全国研究生数学建模大赛——数控加工刀具运动的优化控制

2023年12月18日发(作者：一年级下册数学试卷与答案)

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（由组委会填写）

第十二届“中关村青联杯”全国研究生

数学建模竞赛

题 目 数控加工刀具运动的优化控制

摘 要：

问题一 要求加工型线为折线，在指定误差的的条件下，建立实时加工优化控制算法，求加工刀具经过相邻折线段夹角为90o和135o时多坐标运动速度的变化。考虑到两条相交的折线一定可以构成一个平面，因此可以将问题一中刀具的运行轨迹从三维降到二维来分析。首先求出x方向和y方向上速度的变化规律，进而将两个方向的速度进行合成，求出合速度的运行轨迹。最后通过限定条件刀具加工轨迹与实际轨迹之间的小于要求误差，求出最终的折点坐标运动速度的变化。

问题二

加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在指定加工误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；本次设计针对圆弧曲线进行插补，采用加减速的方式完成刀具的行走过程。根据数据采样插补原理，实现数控轨迹的密化。本次插补的难点在于对刀具行走轨迹的自动加减速进行控制，由控制器发出相应指令，当刀具以不同速度运行到不同位置时，能够根据当前的状态判断下一个插补周期需要的状态，从而连续平滑的完成插补过程。

问题三

在问题二的基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法。在圆弧段的处理方式同样采用了问题二中的圆弧加减速插补算法，而在直线段的处理上，因为刀具存在瞬时启动加速度及瞬时启动速度，故对S型曲线加以改变从而优化直线段刀具的运行效率。

问题四 分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。依据数控加- 1 - 工的实际条件,提出了一种新型的S曲线加减速算法。在单段路径中,通过选取的初速度和末速度,计算得到加速区、匀速区和减速区的时间长度,消除了一般S曲线加减速方法在单一路径中初速度和末速度相同的约束。在多段路径中,分析了拐角处夹角大小和路径长度对速度的限制条件,进而采用移动窗口策略得到预处理段内各拐点速度.

关键词：S曲线加减速算法 圆弧加减速插补算法 新型S曲线加减速算法

一、问题重述

1.1 背景

数控加工是指，由控制系统发出指令使刀具作符合要求的各种运动，按照以数字和字母形式表示的工件形状和尺寸等技术和加工工艺要求进行加工[1]。数控加工技术正朝着高速高效高精度方向发展，高速加工要求机床各运动轴都能够在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停。研究开发数控加工刀具运动满足高速高精度要求的、有效柔性加减速的控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的重点。

数控机床一般由输入输出设备、数控装置(CNC)、伺服单元、驱动装置(或称执行机构)、可编程控制器(PLC)及电气控制装置、辅助装置、机床本体及测量装置组成。图1是数控机床的硬件构成。

CNC系统电气回路辅助装置机 操作面板PLC主轴伺服单元主轴驱动装置床本输入/输出设备进给伺服单元CNC装置测量装置进给驱动装置体

图1 数控机床的硬件构成

数控装置（CNC装置）是数控机床的中枢。数控装置从内部存储器中取出或接受输入装置送来的一段或几段数控加工程序，经过数控装置的逻辑电路或系统软件进行编译、运算和逻辑处理后，输出各种控制信息和指令，控制机床各部分的工作，使其进行有序运动和动作。 零件的轮廓图形往往由直线、圆弧或其他非圆弧曲线组成，刀具在加工过程中必须按零件形状和尺寸的要求进行运动，即按图形轨迹移动。但输入的零件加工程序只能是各线段轨迹的起点和终点坐标值等数据，不能满足要求。因此要进行轨迹插补，也就是在线段的起点和终点坐标值之间进行“数据点的密化”，求出一系列中间点的坐标值，并向相应坐标输出脉冲信号，控制各坐标轴（即进给运动各执行部件）的进给速度、进给方向和进给位移量等[2]。

文中的难点在于数控机床要对加工刀具在三个坐标轴方向的运动实行的是分别控制，刀具行走的路线是一系列首尾相接的直线段，由此加工刀具的运行轨迹与工件的几何形状存在误差，刀具的运动方向受限制，而且影响到加工刀具在三个坐标轴方向上的速度、加速度；这里我们需要研究应该建立怎样的模- 2 - 型，使用何种算法对圆弧和不规则的曲线进行插补运算，并且应该如何正确的使用S曲线加减速算法，从而在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型 。

1.2 问题

（1）要求加工轨迹为折线形，讨论当相邻两折线段夹角为90°和135°时，通过折线交点时对应各坐标运动速度的变化。

（2）将加工轨迹改为直线段和圆弧段组成的连续曲线，不考虑瞬时启动加速度和瞬时启动速度，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；

（3）在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法；

（4）结合前3问，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型（如刀具在各坐标轴方向上的运动满足加加速度连续变化等）。

