2024年4月17日发(作者：七上数学试卷讲解)

2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第一次月考数学（文）试

题

一、单选题

1．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）

A．至少有1个黑球与都是黑球

C．至少有1个黑球与都是红球

【答案】D

【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析即可求解.

【详解】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；

“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；

“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；

“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，

故选：

D

.

2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（

）

B．至少有1个黑球与至少有1个红球

D．恰有1个黑球与恰有2个黑球

1

A．

6

【答案】D

1

B．

4

1

C．

3

1

D．

2

【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.

【详解】有三件正品（用

1

，

2

，

3

表示）和一件次品（用

0

表示）的产品中任取两件的样本空间



0,1

,

0,2

,

0,3

,

1,2

,

1,3

,

2,3

，恰有一件次品

A

0,1

,

0,2

,

0,3

，

由古典概型得

故选：D.

P

A

m31



n62

，

3．1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式

e

ix

cosxisinx

，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式

z

可知，设复数

z

e

，根据欧拉公式可知，

1

i

表示的复数的虚部为（

）

i

4

A．

2

2

B．

2

i

2

2

C．

2

2

i

2

D．

【答案】C

【分析】根据题设定义的欧拉公式写出

z

的三角形式，由复数的几何性质写出

1i

的三角形式，进

z

而求

1i

，即可知其虚部.

【详解】由题意知：

z

e

cos

i

4

4

isin

1

i

2[cos()

i

sin()]

44

，

4

，而



z2



22

(cos

isin)

i

2222

，即虚部为

2

.∴

1

i

故选：C.

4．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方

式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人

用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：

min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（

）

A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟

B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高

C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80

D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟

【答案】D

【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择．

【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人，占

15

75%

20

，故A正确；

第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为

68

72

76

77

79

82

83

83

84

85

86

87

87

88

89

90

90

91

91

92

84

20

，

第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为

65

65

66

68

69

70

71

72

72

73

74

75

76

76

78

81

84

84

85

90

74.7

20

，

所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；

79

81

80

2

这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为79，81，中位数为，故C正

确；

第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为84，第二种生产方式的中，完成生产任

务所需要的平均时间为74.7，故D错误；

故选：D．

x

2

y

2

2

1(a

0,b

0)

2

ab

5．设双曲线的虚轴长为2，焦距为

23

，则双曲线的渐近线方程为（

）

A．

y2x

【答案】C

B．

y2x

C．

y

2

x

2

1

yx

2

D．

2b

2

2c

23

，即可求出

b

、

c

，再根据

c

2

a

2

b

2

，即可求出

a

2

，从而求出双曲【分析】依题意可得

线方程，最后求出渐近线方程；

2b

2

b

1

2c

23

c

3

，又

c

2

a

2

b

2

，所以

a

2

2

，所以双曲线方程为【详解】解：依题意

，所以

2

x

2

yx

y

2

1

2

2

，所以双曲线的渐近线方程为；

故选：C

6．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化.”月是历法中的一种时间

单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据

月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一

周，这个制度一直沿用至今．若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月

3日可能是星期（

）

A．一或三

C．二或五

【答案】B

【分析】利用排除法分析求解即可

【详解】解：设这个月有31天或30天，

因为

47283031

，所以这个月最多可能有4个完整的周，

若设该月3号为星期二，则该月1号为星期天，2号为星期一，所以从2 号开始到该月29号，一

共28天，为4个完整的周，

所以这时，2号到29号中星期一有4天，星期二有4天，星期三有4天，星期天有4天，

B．二或三

D．四或六

若该月有31 天，则该月30号为星期一，31号为星期二，

所以该月1号到30号，共有5天星期一，4天星期三，5天星期二，5天星期天，

所以该月3号可能为星期三，故排除CD，

设该月3号为星期三，则1号为星期一，则该月1号到28号共28天为4个完整的周，其中含有4

个星期一、星期二、星期三、星期天，即该月29号为星期一，30号为星期二，

所以当该月有29天时，且该月3号为星期三时，一共有5个星期一，4个星期三，4个星期二和4

个星期天，符合题意，故该月3号可能为星期二，所以排除A，

故选：B

7．从甲、乙等

6

名专家中任选

2

人前往某地进行考察，则甲、乙

2

人中至少有

1

人被选中的概率为

（

）

4

A．

5

2

B．

3

2

C．

5

3

D．

5

【答案】D

【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】记其他

4

名专家分别为

a

,

b,c,d

，将甲、乙分别记为

A,B

，

从

6

人中任选

2

人，则有

A,B

，

A,a

，

A,b

，

A,c

，

A,d

，

B,a

，

B,b

，

B,c

，

B,d

，

a,b

，

a,c

，

a,d

，

b,c

，

b,d

，

c,d

，共

15

种情况；

其中甲、乙至少有

1

人被选中的有

A,B

，

A,a

，

A,b

，

A,c

，

A,d

，

B,a

，

B,b

，

B,c

，

B,d

，共

9

种情况，

甲、乙至少有

1

人被选中的概率

故选：D.

22

8．在区间

[,]

内随机取两个数分别记为

a

，

b

，则使得函数

f(x)x2axb

有零点的概率

p

93

155

.

为

7

A．

8

3

B．

4

1

C．

2

1

D．

4

【答案】B

【分析】先列出函数有零点的条件，再根据面积求几何概型概率.

