2024年4月17日发(作者：北门中学高一数学试卷答案)
南京市、盐城市2023届高三年级第一次模拟考试
数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试卷必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
k
1
M
xx
,
k
Z
N
xx
k
,
k
Z
22
，
，则（
1.设
A.
MÜN
B.
NÜM
C.
M=N
）
D.-1
或
1
）
D.
MN
2.若
f
x
x
x1
xa
aR
为奇函数，则
a
的值为（
A.-1B.0C.1
3.某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布
N4,
0.9
，则该品牌手机电池至少使用
6
年的概率为（
A.0.9
4.已知函数
f
A
B.0.7
）
C.0.3
2
0
，且使用寿命不少于2年的概率为
D.0.1
π
x
sin
2x
0
π
的
图象关于直线
x
对称，则
的值为（
B.
π
.
12
π
6
C.
π
3
6
）
D.
2π
3
5.
三星堆古遗址作为
“
长江文明之源
\"
，被誉为人类最伟大的考古发现之一
.3
号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古
蜀社会中神树的意义提供了重要依据
.
玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代
“
天
圆地方
”
观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面
内切于正方体的侧面，圆柱的高为
12cm
，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球
O
上，则球
O
的表面积为（）
A.
72πcm
2
B.
162πcm
2
C.
216πcm
2
D.
288πcm
2
6.设等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
.已知
S
n
1
2
S
n
1
，
2
nN
*
，则
S
6
（）
A.
31
2
B.16C.30D.
63
2
x
2
y
2
CDy
7.已知椭圆
E
：
2
2
1
a
b
0
的两条弦
AB，CD
相交于点
P
（点
P
在第一象限），且
AB
x
轴，
ab
轴
.
若
PA:PB:PC:PD1:3:1:5
，则椭圆
E
的离心率为（
A.
5
5
）
D.B.
10
5
C.
25
5
210
5
8.设
a,bR
，
4
b
6
a
2
a
，
5
a
6
b
2
b
，则（
A.
1ab
B.
0ba
）
C.
b0a
D.
ba1
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0
分.
9.
新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等
.
我国的新
能源汽车发展开始于
21
世纪初，近年来发展迅速，连续
8
年产销量位居世界第一
.
下面两图分别是
2017
年至
2022
年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则（）
A.
2017~2022
年我国新能源汽车年产量逐年增加
B.
2017~2022
年我国新能源汽车年产量的极差为
626.4
万辆
C.
2022
年我国汽车年总产量超过
2700
万辆
D.
2019
年我国汽车年总产量低于
2018
年我国汽车年总产量
10.
已知
z
为复数，设
z
，
z
，
iz
在复平面上对应的点分别为
A
，
B
，
C
，其中
O
为坐标原点，则（
OAOB
AB.
OAOC
）
C.
ACBC
.
D.
OB∥AC
）
0
，点P为圆C：
x
2
y
2
6x8y170
上的动点，则（11.已知点
A
1,0
，
B
1,
A.
PAB
面积的最小值为
842
B.
AP
的最小值为
22
C.
PAB
的最大值为
ABAP
的最大值为
842
5π
D.
12
12.已知
f
cos4
cos3
，且
1
，
2
，
3
是
f
A.
在
0,π
内的三个不同零点，则（
1
2
）
π
1
,
2
,
3
7
B.
1
2
3
π
C.
cos
1
cos
2
cos
3
1
8
D.
cos
1
cos
2
cos
3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.
编号为
1
，
2
，
3
，
4
的四位同学，分别就座于编号为
1
，
2
，
3
，
4
的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则
恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为
___________.
14.已知向量
a
，
b
满足
a2
，
b3
，
ab0
.设
cb2a
，则
cosa,c
___________.
15.已知抛物线
y
2
4x
的焦点为F，点Р是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物
线于点
B.
若
PB
平行于
x
轴，则
AF
的长度为
____________.
16.直线
xt
与曲线
C
1
：
y
e
ax
a
R
及曲线
C
2
：
y
e
x
ax
分别交于点A，B.曲线
C
1
在A处的切线为
x
l
1
，曲线
C
2
在B处的切线为
l
2
.若
l
1
，
l
2
相交于点C，则
ABC
面积的最小值为____________.
