高中数学必修4第二章平面向量公式及定义

2023年12月23日发(作者：广元二诊数学试卷)

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平面向量公式

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 .

AB+BC=AC.

a+b=(x+x\',y+y\').

a+0=0+a=a.

向量加法的运算律：

交换律： a+b=b+a；

结合律： (a+b)+c=a+(b+c).

2、向量的减法

如果 a、b 是互为相反的向量 , 那么 a=-b,b=-a,a+b=0.0 的反向量为 0 AB-AC=CB即.“共同起点 , 指向被减”

a=(x,y) b=(x\',y\') 则 a-b=(x-x\',y-y\').

4、数乘向量

实数 λ和向量 a 的乘积是一个向量 , 记作 λ a, 且∣ λa∣ =∣λ∣?∣ a∣.

当 λ＞0 时 , λa 与 a 同方向；

当 λ＜0 时 , λa 与 a 反方向；

当 λ=0 时, λa=0, 方向任意 .

当 a=0 时 , 对于任意实数 λ, 都有 λa=0.

注：按定义知 , 如果 λ a=0, 那么 λ=0 或 a=0.

实数 λ叫做向量 a 的系数 , 乘数向量 λa 的几何意义就是将表a 的有向示向量 线

段伸长或压缩 .

当∣ λ∣＞ 1 时, 表示向量 a 的有向线段在原方向（ λ＞ 0）或反方向（ λ＜ 0）

上伸长为原来的∣ λ∣倍；

当∣ λ∣＜ 1 时, 表示向量 a 的有向线段在原方向（ λ＞ 0）或反方向（ λ＜ 0）

上缩短为原来的∣ λ∣倍 .

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律： ( λ a) ?b=λ(a ?b)=(a ?λb).

向量对于数的分配律（第一分配律） ：( λ+μ)a= λa+μ a.

数对于向量的分配律（第二分配律） ：λ(a+b)= λ a+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数 λ≠0 且λ a=λb, 那么 a=b. ② 如果 a≠0 且λ

a=μa, 那么 λ=μ.

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量 a,b. 作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹

角 , 记作〈 a,b 〉并规定 0≤〈 a,b 〉≤ π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量 , 记作 a?b. 若 a、b 不共线 ,

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则 a?b=|a| ?|b| ?cos〈a,b 〉；若 a、 b 共线 , 则 a?b=+-∣

a∣∣ b∣. 向量的数量积的坐标表示： a?b=x?x\'+y ?y\'.

向量的数量积的运算律a?b=b?a（交换律）；

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( λa) ?b=λ(a ?b)( 关于数乘法的结合律 ) ；

（ a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

向量的数量积的性质 a?a=|a| 的平方 . a⊥b 〈=〉a?b=0. |a ?b|

≤|a| ?|b|.

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律 , 即： (a ?b) ?c≠a?(b ?c) ；例如： (a ?b)^2

≠a^2? b^2.

2、向量的数量积不满足消去律 , 即：由 a ?b=a?c (a ≠0), 推不出 b=c.

3、|a ?b| ≠|a| ?|b|

4、由 |a|=|b| , 推不出 a=b 或 a=-b.

4、向量的向量积

定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量 , 记作 a×b.

若 a、b不共线 , 则 a× b 的模是：∣ a×b∣=|a| ?|b| ?sin 〈a,b 〉；a×b

的方向是：垂直于 a 和 b, 且 a、 b 和 a×b 按这个次序构成右手系 . 若 a、b 共线 , 则 a×b=0.

向量的向量积性质：

∣ a× b∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积 . a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

向量的向量积运算律

a×b=-b ×a；

（ λa）× b=λ（a×b）=a×（ λb）；

（ a+b）× c=a× c+b× c.

注：向量没有除法 , “向量 AB/向量 CD”是没有意义的 .

向量的三角形不等式

1、∣∣ a∣- ∣b∣∣≤∣ a+b∣≤∣ a∣ +∣ b∣；

① 当且仅当 a、 b 反向时 , 左边取等号；

② 当且仅当 a、 b 同向时 , 右边取等号 .

2、∣∣ a∣- ∣b∣∣≤∣ a-b ∣≤∣ a∣ +∣ b∣ .

① 当且仅当 a、 b 同向时 , 左边取等号；

② 当且仅当 a、 b 反向时 , 右边取等号 .

定比分点

定比分点公式（向量 P1P=λ?向量 PP2）

设 P1、P2 是直线上的两点 ,P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点 . 则存在一个实数 λ , 使 向量 P1P=λ?向量 PP2,λ 叫做点 P 分有向线段 P1P2所成的比 .

若 P1（ x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y), 则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ ) ；（定比分点向量公式） x=(x1+ λ x2)/(1+ λ),

y=(y1+ λ y2)/(1+ λ). （定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式三点共线定理

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若 OC=λOA +μOB , 且λ+μ=1 , 则 A、 B、 C三点共线三角形重心判断式

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在△ ABC中 , 若 GA +GB +GC=O,则 G为△

ABC的重心向量共线的重要条件

若 b≠0, 则 a//b 的重要条件是存在唯一实数 λ, 使

a=λ b. a//b 的重要条件是 xy\'-x\'y=0.

零向量 0 平行于任何向量 .

向量垂直的充要条件

a⊥b 的充要条件是 a ?b=0.

a⊥b 的充要条件是 xx\'+yy\'=0.

零向量 0 垂直于任何向量 .

1、线性运算

① a+b=b+a

( λ+μ )a= λ a+μa.

a

2、坐标运算 , 其中 a（x1,y1 ）,

① a+b=( x1+x2,y1+y2)

b(x2,y2)

x1-x2,y1-y2) ③ λ a=( λ x1,

② (a+b)+c=a+(b+c)

⑤ λ(a ±b)= λa± λb

λ μ)a.

④

③ λ ( μ a)=(

⑥ a,b 共线→ b=λ

② a-b=(

λ y1) ④点 A(a,b) ，点 B(c,d), 则向量 AB=（c-a,b-d ） ⑤点 A(a,b) ，点

B(c,d), 则向量 BA=（a-c,b-d ）

3、数量积运算

①a*b=∣a∣* ∣b∣*cos θ ②a*b=b*a ( 交换律 )

③ ( λ*a)*b= λ*(a*b) =a* ( λ*b)（结合律，注意向量间无结合律）

④(a ±b)*c=a*c ±b*c （分配律）

垂直于（

b-c ）

⑥(a ±b)2=a2±2a*b+b2

⑧a（x1,y1 ）,

b(x2,y2),

⑤若 a*(b-c)=0,

则 b=c 或 a

⑦(a+b)*(a-b)=a2-b2

则

a*b=x1x2+y1y2,

∣a∣2 =x2+y2, ∣a

∣ =√x2+y2 a 垂直于 b→x1x2+y1y2=0；一般地， a 与 b 夹角 θ满足

如 下 条 件 ： cos θ =a*b/ ∣ a ∣ * ∣ b ∣ =(x1x2+y1y2)/( √

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x12+y12)*( √x22+y22)

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