
30
°的等腰三角
）
D
5
（
5
分）已知
8
，则
a
1
+a
10
=
（
{ a
n
}
为等比数列，
a
4
+a
7
=2
，
a
5
a
6
=
﹣
）
第
1
页（共
31
页）
A 7 B 5 C
﹣
5 D
﹣
7
6
（
5
分）如果执行右边的程序框图，输入正整数
N
（
N
≥
2
）和实数
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
，输出
A
，
B
，则（ ）
第
2
页（共
31
页）
A
．
A+B
为
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
的和
B
． 为
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
的算术平均数
C
．
A
和
D
．
A
和
数
B
分别是
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最大的数和最小的数
B
分别是
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最小的数和最大的
7
． （
5
分）如图，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗线画出的是
某几何体的三视
图，则此几何体的体积为（ ）
第
3
页（共
31
页）
A
．
6 B
．
9 C
．
12 D
．
18
的准
第
4
页（共
31
C
的中心在原点，焦点在
x
页）
8
． （
5
分）等轴双曲线
2
轴上，
C
与抛物线
y=16x
线交于点
A
．
A
和点
B
．
B
，
| AB| =4
，则
C
的实轴长为（
D
．
C
．
4
9
． （
5
分）已知
ω> 0
，函
8
数
f
（
x
）
=sin
（
C
．
10
． （
5
分）已知函数
f
（
x
）
=
y=f
（
x
D
． （
0
，
2]
则实数
ω
的取值范围是（ ）
11
． （
5
分）已知三棱锥
在球
O
的表面上，
1
的正三角形，
SC
为
球
O
的直径，且
A
．
B
．
S
﹣
ABC
的所有顶点都
△
ABC
是边长为
SC=2
，则此三棱锥的体积为
（ ）
C
．
D
．
12
． （
5
分）设点
P
在曲线
上，点
C
．
1+ln2 D
．
4
小题，每小题
5
分．
13
． （
5
分） 已知向量
且 ， 则
=
夹角为
45
°，
第
5
页（共
31
页）
14
（．
5
分） 设
x
，
y
满足约束条件： ； 则
z=x
﹣
2y
的取值范
围为
15．
部件由三个元件按下图方式连接而成，元件
常工
（
5
分）某个
1
或元件
2
正
作，且元件
3
正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使
用寿命（单
位：小时）均服从正态分布
N
（
1000
，
50
） ，且各个元件能否正
常相互独立，
那么该部件的使用寿命超过
．
1000
小时的概率为
2
16
．（
5
分） 数列
n
a
n
=2n
﹣
1
， 则
{a
n
}
满足
a
n
+
1
+
（﹣
1
）
{a
n
}
的前
60
项和为 ．
17．
个内角
（
12
分） 已知
a
，
b
，
c
分别为△
ABC
三
A
，
B
，
C
的对边，
acosC+ asinC
﹣
b
﹣
c=0
1
）求
A
；
2
）若
a=2
，△
ABC
的面积为 ；求
b
，
c
．
第
6
页（共
31
页）
18．
（
12
分）某花店每天以每枝
5
元的价
格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每
枝
10
元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处
理．
1
）若花店一天购进
16
枝玫瑰花，求当天的
利润
y
（单位：元）关于当天需求
量
n
（单位：枝，
n
∈
N
）的函数解析式．
2
）花店记录了
求量（单位：枝）
100
天玫瑰花的日需
，整理得如表：
15
20
16
16
17
16
18
15
19
13
20
10
日需求量
n
频数
14
10
100
天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
16
枝玫瑰花，
，求
X
的分布
X
表示当天
i
）若花店一天购进
的利润（单位：元）
列、数学期望及方差；
11）
玫瑰花，
若花店计划一天购进
16
枝或
17
枝
你认为应购进
16
枝还是
17
枝？
请说明理由．
19．
A
1
B
1
C
1
中，
点，
DC
1
⊥
BD
（
12
分） 如图， 直三棱柱
AC=BC= AA
1
，
D
是棱
ABC
﹣
AA
1
的中
1
）证明：
DC
1
⊥
BC
；
2
）求二面角
A
1
﹣
BD
﹣
C
1
