2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组C卷

2023年12月17日发(作者：绵阳中考数学试卷和答案)

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷

（小高组C卷）

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．（10分）计算：+= ．

2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是 ．

3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且 AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为 ．

4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了 秒．

5．（10分）设 a，b，c，d，e 均是自然数，并且 a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则 a+b 的最大值为 ．

6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙第1页（共16页）

水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要 个小时．

7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有 种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．

8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求

的值 ．

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？

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10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？

11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．

12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．

第3页（共16页）

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？

14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：

（1）将1染成红色； （2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：

和分别染成什么颜色？

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2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷

（小高组C卷）

参考答案与试题解析

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．（10分）计算：

+= 1 ．

【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．

【解答】解：+

=+

=+

=1；

故答案为：1．

【点评】本题考查了繁分数的化简，关键是掌握小数的四则运算的计算法则．

2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是 1962 ．

【分析】（1）如果百位不退位，四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20，再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数；如何判断是否符合题意．

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（2）如果百位退位，则易得“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数．

【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为0，

所以“数学”=20；

再看后两位，竞赛+竞赛=24，

所以“竞赛”=24÷2=12；

所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，要舍去．

（2）如果百位退位，则“数学”=19，

再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，

所以“竞赛”=124÷2=62，

所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962．

答：“数学竞赛”所代表的四位数1962．

故答案为：1962．

【点评】此题考查了凑数谜．此类型的题往往要结合数位知识和数字的特征解答，本题要从进位和不进位两方面考虑．

3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且 AF=2FB，四边形EBCD是平行四边形，那么FD：EF为 2：1 ．

【分析】因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，据此解答即可．

【解答】解：因为AF=2FB，

所以AF：FB=2：1，

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因为四边形EBCD是平行四边形，

所以BE∥AC，

则∠ADF=∠BEF，∠EFB=∠DFA，

所以△ADF∽△BEF，

所以FD：EF=AF：FB=2：1，

故答案为：2：1．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据BE∥AC，得出△ADF∽△BEF．

4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了 36 秒．

【分析】由图可知：先让蚂蚁向上爬一个长，然后再水平爬5个宽，再向下爬一个长，再水平爬2个长，向上爬1个长，再水平爬5个宽，最后再乡下爬1个长即可．

【解答】解：所爬路线如图：

（5×4×2+2×12）÷4

=64÷4

=16（秒）

12×2÷2=12（秒）

12×2÷3=8（秒）

16+12+8=36（秒）

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答：蚂蚁至少爬行了36秒．

故答案为：36．

【点评】本题先找出蚂蚁所走的路线是解决问题的关键．

5．（10分）设 a，b，c，d，e 均是自然数，并且 a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则 a+b 的最大值为 35 ．

【分析】a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=55，每个数增加1，则a+2b+3c+4d+5e的和增加15；然后看（300﹣55）看有几个15；再结合余数即可确定a、b的值．

【解答】解：如果 a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，

假设分别是：1、2、3、4、5，

则，a+2b+3c+4d+5e

=1+2×2+3×3+4×4+5×5

=55

如果它们都再加上1，则总和将会增加：

1+2+3+4+5=15

（300﹣55）÷15=16…5

余数是5，只能加在e上，

所以，a=1+16=17，b=2+16=18，

所以，a+b 的最大值为：17+18=35．

答：a+b 的最大值为35．

故答案为：35．

【点评】本题属于构造性问题，关键明确要使a+b 的和最大，就要使这五个数中最小的两个数a和b尽量大，则根据相邻两个自然数差最小是1构建五个数．

6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙第8页（共16页）

水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要 4 个小时．

【分析】首先根据题意，设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，再根据工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以x+5、x，求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几；然后根据：一台A型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率=1÷注满丙水池所需时间，列出方程，求出x的值，再用x减去4，求出注满丙水池所需时间是多少，再用它乘以，求出注满丙水池的三分之二需要多少小时即可．

【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，

则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，

（+=

+）x（x﹣4）（x+5）=•x（x﹣4）（x+5）

x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）=x（x+5）

2x2﹣3x﹣20=x2+5x

x2﹣8x﹣20=0

解得x=10或x=﹣2（舍去）

（10﹣4）×

=6×

=4（小时）

答：注满丙水池的三分之二需要4个小时．

故答案为：4．

【点评】（1）此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量=工作效率×工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率．