二、问题分析

问题1的分析 问题一要求加工型线为折线，在指定误差的的条件下，建立实时加工优化控制算法，求加工刀具经过相邻折线段夹角为90o和135o时多坐标运动速度的变化。考虑到两条相交的折线一定可以构成一个平面，因此可以将问题一中刀具的运行轨迹从三维降到二维来分析。首先求出x方向和y方向上速度的变化规律，进而将两个方向的速度进行合成，求出合速度的运行轨迹。最后通过限定条件刀具加工轨迹与实际轨迹之间的小于误差，求出最终的坐标运动速度的变化。

问题2的分析 加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在指定加工误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；本次设计针对圆弧曲线进行插补，采用加减速的方式完成刀具的行走过程。根据数据采样插补原理，实现数控轨迹的密化。本次插补的难点在于对刀具行走轨迹的自动加减速进行控制，由控制器发出相应指令，当刀具以不同速度运行到不同位置时，能够根据当前的状态判断下一个插补周期需要的状态，从而连续平滑的完成插补过程。插补算法一直以来就是数控系统中的核心技术。从数控系统的原理来说，插补的本质问题就是对任意曲线进行分解，成为若干段微小的曲线，当对曲线的分解达到无穷级时，每一段曲线便成为微小的直线段。然后利用与相应微小曲线相类似的直线段代替，通过控制刀具按直线段行走进行加工，完成为整个曲线的插补运算加工。实际问题中不可能对任意曲线的分解达到无穷，因此总是存在相应的误差。然而在实际运用中对误差的容忍度有限，因此只需在满足精度的情况下进行曲线的分解。对曲线的分解过程即是将其坐标点进行密化，不但要保证精度，还需要在极短的时间内完成。受现代技术的限制，这一过程目前还存在一定的问题。由此而产生的对插补算法的研究也一直没有停止过，从经典的逐点比较法到现在的自由曲面直接插补法，各种算法层出不穷。

- 3 - 问题3的分析 在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法。在圆弧段的处理方式同样采用了问题二中的圆弧加减速插补算法，而在直线段的处理上，因为刀具存在瞬时启动加速度及瞬时启动速度，故对S型曲线加以改变从而优化直线段刀具的运行效率。

问题4的分析 分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。依据数控加工的实际条件,提出了一种新型的S曲线加减速算法。在单段路径中,通过选取的初速度和末速度,计算得到加速区、匀速区和减速区的时间长度,消除了一般S曲线加减速方法在单一路径中初速度和末速度相同的约束。在多段路径中,分析了拐角处夹角大小和路径长度对速度的限制条件,进而采用移动窗口策略得到预处理段内各拐点速度.

三、符号说明

运动过程中，机床对于速度、加速度、加加速度等的限制条件如下：



进给速度V范围[Vmin, Vmax]： [0.13, 6]

单位m/min



加速度a范围[Amin, Amax]： [0.02, 0.6]

单位m/s²



加加速度Jconst：

Jcon=300

单位mm/s³st

瞬时启动速度V0：

V0 = 0.13单位m/min



瞬时启动加速度a0：

a0= 0.02单位m/s²

误差

1m

1mm

1280

分辨率：M=四、模型建立与问题求解

4.1 问题一模型与求解

4.1.1 问题重述

加工型线为折线，在指定误差的的条件下，建立实时加工优化控制算法，求加工刀具经过相邻折线段夹角为90o和135o时坐标运动速度的变化。

4.1.2 夹角为90o坐标运动速度的变化

yA

vv0vyvxvc

joiBxoT0T1T2t

图2

图3

（1）刀具为了转过夹角90o时,一开始转角之前Vx 0，转完90o之后，Vy为0.

（2）基于S型曲线的加减速控制方法，可知加加速阶段和减减速阶段，速度的- 4 - 初始值和最终值分别为零，与Vx和Vy的速度变化规律相同，如图3所示。

Vx变化曲线称为加加速度JJconstaJt1VxJt2 t(T0,T2]2Vy变化曲线称为减减速度

JJconstaamaxJ(tT0)11VyJ(T2T0)2J(T2T0)2amax(tT0) t(T0,T2]22

合速度的变化轨迹

111V合=Vxi+Vyj=Jt2i(T2T0)2J(tT0)2amax(tT0)j222T0011V合=Jt2iV0Jt2amaxtj22aJttn1280

n1280J1JT22 T222VmaxJ

设VyoVmaxT1Vmax1T2

22J限制误差条件

1m

2T1T012Jtdt21J(T13T03)3

4.1.3 夹角为135o坐标运动速度的变化

- 5 - yjvAB2Vmax2vyo2Vmax22Vmax2ix

vx

VmaxoT1T2t图4 图5

Vx变化曲线方程由两段组成，一段是加加速度运动和一段匀加速过程amax122Jt t(0,T1) T1JconstVx

12JTa(tT) t[T, T+T]const1max11122 Vy变化曲线方程由两段组成，一段是加减速度运动和一段匀减速过程

1VmaxJt2 t(0,T1)2VyV1JT2a(tT)