的大小．
第
7
页（共
31
页）
20．
（
0
）的焦点为
F
为圆心，
12
分）设抛物线
F
，准线为
l
，
C
：
A
∈
x=2py
（
p
>
C
，已知以
2
FA
为半径的圆
F
交
l
于
B
，
D
两点；
BFD=90
°，△
ABD
的面积为 ，求
p
的值及圆
F
A
，
B
，
F
三点在同一直线
m
上，直
n
与
C
只有一个
（
1
）若∠
的方程；
（
2
）若
线
n
与
m
平行，且
公共点，求坐标原点到
m
，
n
距离的比值．
21．
（
=f
（′
1
）
12
分）已知函数
x1
e
﹣
f
（
0
）
x+
﹣
f
（
2
x
；
x
）满足
f
（
x
）
1
）求
f
（
x
）的解析式及单调区间；
2
）若 ，求（
a+1
）
b
的最大值．
四、请考生在第
22
，
23
，
24
题中任选一题作答，如果多做，则按
第
8
页（共
31
页）
所做的第一题
计分，作答时请写清题号．
22．
为△
的
（
10
分）如图，
ABC
边
AB
，
AC
的中点，直线
D
，
E
分别
DE
交△
ABC
外接圆于
（ 1）
CD=BC
；
F
，
G
两点，若
CF
∥
AB
，证明：
（
2
）△
BCD
∽△
GBD
．
23
．选修
4
﹣
4
；坐标系与参数方程
已知曲线
C
1
的参数方程是
（
φ
为参数） ，以坐标原点为极点，
的
x
轴
正半轴为极轴建立坐标系，曲线
C
2
的坐标系方程是
ρ =2
，正方形
ABCD
的顶
点都在
C
2
上，且
时针次序排列，点
2
， ） ．
（
1
）求点
A
，
B
，
C
，
D
的直角坐标；
（
2
）设
P
为
C
1
上任意一点，求
| PA| +| PB|
222
+| PC| +| PD|
的取值范围．
2
A
，
B
，
C
，
D
依逆
A
的极坐标为（
第
9
页（共
31
页）
24
．已知函数
f
（
x
）
=| x+a|+| x
﹣
2|
①当
②
f
（
x
）≤
a=
﹣
3
时，求不等式
f
（
x
）≥
3
的解集；
| x
﹣
4|
若的解集包含
[ 1
，
2]
，求
第
10
页（共
31
a
的取值范围．
2012年全国统一高考数学试卷（理科） （新课
标）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共
题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．
5｝
，
A｝
，
12
小题，每小题
5
分，在每小
（
5
分）已知集合
A=｛ 1
，
2
，
3
，
4
，
B=｛
（
x
，
y
）
| x
∈
A
，
y
∈
A
，
x
﹣
y
∈
则
B
中所含元素的个数为（ ）
A
．
3 B
．
6 C
．
8 D
．
10
【考点】
12
：元素与集合关系的判断．
【专题】
5J
：集合．
【分析】 由题意，根据集合
B
中的元素属性对
x
，
y
进
行赋值得出
B
中所有元素，
即可得出
B
中所含有的元素个数，得出正确选项
【解答】 解：由题意，
x=5
时，
y=1
，
2
，
3
，
4
，
x=4
时，
y=1
，
2
，
3
，
x=3
时，
y=1
，
2
，
x=2
时，
y=1
综上知，
B
故选：
D
．
中的元素个数为
10
个
【点评】 本题考查元素与集合的关系的判断，
关键是理解题意， 领会集合
解题的
B
中元素的属性，用分类列举的方法得出集合
B
中的元素的个
数．
第
11
页（共
31
2．
分成
参加社
（
5
分）将
2
名教师，
4
名学生
2
个小组，分别安排到甲、乙两地
1
名教师和
2
名学生组成，不会实践活动，每个小组由
同的安排方案共有
（）
A
．
12
种
B
．
10
种
C
．
9
种
D
．
8
种
【考点】
D9
：排列、组合及简单计数问题．
第
12
页（共
31
【专题】
11
：计算题．
【分析】 将任务分三步完成，
中利用排列和组合的方法计数，
用分
步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
【解答】 解：第一步，为甲地选一名老师，有
=2
种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有
=6
种选法；
第三步，为乙地选
1
名教师和
2
名学生，有
1
种选法
在每步
最后利
故不同的安排方案共有
2
×
6
×
1=12
种
故选：
A
．
【点评】 本题主要考查了分步计数原理的应用，
合计数的方法， 理解题意，
恰当分步是解决本题的关键，属基础题
排列组
3．
（
5
分）下面是关于复数
四个命题：其中的真命题为（
p
1
：
| z| =2
，
p
2
：
z=2i
，
p
3
：
z
的共轭复数为
1+i
，
p
4
：
z
的虚部为﹣
1
．
A
．
p
2
，
p
3
B
．
p
1
，
p
2
C
．
p
2
，
2
z=
的
） ，
p
4
D
．
p