【详解】因为函数

f

x

x

2

2axb

2

2222

4a4(bπ)0abπ,

有零点，所以

2π

2π

π

π3

2π

2π4

，选B.所以所求概率为

【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要

设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是

无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

9．某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是

0.1πr

分，其中r（单位：

cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的

最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（

）

A．3cm

【答案】A

【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答.

4

f(r)0.3πr

3

0.1πr

4

0.1π(4r

3

r

4

)

3

【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，

0r8

，

2

则

f

(r)0.4πr(3r)

，令

f

(r)0

，得

r3

，当

r(0,3)

时，

f(r)

0

，当

r(3,8)

时，

4

2

B．4cmC．5cmD．6cm

f

(r)

0

，

因此函数

f(r)

在

(0,3)

上单调递增，在

(3,8]

上单调递减，即当

r3

时，

f(r)

取最大值，

所以当每瓶液体材料的利润最大时，

r3

.

故选：A

1

10．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为

3

，比

赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（

）

5

A．

27

7

B．

27

2

C．

9

1

D．

9

【答案】B

【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.

【详解】分三类：

111



339

；①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：

1112

(1

)



33327

；②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：

1112

(1

)



3327

.③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：

3

1227



故甲获胜的概率为：

9272727

.

故选：B.

11．对

x0

，不等式

2





,



e

A．

lnx

a

ex

2

x

恒成立，则实数

a

的取值范围为（　　）

2





,

e

B．

C．

,2e

D．

,2e

【答案】B

【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与最值，即得结果.

【详解】由

令

ln

x

a

ex

2

x

0

axlnxex

2

2x

x0

x

恒成立可得恒成立，

f

x

xlnxex

2

2x

x0

，则

f\'

x

lnx2ex1

，

1

f\'





1

2

1

0

f\'

x

(

0,+¥

)

显然在上单调递增，又

e

，

∴当

0

x

1

1

x

f\'x0

e

时，



e

时，

f\'

x

0

，，当

∴当

x

1

e

时，

f

x

取得最小值

2

1

2

f





a



e

.∴

e

e

.

故选B．

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题.

2

y

C

F

12．已知点为抛物线：

4x

的焦点. 若过点

F

的直线

l

交抛物线

C

于

A

，

B

两点， 交该抛





MA

AF

MB

BF

1

2

物线的准线于点

M

，且，，则

12

1

A．

2

B．0C．1D．2

【答案】B

【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案.

【详解】易知：焦点

F

坐标为

(1,0)

，设直线方程为：

yk(x1)

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

y

2

4x

k

2

x

2

(4k

2

4)x

k

2

0

x

1

x

2

1

y

k(x

1)

如图利用

AFGANQ

和

FBPFHM

相似得到：



x

1

MA

MA

1

AF

1



1

AFx

1

1

，



MB

x

2

1

MB

2

BF

2



BF1

x

2

1

2



x

1

1x

2

12

2x

1

x

2



0

x

1

11

x

2

(1

x

1

)(1

x

2

)

【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.

二、填空题

13．已知复数

【答案】

2

【分析】根据复数的运算，化简得

z1i

，得到

z1i

，利用模的计算的公式，即可求解.

z

1

z

1

1

i

z

1

i

，则____________.

【详解】由题意，复数

则

z1

2

1

2

2

1

i



1

i

1

2i

1

i

1

i

1

1

i2

1

i



1

i

，则

z1i

，

.

故答案为：

2

.

【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数

的运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力.

14．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均

数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．

【答案】4

【分析】利用平均数、方差的概念列出关于

x,y

的方程组，解方程即可得到答案．

【详解】由题意可得：

xy20,

x10

y10

8

22

，

2

设

x10t

，

y10t

，则

2t8

，解得

t2

，

∴

xy2t4

故答案为4．

【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基

础题．

15．若函数

f

x

lnxax

的图象上存在与直线

3xy10

平行的切线，则实数

a

的取值范围是

__________．

【答案】

(,3)

【详解】 函数

因为函数

f

x

lnxax

的导数为

f

x

1

a,(x

0)

x

，

f

x

lnxax

存在与直线

3xy10

平行的切线，

1

a

3

x

所以方程在区间

(0,)

上有解，

1

a

3

x

在区间

(0,)

上有解， 即

1

0

x(0,)

x

因为，则，所以

a3

．

点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用问题，其中解答中涉及到函数的导数的求解，导数

的几何意义的应用，以及存在性问题的转化等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，

解答中把存在性命题转化为方程的有解问题是解答的关键．

x

2

y

2

2

2

C:

2

2

1(a

1)

M:x1y1



aa

1

16．点P为椭圆上的任意一点，AB为圆的任意一条直径，



若

PAPB

的最大值为15，则a=___________.

【答案】3

【解析】由圆的性质结合平面向量的线性运算、数量积运算可得



2

2

PM1

ac

1

质可得，即可得解.



2

PAPBPM1

，再由椭圆的性

x

2

y

2

C:

2

2

1(a

1)

1,0

，

1,0

,半焦距

c1

，

aa

1

【详解】椭圆的焦点为

M

1,0

的圆心，半径为1，



AB为圆M的直径，可得

MAMB

，

圆

M:

x1

y

2

1

2


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