maxconst1max12

合速度变化的轨迹

1212Jti(VJt)jmax22VVxiVyj

1122[JTa(tT)]i[VJTa(tT)]jconst1max1maxconst1max1224.2 问题二模型与求解

4.2.1 问题重述

加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成，在指定误差的条件下，不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立实时加工优化控制算法，并讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响。本次设计针对圆弧曲线进行插补，采用加减速的方式完成刀具的行走过程。根据数据采样插补原理，实现数控轨迹的密化。本次插补的难点在于对刀具行走轨迹的自动加减速进行控制，由控制器发出相应指令，当刀具以不同速度运行到不同位置时，能够根据当前的状态判断下一个插补周期需要的状态，从而连续平滑的完成插补过程。

4.2.2实时优化控制算法实现

当刀具在直线段上运动时，故使得效率最高，可以控制刀具做一个以直线段的长度为总位移的一个S型加减速曲线运动，在最短时间内达到最大速度。通过计算可以得到S曲线前三段和后三段的总位移为S1，之后控制刀具以最大速度运动的匀速阶段的时间即可得到直线段刀具的最优控制。设S为给定位移,在计算中为已知量,且SSuSdSy，S1SuSd (其中Sy为匀速过程位移,

Su为升速过程位移,Sd为降速过程位移),

Vs为初速度值,Ve为末速度值,Vmax为最大速度值。

- 6 - Vmax0amax0-amax

J0-J加加速T1匀加速T2减加速T1匀速T3加减速T1匀减速T2减减速T1图6

由题目中给的S型曲线各阶段的变化规律，通过计算得出，做一个完整的S型曲线刀具所走的位移可用如下公式表示：

11

S2VmaxT1VmaxT2VmaxT3amaxT12JconstT13

（4-2-1）

262其中T1amaxJconst，T2(VmaxJconstT1)/amax

设刀具所走的直线距离是L，当L>S时，当L

所以刀具在直线段上运行时的时间为：tz4T12T2T3

刀具在进行插补时的速度应该是一个加速-匀速-减速的过程，各个过程与时间的关系应该由相应的加速度来控制。因此曲线的形状呈现一定的抛物线形。

令初始进给速度为F1，末端进给速度为F2，指令速度为F，当前速度为V，减速距离为S，当前距离为CS，n为插补周期个数，t为当前时刻。则速度的数学表达式如下：

(F1S)，起始时刀具加速运动。

F1

F1>=F/2,加速度为atn；

(F1>=F)&&(CS>10)，刀具做匀速运动。

(F1>=F)&&(CS

V<4F2，加速度为atn；

V>=F/2，加速度为atn2。

其速度曲线如图7所示。

- 7 - 图7 圆弧插补速度曲线

插补轨迹的数学表达式

本次插补对象为圆弧，因此其数学表达式为

(X20)2(Y20)2Z2R2

这里可以忽略Z向变化，即假定其为定值，上式变为

(X20)2(Y20)2R2

对圆弧第一象限部分进行插补，利用MATLAB软件进行图形绘制，其圆弧轨迹如图8所示。

切割曲线50151x304050y

图8 圆弧轨迹

插补原理[3-5]

设被插补圆弧如图8所示，其半径为R，圆心位于坐标原点O，端点为A和C。根据采样插补原理，圆弧插补的任务是，沿给定的圆弧轨迹在两端点之- 8 - 间进行坐标密化，并使插补点之间的距离Li满足速度和精度要求。根据图中关系，位于圆弧轨迹上的插补点坐标可按下式求得：

xiRcosiyiRsini

（4-2-2）

这样，根据进给方向、进给速度和精度要求控制i的增加或减少，即可控制懂点沿圆弧轨迹逆时针或顺时针运动，从而实现逆圆或顺圆插补。

YPixi,yiABDCRymLPi1xi1,yi1X

o图9 圆弧插补原理

由于式(4-2-2)就是圆弧的参数方程，因此可确保其计算的插补点位于圆弧指令轨迹上。剩下的问题是，如何使插补速度和逼近误差满足要求，为此采取以下措施。

(1)速度控制

由图9可知，两相邻插补点对应的位置角有以下关系：

ii1i

（4-2-3）

式中i为步距角(插补直线段Li对应的圆心角)。

如果对步距角进行控制，使其满足

LFTiii （4-2-4）

R60000R式中Fi为进给速度(mm/min)；T为插补周期(ms)。则可使插补误差的运动速度满足给定的进给速度Fi。

(2)误差控制

为满足误差的要求，可按给定的允许误差对i进行约束控制，使其最大值满足

- 9 - max2(2R) （4-2-5）

R式中为所允许的最大径向误差。

这样，实际运行过程中各种若imax，则按式(4-2-4)求出的i进行插补运算，否则按imax进行插补运算。因为式(4-2-5)的计算可在预处理阶段完成，所以上述误差控制不会影响插补的实时性。