3
，
p
4
2K
：命题的真假判断与应用；
A5
：复数的运算．
11
：计算题．
由
z=
z
的共轭复数为﹣
此能求出结果．
解：∵
z= =
=
﹣
1
﹣
i
，知 ， ，
p
3
：
1+i
，
p
4
：
z
的虚部为﹣
1
，由
=
﹣
1
﹣
i
，
第
13
页（共
31
，
第
14
页（共
31
p
3
：
z
的共轭复数为﹣
1+i
p
4
：
z
的虚部为﹣
1
，
故选：
C
．
【点评】 本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审
题，仔细解答．
4．
（
5
分）设
F
1
、
F
2
是椭圆
E
：
+ =1
（
a
>
b
>
0
）的左、右焦点，
P
为直线
x=
上一点，△
F
2
PF
1
是底角为
30
°的等腰三角形，则
的离心率为（
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】
K4
：椭圆的性质．
【专题】
11
：计算题．
【分析】 利用△
F
2
PF
1
是底角为
30
°的等腰三角
形，可得
| PF
2
| =| F
2
F
1
|
，根据
P
为
直线
x=
上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】 解：∵△
F
2
PF
1
是底角为
30
°的等腰三角形，
∴
| PF
2
| =| F
2
F
1
|
∵
P
为直线
x=
上一点
∴
∴
故选：
C
．
第
15
页（共
31
E
本题考查椭圆的几何性质，
关键是确定几何量之间的关系，
解题的
属于
第
16
页（共
31
基础题．
5．
（
5
分）已知
a
4
+a
7
=2
，
a
5
a
6
=
﹣
8
，则
a
1
+a
10
=
（
A
．
7 B
．
5 C
．﹣
{ a
n
}
为等比数列，
）
5 D
．﹣
7
【考点】
通项公式．
【专题】
11
：计算题．
【分析】
进而可求公比
87
：等比数列的性质；
88
：等比数列的
由
a
4
+a
7
=2
，及
a
5
a
6
=a
4
a
7
=
﹣
8
可求
a
4
，
a
7
，
q
，代入等比
数列的通项可求
a
1
，
a
10
，即可
【解答】
质可得，
解：∵
a
5
a
6
=a
4
a
7
=
﹣
8
a
4
+a
7
=2
，由等比数列的性
∴
a
4
=4
，
a
7
=
﹣
2
或
a
4
=
﹣
2
，
a
7
=4
当
a
4
=4
，
a
7
=
﹣
2
时， ，
∴
a
1
=
﹣
8
，
a
10
=1
，
∴
a
1
+a
10
=
﹣
7
当
a
4
=
﹣
2
，
a
7
=4
时，
∴
a
1
+a
10
=
﹣
7
综上可得，
a
1
+a
10
=
﹣
7
故选：
D
．
【点评】 本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用， 考查
了基本运算的
能力．
（
5
分）如果执行右边
N
（
N
≥
2
）和实数
a
1
，
q=
﹣
2
，则
a
10
=
﹣
8
，
a
1
=1
3
6．
的程序框图，输入正整数
a
2
， ⋯ ，
第
17
页（共
31
a
n
，输出
A
，
B
，则（ ）
A
．
A+B
为
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
的和
B
． 为
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
的算术平均数
C
．
A
和
D
．
A
和
数
B
分别是
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最大的数和最小的数
B
分别是
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最小的数和最大的
【考点】
E7
：循环结构．
【专题】
5K
：算法和程序框图．
【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的
顺序，可知：
该程序的作用是求出
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最大的数和最小的数．
【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最大的数和最小
的数
其中
A
为
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最大的数，
B
为
a
1
，
a
2
， ⋯ ，
a
n
中最小的数
故选：
C
．
第
18
页（共
31
本题主要考查了循环结构，
数学模型，
解题的关键是建立
根据每一步分
析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
1
，
1
【考点】
L!