四、解答题；本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
证明过程或演算步骤.
17.在数列
a
n
中，若
a
n
1
a
1
a
2
a
3
a
n
dn
N
2
*
，则称数列
a
为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知
n
2
数列
a
n
是
一个“泛等差数列”，数列
b
n
满足
a
1
a
2
a
n
a
1
a
2
a
3
a
n
b
n
.
2
（1）若数列
a
n
的
“泛差”
d1
，且
a
1
，
a
2
，
a
3
成等差数列，求
a
1
；
（2）若数列
a
n
的“泛差”
d1
，且
a
1
1
，求数列
b
n
的通项
b
n
.
2
18.在
ABC
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
2cb
sinAcosA
.
（
1
）若
sinB10sinC
，求
sinA
的值；
（
2
）在下列条件中选择一个，判断
ABC
是否存在，如果存在，求
b
的最小值；如果不存在，说明理由
.
①
ABC
的面积
S
②
bc42
；
③
a
2
b
2
c
2
.
19.
如图，在多面体
ABCDE
中，平面
ACD
平面
ABC
，
BE
平面
ABC
，
ABC
和
ACD
均为正三角形，
21
；
AC4
，
BE3
.
（
1
）在线段
AC
上是否存在点
F
，使得
BF∥
平面
ADE
?
说明理由；
（
2
）求平面
CDE
与平面
ABC
所成的锐二面角的正切值
.
20.
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是
21
世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术
正在日益成熟，应用领域也在不断扩大
.
人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验
概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策
.
基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模
型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有
9
个红球和
1
个白球乙袋中
有
2
个红球和
8
个白球
.
从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验
.
若多次试
验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为
2
（先验概率）.
（
1
）求首次试验结束的概率；
（
2
）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方
案二，从另外一个袋子中摸球
.
请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大
.
1
x
2
y
2
21.已知双曲线
C
：
2
2
1
a
,
b
0
的离心率为
2
，直线
l
1
：
y2x43
与双曲线C仅有一个公共点.
ab
（
1
）求双曲线
C
的方程
（2）设双曲线
C
的左顶点为
A
，直线
l
2
平行于
l
1
，且交双曲线C于M，N两点，求证：
AMN
的垂心在双曲线C
上
.
22.已知
kR
，函数
f
x
3ln
x
1
2π
sin
xkx
，
x
1,2
.
π2
（1）若
k0
，求证：
f
x
仅有1个零点；
（2）若
f
x
有两个零点，求实数
k
的取值范围.
南京市、盐城市2023届高三年级第一次模拟考试
数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试卷必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名，准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
k
1
M
xx
,
k
Z
N
xx
k
,
k
Z
22
，
，则（
1.设
A.
MÜN
【答案】
B
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项
.
【详解】解：因为
xk
B.
NÜM
C.
M=N
）
D.
MN
11
2
k
1
，因为
kZ
，
22
所以集合
N
是由所有奇数的一半组成，
而集合
M
是由所有整数的一半组成，故
NÜM
.
故选：
B
2.若
f
x
x
x1
xa
aR
为奇函数，则
a
的值为（
A.-1
【答案】
A
【分析】根据奇函数的定义，取特殊情况
f
1
f
1
0
，可以快速求解出
a
的值.
【详解】由题得：
f
1
f
1
0
，故
a1
.
故选:
A.
3.某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布
N4,
0.9
，则该品牌手机电池至少使用
6
年的概率为（
A.0.9
【答案】
D
【分析】根据正态分布的对称性求解即可
.
【详解】由题得：
P
x2
0.9
，故
P
x2
0.1
，
B.0.7
）
C.0.3D.0.1
B.0C.1
）
D.-1
或
1
2
0
，且使用寿命不少于2年的概率为
因为
6
2
4
，所以根据对称性得：
P
x6
P
x2
0.1
.
2
π
x
sin
2x
0
π
的图象关于直线
x
对称，则
的值为（
B.
故选：
D.