柔性加减速控制

为充分利用机床的有效工作行程，要求机床运动具有极短的加减速过渡过程。而仅从时间上去考虑缩短过渡过程，而不对机床的加减速动态过程进行合理的控制，必将给击穿钢结构带来很大的冲击。为解决问题，一方面要求数控系统能因机而异，另一方面需在控制系统中采用特殊方法来实现这种动态规律。显然，传统数控系统采用的固定加减速控制方法是无法实现这一要求的。为此采用一种可根据任意曲线对数控机床的运动进行自动加减速控制的方法。这种方法将自动加减速控制有传统的固定模式推向新的柔性模式，为有效提高数控机床的动态性能探索出一条新的途径。

在数控系统软件中，设计一条通用的与加减速数据库内容无关的通道，由其独立完成加减速计算和轨迹控制。该方法的实现原理图如图8所示。

加减速曲线库曲线选择控制数据控制指令瞬时速度运动指令机床运动数控程序数控数据处理加减速分析加减速计算轨迹插补计算驱动与机床图10 柔性加减速控制原理图

（1）柔性自动加速控制

设给定的加速曲线如图11所示，现将其作为样板以数表形式存放于加减速曲线库中。图中，fd为加速过程进给速度总该变量(样板速度差)，td为加速过程所需时间(样板加速时间)。根据加速曲线数表实现加速控制的过程如下：

根据加速开始前的进给速度F1，加速过程结束后进给速度F2，求出加速过程速度差FDF2F1，并据此计算出实际速度差与样板速度差的比值

FDF2F1

(4-2-6)

- 10 - 根据加速开始前到当前时刻所经过的插补周期个数n，计算出时间(T为采样时周期

tnTn/K

(4-2-7)

根据tn差加速曲线表可得样板速度增量fn。由此可计算出经过n个插补周期后实际速度的变量

FnfnK

(4-2-8)

进一步，经求出的n周期速度该变量Fn代入下式，求出当前插补周期的实际进给速度

FiF1Fn

(4-2-9)

最后，根据所求得的Fi计算当前采样周期中插补直线的长度，并据此进行归集计算，即可实现满足图11所示曲线要求的自动加速控制。

fffdfnfdfn

otdtnt

otdtnt

图11自动加速曲线 图12 自动减速曲线

（2）柔性自动减速控制

设给定的减速曲线如图12所示，如同加速控制一样将去作为样板以数表的形式存放于加减速曲线库中。根据加速曲线数表实现自动减速控制的过程如下：

同加速过程一样，减速过程速度差为FDF1F2。

按照与加速控制相同的过程，求出时间tn，并查减速曲线表得样板速度增量fn，由此可计算出经过n个插补周期后实际速度的改变量

FnFDfnK (4-2-10)

进一步，将求出的n周期改变量Fn代入下式，求出当前插补周期的实际进给速度

FiF1Fn (4-2-11)

- 11 - 最后，根据Fi计算当前插补周期中插补直线段的长度，并据此进行轨迹计算，即可实现满足图12所示曲线要求的自动减速控制。

对于自动减速控制，减速前还需要预测减速点，以决定何时开始减速。确定减速点的依据是减速距离s，其计算公式为：

s(F1F22F1F2)sdtdF2 (4-2-12)

fdfd式中td为样板减速时间；

sd为样板减速距离。

样板减速距离sd可通过下式以离线方式预先求出，并存储于加减速数据库中。

sdf(t)dtfit (4-2-13)

0i1tdm式中fi为样板减速曲线f(t)的离散取值；

m为样板减速曲线离散点总数；t为竖直几分的时间增量。插补程序流程图如图13所示

初始化初始化速度小于指令速度速度判断速度判断速度等于指令速度速度大于指令速度加速加速匀速匀速减速减速否是否达到是否达到减速距离减速距离是匀速匀速减速减速否是否达到是否达到精度要求精度要求是结束结束

图13 程序流程图

- 12 - 最终结果分析

在MATLAB程序窗口输入以上命令并点击运行之后，输入相应的参数，可得到以下数据：圆弧轨迹、速度曲线、加速度曲线。分别如图14-16所示。

切割曲线0.50.450.40.350.30.250.20.150.10.050-0.100.10.2x0.30.40.50.6y

图14 圆弧轨迹

速度曲线0.120.20.150.10.05加速度曲线0.10.080.060-0.05v0.040.02a-0.1-0.15-0.20-0.0202468t1t10121416