：由三视图求面积、体积．
2
D
．
18
【专题】
11
：计算题．
【分析】 通过三视图判断几何体的特征， 利用三视图的数据求出几
何体的体积即
可．
【解答】 解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为
3
；
底面三角形斜边长为
6
，高为
3
的等腰直角三角形，
此几何体的体积为
V=
×
6
×
3
×
3=9
．
故选：
B
．
【点评】 本题考查三视图与几何体的关系，
何体的体积的求法， 考查计算
能力．
（
5
分）等轴双曲线
C
的中心在原点，焦点在
x
2
C
与抛物线
y=16x
的准
A
和点
第
19
页（共
31
考查几
8．
轴上，
线交于点
B
，
| AB| =4
，
第
20
页（共
）
C
．
4 D
．
8
31
则
C
的实轴长为（
A
．
B
．
【考点】
KI
：圆锥曲线的综合．
【专题】
11
：计算题；
16
：压轴题．
222
【分析】 设等轴双曲线
C
：
x
﹣
y=a
（
2
y=16x
的准线
l
：
与抛
物线
的实轴长．
2
2
a
>
0
） ，
x=
﹣
4
，由
C
y=16x
的准线交于
A
，
B
两点， ，能求出
C
222
【解答】 解：设等轴双曲线
C
：
x
﹣
y=a
（
a
>
0
） ，
y=16x
的准线
l
：
x=
﹣
4
，
2
∵
C
与抛物线
点，
∴
A
（﹣
y=16x
的准线
l
：
x=
﹣
4
交于
A
，
B
两
4
，
2
） ，
B
（﹣
4
，﹣
2
） ，
=4
， 将
A
点坐标代入双曲线方程得
∴
a=2
，
2a=4
．
故选：
C
．
【点评】 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细
解答，注意挖
掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
9．
（
5
分）已知
（
x
）
=sin
（
ωx +
）在区间
[
递减，
ω> 0
，函数
f
，
π ]
上单调
则实数
ω
的取值范围是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
． （
0
，
2]
HK
：由
y=Asin
（
ωx +φ）
的部分图象确定其解析式．
11
：计算题；
16
：压轴题．
法一：通过特殊值
ω =2
、
ω =1
，验证三角函数的角的范
围，排除选项，
第
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31
得到结果．
法二：可以通过角的范围，直接推导
ω
的范围即可．
解：法一：令：
（
D
）
不合题意 排除
合题意 排除（
B
） （
C
）
第
22
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故选：
A
本题考查三角函数的单调性的应用，
析式的求法，
力．
考查计算能
函数的解
10．
（
5
分）已知函数
f
（
x
）
=
，则
y=f
（
x
）
的图象大致为（
4N
：对数函数的图象与性质；
4T
：对数函数图象与性质的
综合应用．
11
：计算题．
考虑函数
母的函数值恒小于零，即可排除
（
x
）
的定义域能排除
D
，这一性质可利用导数加以证明
解：设
则
g
′（
x
）
=
∴
g
（
x
）在（﹣
+
∞）上为减函数
f
（
x
）的分
A
，
C
，由
f
1
，
0
）上为增函数，在（
0
，
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