4.已知函数
f
A.
π
12
π
6
C.
π
3
6
）
D.
2π
3
【答案】
B
【分析】由正弦函数的图像的对称性可得
ππ
k
π
k
Z
，由此可以求出
的值.
32
【详解】由题得：
f
故选：
B.
ππ
π
π
0
π
1
k
π
k
Z
，故，而，所以.
6
32
6
5.
三星堆古遗址作为
“
长江文明之源
\"
，被誉为人类最伟大的考古发现之一
.3
号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古
蜀社会中神树的意义提供了重要依据
.
玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代
“
天
圆地方
”
观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面
内切于正方体的侧面，圆柱的高为
12cm
，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球
O
上，则球
O
的表面积为（）
A.
72πcm
2
【答案】
C
B.
162πcm
2
C.
216πcm
2
D.
288πcm
2
【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股
定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.
【详解】不妨设正方体的边长为
2a
，球
О
的半径为
R
，则圆柱的底面半径为
a
，
因为正方体的体对角线即为球О直径，故
2R23a
，利用勾股定理得：
6
2
a
2
R
2
3a
2
，解得
a18
，球的
表面积为
S4πR
2
4π318216π
，
故选：
C.
6.设等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
.已知
S
n
1
2
S
n
A.
1
，
nN
*
，则
S
6
（
2
D.
）
31
2
B.16C.30
63
2
【答案】
D
【分析】根据递推关系可求出等比数列的公比、首项，由求和公式得解
.
【详解】由题得：
S
n
1
2
S
n
则
S
n
故
S
6
1
1
①，
S
n
2
2
S
n
1
②，①
-
②得：
a
n
2
2
a
n
1
，
q=2
，
2
2
a
1
1
2
n
1
2
63
，
2
2
1
a
1
，代入①中，即
2
n
n
1
1
1
1
a
1
2
2
n
1
a
1
，
a
1
，
2
2
故选：
D.
x
2
y
2
CDy
7.已知椭圆
E
：
2
2
1
a
b
0
的两条弦
AB，CD
相交于点
P
（点
P
在第一象限），且
AB
x
轴，
ab
轴
.
若
PA:PB:PC:PD1:3:1:5
，则椭圆
E
的离心率为（
A.
5
5
）
D.B.
10
5
C.
25
5
210
5
【答案】
B
【分析】设
P
m,n
,PAt
，进而得
A,B,C,D
的坐标，进而根据对称性得
A
3t,t
,C
2t,2t
，再代入椭圆方程
b
2
3
整理得
2
，最后求解离心率即可.
a
5
【详解】解：设
P
m,n
,PAt
，则
A
m,nt
,B
m,n3t
，
C
mt,n
,D
m5t,n
，
由题知
A,B
关于x轴对称，
C,D
关于
y
轴对称，
所以
ntn3t0
，
mtm5t0
，即
nt
，
m2t
所以
C
3t,t
,A
2t,2t
，
9
t
2
t
2
2
1
2
914453
ab
b
2
3
所以
2
，即
2
2
2
2
所以
2
2
，即
2
，
2
a
5
ababab
4
t
4
t
1
a
2
b
2
b
2
210
所以椭圆
E
的离心率为
e
1
a
2
55
故选：
B
8.设
a,bR
，
4
b
6
a
2
a
，
5
a
6
b
2
b
，则（
A.
1ab
【答案】
A
B.
0ba
）
C.
b0a
D.
ba1
【分析】由指数式的取值范围可得
a0
且
b0
，通过构造函数证明
ab
不成立，可得到正确选项
.
【详解】因为
4
b
6
a
2
a
0
，所以
3
a
1
，所以
a0
，
5
a
6
b
2
b
0
，所以
3
b
1
，所以
b0
，若
ab
，
则
5
a
4
a
4
b
，设
f
x
6
2
2
xxx
3
x
1
在
0,
上单调递增，所以
6
a
2
a
6
b
2
b
，即
4
b
5
a
，不合
题意.
故选：
A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由
4
b
6
a
2
a
，
5
a
6
b
2
b
，构造函数
f
x
6
2
，通过单调性证
xx
明若
ab
则存在矛盾
.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0
分.