图15 速度曲线 图16 加速度曲线

圆弧轨迹曲线与设置的参数一致，是半径为0.5，圆心在坐标原点。

从速度曲线可知，运用插补算法后，刀具在每一段插补线段上做了一个周期的加减速运动。根据题目所给机床的相关速度、加速度、加加速度等限制条件，由于刀具的加速度没有达到最大值时速度已经达到了最大值，故刀具只经过了S曲线加减速算法的加加速阶段、减加速阶段、加减速阶段、减减速阶段。在初始阶段起步时速度变化较缓慢，经过一定时间后速度迅速上升，达到插补路程中段左右开始加减速运动和减减速运动，之后产生与加速过程相类似的变化趋势。刀具的这种变化曲线同实际运用各种较为相似，即刀具在运行过程中有充分的缓冲时间，这样可减少系统产生的冲击，有利于加工过程平稳，快速的进行。

- 13 - 而速度曲线的变化趋势直接受加速度曲线变化趋势的影响。由加速度曲线可知，系统初始加速度为0，当控制器发送指令后在较短的时间内完成加速度的上升，到达一定程度后加速度又逐渐变小从而控制刀具的速度完成平滑的过渡。而减速过程与加速过程正好相反。在加速度的控制之下，刀具平稳、快速的实现圆弧轨迹的插补运算。

4.2.3 圆弧半径对算法效率的影响

现代数控系统常采用时间分割法进行前加减速插补。对以连续短线段描述的空间加工路径，若直接以各段为单位进行加减速，效率很低；若采用直接过渡法进行加减速，合成速度的加减速次数减少，但各运动轴速度随着分量系数的变化而产生不同程度的跳变，尽管跳变量可以根据系统加减速能力限制在可接受的范围内但加加速度将产生明显冲击，严重时可能在工件表面产生刀痕。如果在任意两线段间加入相切的空间圆弧（图 17），则线段间将被光滑地连接

成整体，加工效率会进一步提高，各运动轴由于转接圆弧的存在而主动调整速度以适应后续段的需要，速度跳变得以避免。

图17

4.2.3.1 转接精度与过渡圆弧半径

如图17，插入空间圆弧后应当保证其轨迹精度在最大允许误差max范围内。在加工过程中，其误差由两部分构成，一部分来自圆弧转接误差1，另一部分来自插补圆弧时产生的弓高误差2。即要求：

1+2max

（4-2-14）

为处理方便，此处取==max/2

对于由三个刀位点P,P,P控制的两相邻线段，其几何特征包括：第i段线段P,P长度L，第i+1段线段P,P长度L和两线段的过渡夹角，则过渡圆弧的圆心角为若L和L足够大，则圆弧半径 R ：

11i1ii1i1iiii1i1iiiii1Rmaxsin(i/2)

（4-2-15）

2(1sin(i/2))由于第i段线段需要同时与第 i−1段线段和第 i+1段线段进行过渡，考虑到为下一段线段留足够的衔接余地，这里分别取每段线段长度的一半进行过渡运算。则两侧过渡距离

Simin(Rctg(i/2),min(Li/2,Li1/2)) (4-2-16)

若L和L不够长，此两相邻线段提供的过度空间不足，取Simin(Li/2,Li1/2)，需要根据S重新计算圆弧半径R

RSitg(i/2) (4-2-17)

ii1i4.2.3.2转接速度

转接速度即空间圆弧段的最大加工速度。设插补周期为T

，机床的最大加速度为Amax，考虑机床的驱动能力，应有：

- 14 - VTransminAmaxR,R/T (4-2-18)

插补时还将产生弓高误差2

2RR2VTransT/2 (4-2-19)

应当有2max/2，取近似，即要求转接速度VTrans，

VTrans2maxR （4-2-20）

TTrans由（4-2-20）公式可知，空间弧半径R增大，则转接速度V增大，

由于在短线段高速加工中，加工效率主要取决于满足精度条件下的过渡点许可速度即转接速度，转接速度VTrans增大则算法的效率提高。

4.2.3算法验证

实际加工路径示例图及相关约束条件如下所示：

图18所示是一个圆角矩形切割路径的示意图，路径的四个角是半径为0.5的整圆的1/4圆弧。矩形外围大小是： 41×41（单位：cm²）。

图18

圆角矩形切割路径

20.520.5YOX

在实际加工过程中，从坐标为 (-20.500，-20.000，0.000) 的节点1位置开始下刀，该点处的瞬时速度为0.13；从节点1到节点2 (-20.500，-17.708，0.000)的过程中，要求最大速度为0.19。从节点2 (-20.500，-17.708，0.000) 出发，顺时针加工，回到该点(-20.500，-17.708，0.000)（记为节点11），期间要求最大速度为1.26，节点11处的终止速度为0.13。

表1给出加工过程中对最大速度的要求。

表1

圆角矩形切割路径加工中速度要求

路径节点

1

2

3

4

节点坐标(X、Y、Z)

(-20.500,-20.000,0.000)

(-20.500,-17.708,0.000)

(-20.500,20.000,0.000)

(-20.000,20.500,0.000)

用户设定的最大频率F

2773

4029

26865

26865

- 15 -

最大频率F转换后对应的速度

0.13

0.19

1.26

1.26 5

6

7

8

9

10

11

(20.000,20.500,0.000)

(20.500,20.000,0.000)

(20.500,-20.000,0.000)

(20.000,-20.500,0.000)

(-20.000,-20.500,0.000)

(-20.500,-20.000,0.000)

(-20.500,-17.708,0.000)

26865

26865

26865

26865

26865

26865

2773

1.26

1.26

1.26

1.26

1.26

1.26

0.13

表中最大频率指的是控制脉冲的最大频率，本题可以不予考虑，对应的速度指的是刀具的运动速度，单位是m/min

运动过程中，机床对于速度、加速度、加加速度等的限制条件如下：



进给速度V范围[Vmin, Vmax]： [0.13, 6]

单位m/min



加速度a范围[Amin, Amax]： [0.02, 0.6]

单位m/s²



加加速度Jconst：

Jcon=300

单位mm/s³st

瞬时启动速度V0：

V0 = 0.13单位m/min



瞬时启动加速度a0：

a0= 0.02单位m/s²

误差

1m



分辨率：M=1mm

1280在实际加工过程中，从坐标为 (-20.500，-20.000，0.000) 的节点1位置开始下刀，故节点1处的初始速度为0，节点2 (-20.500，-17.708，0.000)的过程中，要求最大速度为0.19m/min，节点3(-20.500,20.000,0.000)处的速度为1.26m/min。故结合题目二设计的算法及S曲线加减速算法的特点，计算出刀具在示例路径运动一圈所需的时间，计算过程如下：

通过对以上算法分析知，由式（4-2-1）计算做一个完整的S型曲线刀具所走的距离S远远大于示例路径直线段的的长度L，故在直线段部分，道具只做了S型曲线中的前面一段，将具体参数带入到算法中得：

T1amaxJconst2s，T2(VmaxJconstT12)/amax0

（4-2-21）

所以刀具的速度在S型曲线的加加速阶段就达到了最大值，由加加速阶段的速1度公式VJ2t可得，刀具从节点1到节点2运行的时间为：2tz2V/J2*1.26/60/0.30.374s

（4-2-22）

从节点3到节点4的加工型线是一个直径为5mm，圆心角为90的圆弧，根据前面所提到的算法，由公式（4-2-7）可得到满足最大允许误差的条件下，步距角max计算如下：

o2(2R)0.04o

，故转过一个

90o的圆弧需要插入n段插分段：

R90o221即n，段插分段的长度为2250mRR0.099mm，故刀具实o0.04际运行路径的总长度为Lznm222.75mm，故刀具通过圆弧所需的时间为需通过以下max公式计算：

- 16 - S(t)|t2T12T2T32VeT2JT23(VeVsJT22)VeVsT22，带入数据解得T1.18*103s

2JthnT22.65s

故刀具走完整条加工型线所用的时间为：

Tz4tzth12.096s

4.3 问题三模型与求解

4.3.1 问题重述

在第2问答基础上，考虑瞬时启动加速度和瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法。

4.3.2 模型的建立与求解

在问题二的基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度，建立相对应的实时加工优化控制算法。在圆弧段的处理方式同样采用了问题二中的圆弧加减速插补算法，而在直线段的处理上，因为刀具存在瞬时启动加速度及瞬时启动速度，故对S型曲线加以改变从而优化直线段刀具的运行效率。

当刀具在直线段上运动时，故使得效率最高，可以控制刀具做一个以直线段的长度为总位移的一个S型加减速曲线运动，在最短时间内达到最大速度。通过计算可以得到S曲线前三段和后三段的总位移为S1，之后控制刀具以最大速度运动的匀速阶段的时间即可得到直线段刀具的最优控制。设S为给定位移,在计算中为已知量,且SSuSdSy，S1SuSd (其中Sy为匀速过程位移,

Su为升速过程位移,Sd为降速过程位移),

Vs为初速度值,Ve为末速度值,Vmax为最大速度值。

(1)如果Sy0,可得

Su2VsT1JT13

（4-3-1）

2 Sy(VsJT1)T3S2VTJT3e22d(2) 如果Sy0,表明没有匀速区,即T3为0 ,且速度最大值达不到

Vmax，得:

S(t)|t2T12T2T32VeT2JT23(VeVsJT22)VeVsT22 （4-3-2）

J其中T1VmaxVsJ ，T2VmaxVs

J

4.3.3算法验证

在第2问基础上，考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度时，刀具在节点1出的初始速度Vs0.13m/min，通过对以上算法分析知，由式（4-3-1）计算可得，刀具从节点1到节点2运行的时间为：tz0.234s，圆弧段时间不变，为thnT22.65s