9.
新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等
.
我国的新
能源汽车发展开始于
21
世纪初，近年来发展迅速，连续
8
年产销量位居世界第一
.
下面两图分别是
2017
年至
2022
年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则（）
A.
2017~2022
年我国新能源汽车年产量逐年增加
B.
2017~2022
年我国新能源汽车年产量的极差为
626.4
万辆
C.
2022
年我国汽车年总产量超过
2700
万辆
D.
2019
年我国汽车年总产量低于
2018
年我国汽车年总产量
【答案】
BCD
【分析】根据我国新能源汽车年产量图可判断
AB
选项；计算出
2018
、
2019
、
2022
这三年我国汽车年总产量，
可判断
CD
选项
.
【详解】对于A选项，由图可知，从
2018
年到
2019
年，我国新能源汽车年产量
在
下降，A错；
对于
B
选项，
2017~2022
年我国新能源汽车年产量的极差为
705.879.4626.4
万辆，
B
对；
对于C选项，
2022
年我国汽车年总产量约为
705.8
2757
万辆，C对；
0.256
对于D选项，
2019
年我国汽车年总产量为
124.2
2587.5
万辆，
0.048
2018
年我国汽车年总产量为
127
2822.22
万辆，
0.045
所以，
2019
年我国汽车年总产量低于
2018
年我国汽车年总产量，
D
对
.
故选：
BCD.
10.
已知
z
为复数，设
z
，
z
，
iz
在复平面上对应的点分别为
A
，
B
，
C
，其中
O
为坐标原点，则（
A.
OAOB
）
B.
OAOC
C.
ACBC
【答案】
AB
D.
OB∥AC
【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出
A
，
B
，
C
，三点的坐标，通过向量的模长、
向量的平行和垂直知识进而可以判断.
【详解】设
zabi
a,bR
，
A
a,b
，
zabi
a,bR
，
B
a,b
，
izi
abi
bai
，
C
b,a
，
OA
a
,
b
,
OB
a
,
b
,
OC
b
,
a
,
AC
b
a
,
a
b
,
BC
b
a
,
a
b
对于A，
a
b
a
b
222
2
OA
OB
，故选项A正确；
对于B，
a
b
ba0
，
OA
OC
，故选项B正确；
对于C，
ba
ab
22
ba
ab
22
uuur
，
AC
不等于
BC
，故选项C错误；
对于D，
a
ab
b
ba
0
，
OB
不平行于
AC
，故选项D错误.
故选:
AB.
0
，点P为圆C：
x
2
y
2
6x8y170
上的动点，则（11.已知点
A
1,0
，
B
1,
A.
PAB
面积的最小值为
842
C.
PAB
的最大值为
【答案】
BCD
B.
AP
的最小值为
22
D.
ABAP
的最大值为
842
）
5π
12
【分析】对于
A
，点
P
动到圆
C
的最低点
M
时，
PAB
面积的最小值，利用三角形面积公式；对于
B
，当点
P
动
到
R
点时，
AP
取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于
C
，当
AP
运动到与圆
C
相切时，
PAB
取得
最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于
D
，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.
【详解】
x
2
y
2
6x8y170(x3)
2
(y4)
2
8
，
圆C是以
3,4
为圆心，
22
为半径的圆.
对于A，
PAB
面积的最小值为点P动到圆C的最低点
M
时，
y
M
4
22
，
S
PAB
11
ABy
M
2
4
22
4
22
，故选项A错误；
22
对于B，连接
A,C
交圆于
R
点，当点P动到
R
点时，
AP
取到最小值为
ACRC(31)
2
4
2
2222
，故
选项
B
正确；对于
C
，当
AP
运动到与圆
C
相切时，
PAB
取得最大值，设切点为
Q
,
sin
CAQ
CN
4π
QC
221π
1,
CAN
，
,
CAQ
，
sin
CAN
AN
44
AC
42
26
5π
，故选项C正确；
12
PAB
CAQ
CAN
对于D，
AB
AP
AB
AP
cos
PAB
，当点P动到
S
点时，
APcos
PAB
取得最大值，即
AS
在
AB
上
的投影，
AB
AP
AB
AP
cos
PAB
AB
AN
2(1322)842
，故选项D正确；
故选：
BCD.