故刀具走完整条加工型线所用的时间为：

Tz4tzth11.536s

4.4 问题四模型与求解

4.4.1 问题重述

分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。

4.4.2 S型曲线的加减速控制方法的优缺点

- 17 - S形速度曲线可以划分为加加速、匀加速、减加速、匀速、加减速、匀减速、减减速这7个过程。在加加速、减加速、加减速、减减速这四个过程加速度变化率J的绝对值恒定;匀加速和匀减速过程的加速度恒定,为数控系统的最大加速度;匀速过程加速度为0。

优点在于这种加减速模式在任意位置的加速度都是连续变化的,可避免柔性冲击,速度曲线平滑。

缺点是这种S曲线加减速控制算法单一路径加工过程中存在初速度和末速度相等的限制,这种限制在加工中造成时间增加,电机变速频繁,影响效率[6]。

4.4.3 新模型的建立

依据数控加工的实际条件,提出了一种新型的 S曲线加减速算法。在单段路径中, 通过选取的初速度和末速度,计算得到加速区、匀速区和减速区的时间长度,消除了一般 S曲线加减速方法在单一路径中初速度和末速度相同的约束。在多段路径中,分析了拐角处夹角大小和路径长度对速度的限制条件,进而采用移动窗口策略得到预处理段内各拐点速度。通过实例仿真,表明该方法在单段和多段路径加工过程中能有效缩短加工时间。

4.4.4 算法分析与设计

在数控加工过程中,任何形状的零件轮廓都可以用一系列微路径段来逼近。在一个平面上,当加工多段路径时,坐标运动轨迹相当于X, Y两轴的运动合成。加工过程可以转化成已知若干坐标点、速度极值、加速度极值等信息的运动分解问题。加工中,如何根据微小段之间的拐角情况对速度进行加减速控制并且做到速度过渡过程的平滑,让各段微小线段的加工速度都保持比较高的值,从而实现高速加工,同时保证加工柔性,是数控系统的一个难点[7-8]。

本方法采用下图所示的 S曲线加减速分别由加加速、减加速、匀速、加减速、减减速 5个过程组成[9]。

v减加速匀速加减速

加加速减减速

oT1T1T3图18

T2T2t设S为给定位移,在计算中为已知量,且SSupSdownSev(其中

Sev 为匀速过程位移,

Sup为升速过程位移,

Sdown为降速过程位移),

V为速度值,a为加速度值,

J为加速度的变化率,其为一恒值,Vs为初速度值,Ve为末速度值,Vmax为最大速度值。其中加加速和减加速过程的时间相等,都为T1;加减速和减减速过程的时间相等,都为T2。匀速过程时间为T3。

加速度公式如下:

- 18 - Jt t[0,T1)JT1J(tT1) t[T1,2T1) a(t)0 t[2T1 ，2T1T3)

（4-4-1）

J(t(2T1T3)) t[2T1T3,2T1T3T2)JT2J(t(2T1T3T2)) t[2T1+T3+T2,2T1T32T2]速度公式如下：

1VsJt2 t[0，T1)212VJTJ(t2T1)2 t[T1，2T1）s12V(t)VsJT12 t[2T1,2T1T3) （4-4-2）

21VsJT1-J(t(2T1+T3T2) t[2T1T3,2T1T3T2)21VsJ(T12T22)J(t(2T1T32T2))2 t[2T1T3,2T1T32T2]2位移公式：

13VtJt t[0，T1)s612(VJT)tJ(t2T1)3-JT13 t[T1，2T1）s16(VsJT12)t-JT13 t[2T1,2T1T3)S(t)(VsJT12)t-1J(t(2T1+T3T2)-JT13 t[2T1T3,2T1T3T2)61(VsJ(T12T22))tJ(t(2T1T32T2))36+JT2(2T+T+T)-JT3 t[2TT,2TT2T]2321131321

（4-4-3）

由上式可知已知初速度

Vs、末速度

Ve及给定位移

S后,设定加速度的变化率

J和速度最大值Vmax,进而确定

T1,

T2,

T3。确定这三个参数也就确定了加速度、速度、位移三条曲线,那么问题转变成了求T1,

T2,T3。

当t2T12T2T3时,由速度公式得:

VeVsJ(T12T22) （4-4-4）

即只要求得T1 ,T2中任意一个的值就可以求出另一个的值。以下分两种情况求解T1,T2。

(1)如果Sev0,式(4-4-2)可得

VmaxVsJT12 （4-4-5）

则

T1VmaxVsJ

将式(4-4-5)代入式(4-4-4)得

VmaxVsJT22 （4-4-6）

VmaxVsJ则

T2

进而由式(4-4-3)可求得

- 19 - Sup2VsT1JT13

（4-4-7）

2Sev(VsJT1)T33S2VTJTdowne22 (2) 如果Sev< 0 ,表明没有匀速区,即T3为0 ,且速度最大值达不到

Vmax。

由式(4-4-3)和(4-4-4)得:

（4-4-8）

VeVs322J23S(t)|t2T12T2T32VeT2JT2(VeVsJT2)1T2如果上式中T2看作变量,则S(t)|t2T2TT可以当作关于T2的函数,即

(T)2VTJT3(VVJT2)VeVsT2s2e22es22JT2[0,)S(T2)

其中相对于相对于区间是单调递增的。

VmaxVeJ根据式(4-4-6)得T2的取值上限是

VmaxVe] 因此,若给定位移

J当VeVs时，T2的取值为0。其可取值范围是[0,VVS(VeVs)esJ

则T2存在正数解,令式(4-4-8)中

S(T2) = S,采用二分法求解T2;否则重新选取初速度Vs、末速度Ve。

当VeVs时，由式(4-4-4)得

VeVs2JT20即

T2 的最小值是

VeVsJ

则

T2 可取值范围是[S(VeVs)VsVe

JVsVeVmaxVe,]。 因此,若给定位移

JJ则T2存在正数解,令式(4-4-8)中S(T2)S,采用二分法求解T2;否则重新选取初速度Vs、末速度

Ve。将求取的T2,代入式(4)得到T1。进而利用式(4-4-7)则可求得 Sup,

Sdown,Sev ，T3。得到T1,T2和

T3 后, 代入式(4-4-2),各区域的速度也可以得到。

图19

- 20 - 五、参考文献

[1]杨建武.国内外数控技术的发展现状与趋势[J].制造技术与机床,57-62，2008.

[2]李恒熙,胡志玲,任茂文.CK6136（教学型）数控车床结构组成的研究[J].机械制造与自动化,35:86-87,2006.

[3]王爱玲.现代数控原理及控制系统[M].北京:国防工业出版社,2002．

[4]王润孝.机床数控原理与系统[M].西安:西北工业大学出版社,1989．

[5]吴祖育,秦鹏飞.数控机床[M].上海:上海科学技术出版社,1989.

[6]张海伟,李陇梅.X—Y数控平台伺服系统的建模与仿真[J].机械设计与制造,29:68-69,2008.

[7]曹宇男,王田苗,陈友东,等.插补前S加减速在CNC前瞻中的应用[J].北京航空航天大学学报,33:594-599,2007.

[8]李晓辉,邬义杰,冷洪滨.S曲线加减速控制新方法的研究[J].组合机床与自动化加工技术50-53,2007.

[9]胡磊,林示麟,徐建明,等.S曲线加减速速度控制新方法[J].组合机床与自动化加工技术22-26,2010.

六、附录

文中主要程序

插补程序部分代码如下：

clear all;

v1=input(\'输入起始速度\');

v2=input(\'输入末端速度\');

R=input(\'输入转角半径\');

v_max=0.1; %最大速度

a_max=0.6;% 最大加速度

J=0.3; %加加速的

x1=R;y1=0;x2=0;y2=R;

%T=0.1;% 进给时间

T=0.02;% 进给时间

x=x1;y=y1;t=0;a=0;p_rad=0;

X=[x];

- 21 - Y=[y];

N=[t];

A=[a];

P_rad=[p_rad];

rad=0;%转角

v=v1;%实时速度

V=[v];

p_rad_max=0.5; %最大增进角，误差范围

while rad<(pi/2)

t=t+T;

p_rad=0;

if v v_max/2 && a

ap=a;

a=a+J*T;

else

ap=a;

a=a-J*T;

end

vp=v;

%v=v+0.5*J*T^2;

v=v+0.5*(a+ap)*T;

- 22 -

%加加速运动

s=0.5*(vp+v)*T; %增进位移

if p_rad_max>p_rad %增进角

p_rad=s/R;

else

p_rad=p_rad_max;

end

else

if v>=v_max

v=v_max;

end

if v<0

v=0;

end

if (v_max-v)>v_max/2 && a

ap=a;

a=a+J*T;

else %减减速

ap=a;

a=a-J*T*0.5;

end

vp=v;

%v=v+0.5*J*T^2;

- 23 -

%加减速运动 v=v-0.5*(a+ap)*T;

s=0.5*(vp+v)*T; %增进位移

if p_rad_max>p_rad %增进角

p_rad=s/R;

else

p_rad=p_rad_max;

end

end

rad=rad+p_rad;

x=R*cos(rad);

y=sqrt(R*R-x*x);

c_s=R*(pi/2-rad);

P_rad=[P_rad p_rad];

X=[X x];

Y=[Y y];

V=[V v];

A=[A a];

N=[N t];

end

X=[X x];

Y=[Y y];

figure,

- 24 - plot(N,V,\'r\')

xlabel(\'t\');

ylabel(\'v\');

title(\'速度曲线\');

figure,

plot(X,Y,\'g\')

xlabel(\'x\');

ylabel(\'y\');

title(\'切割曲线\');

figure,

plot(N,A,\'b\')

xlabel(\'t\');

ylabel(\'a\');

title(\'加速度曲线\')

- 25 -