12.已知
f
cos4
cos3
，且
1
，
2
，
3
是
f
A.
在
0,π
内的三个不同零点，则（
1
2
）
π
1
,
2
,
3
7
B.
1
2
3
π
C.
cos
1
cos
2
cos
3
【答案】
ACD
1
8
D.
cos
1
cos
2
cos
3
【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质，解出
1
，
2
，
3
，即可判断选项A、B，将
cos
1
cos
2
cos
3
根据诱
π2π4ππ
coscos
，分子分母同乘
sin
，结合倍角公式即可判断C，将
cos
1
cos
2
cos
3
通过
7777
2π4π6ππ
cos
cos
诱导公式化为
cos
，再将分子分母同乘
sin
，结合积化和差公式进行化简即可判断D.
7777
导公式化为
cos
【详解】解：由题知
1
，
2
，
3
是
cos4
cos3
0
的三个根，
cos4
cos3
0
可化为
cos4
cos3
，即
cos4
cos
π3
，
所以可得
4
π3
2kπ
或
4
π3
2kπ
，
k
Z
，
解得
π2kπ
或
π2
k
π
，
k
Z
，
77
因为
0,π
，所以
π2kπ
不成立，
π2
k
ππ
，
k
Z
成立时，取
k1
，解得
0,π
，
777
3π5π
0,π
，取
k3
，解得
0,π
，取
k2
，解得
77
当
取
k4
，解得
π
0,π
（舍），
故
1
π3π5π
，
2
，
3
，
777
9π
π
，所以选项B错误；
7
所以选项
A
正确；
因为
1
2
3
π4π
2π
π3π5π
coscos
π
cos
π
cos
1
cos
2
cos
3
coscoscos
77
7
777
ππ2π4π
coscoscos
π2π4π
7777
coscoscos
π
777
2sin
7
2π2π4π4π4π
2sincoscos2sincos
777
77
ππ
4sin8sin
77
2sin
8π
sin
π
π
π
sin
sin
7
7
7
1
，
πππ
8
8sin8sin8sin
777
故选项
C
正确；
而
cos
1
cos
2
cos
3
cos
π3π5π
coscos
777
6π
4π
2π
cos
π
cos
π
cos
π
7
7
7
cos
2π4π6π
coscos
777
π
2π4π6π
sin
cos
cos
cos
7
777
π
sin
7
π2ππ4ππ6π
sincos
sincos
sincos
777777
，
π
sin
7
根据积化和差公式：
sin
cos
所以原式可化为：
1
sin
sin
，
2
1
π2π
π2π
π4π
π4π
π6π
π6π
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2
77
77
77
77
77
77
π
sin
7
13π1
π
15π1
3π
17π1
5π
sin
sin
sin
sin
sin
sin
272
7
272
7
272
7
π
sin
7
3π1π15π13π17π15π
1
sin
sin
sin
sin
sin
sin
272727272727
π
sin
7
π
1
sin
27
1
，故选项D正确.
π
2
sin
7
故选：
ACD
【点睛】思路点睛：此题考查三角函数的化简问题，属于中难题，关于化简问题常用的思路有：
（
1
）利用诱导公式将角化为关系比较接近的；
（
2
）遇见
cos
cos2
cos3
cos4
的形式，分子分母同乘
sin
，再用倍角公式化简；
（3）积化和差公式：
sin
cos
11
sin
sin
cos
sin
sin
sin
，
，
2
2
1
1
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
，
.
2
2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.
编号为
1
，
2
，
3
，
4
的四位同学，分别就座于编号为
1
，
2
，
3
，
4
的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则
恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为
___________.
【答案】
6
【分析】
4
人中选
2
人出来，他们的两编号一致，剩下
2
人编号不一致，只有一种坐法，由乘法原理可得．
【详解】由题意4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，方法数为
C
4
6
．
故答案为：
6.
2
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