（2）此题还考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进第9页（共16页）

而列出方程是解答此类问题的关键．

7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有 10 种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．

【分析】俯视图相同，均为四个方格的正方形，共有8个小正方形，最下面一层必为四个小方格，可以分层讨论，得出总的不同堆法，求得总数．

【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为4+4堆放，有1种堆法；

分为3层堆放，1+3+4时，有4种堆法，2+2+4时，有2种堆法；

分为4层堆放，4+2+1+1堆放，有2种堆法；

分为5层堆放，4+1+1+1+1堆放，有1种堆法，

综上，共有10种堆法．

故答案是：10

【点评】本题考查了图形的变换和对称性，突破点是：利用图形对称性，不难求得总的不同堆法．

8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求

的值 ．

【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC：S△FDC=EP：PD，只要求出S△EFC和S△FDC的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．

【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC：S△FDC=EP：PD

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又∵AF=2BF∴S△AFC：S△BFC=AF：BF=2：1⇒同理：CE=3AE⇒S△，△；

EFC：S=AEF=EC：AE=3：1⇒；

△CD=4BD⇒S△CDF：S=BDF=CD：BD=4：1⇒

故：EP：PD=S△EFC：S△FDC=故答案是：．

．

【点评】本题考查了相似三角形和风筝模型，突破点是：利用风筝模型列出线段比和面积比的关系式，再求解．

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？

【分析】分两种情况讨论，即：（1）假设在AB之间建立仓库；（2）假设在BC之间建立仓库；分别列出方程解答即可．

【解答】解：（1）假设在AB之间建立仓库，设到A的距离为x千米．那么总费第11页（共16页）

用为：50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1

整理得到：5x+107000

为了使这个总费用最小，

由于107000一定了，所以要让5x尽量小，

所以x=0，即设在A点总费用最低．

（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处． 那么总费用为：

50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1

整理得到：109500+30y，

同理，y=0，最小费用为109500，此时设在B点．

107000＜109000．

综上所以设在A点运费最低，最低费用为107000元．

答：仓库应该建在A处才能使运费最低．

【点评】在运货策略中，要结合运费、质量和路程进行列方程解答，注意解题过程中要分类讨论．

10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？

【分析】因为2014=2×1007=2×19×53，分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53的倍数有多少个，进而求出分母不是2014的个数，进而得解．

【解答】解：2014=2×1007=2×19×53，

2的倍数：1007个，

19的倍数：106个，

53的倍数：38个，

2×19的倍数：53个，

2×53的倍数：19个，

19×53的倍数：2个，

2×19×53的倍数：1个，

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分母不是2014的共有：

1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1=1078（个），

不包括，那么共：1078﹣1=1077（个）．

每2个和为1，分母是2014的最简分数共：

2013﹣1077=936（个）

和为：936÷2=468．

【点评】此题咋一看，无从下手，要积极寻求灵活的方法：把2014分解质因数，分别求出这些因数的倍数有多少个，进而得出分母是2014的最简分数的个数，解决问题．

11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．

【分析】通过分析可知：分下列几种情况

①5=1+2+2，此类为3个选一个，②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，

④5=3+1+1，此类为3个选一个；⑤5=2+1+1+1，此类为，4个选一个；把这几种情况相加，

据此解答即可．

【解答】解：①5=1+2+2，此类为3个选一个，有C31=3种；

②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；

③5=2+3，此类为2个选一个，有C21=2种

④5=3+1+1，此类为3个选一个，有C31=3种；

⑤5=2+1+1+1，此类为4个选一个，有C41=4种；

一共：3+1+2+3+4=13种

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答：一共有13种不同的摆放方式．

【点评】解答此题的关键是通过题意，进行分析，然后根据分析得到的数据进行解答．

12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．

【分析】设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得a2+39=b2+144，化简可得：a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，把105分解质因数，105=3×5×7，然后把因数3、5、7组合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值，然后进一步解方程组即可．

【解答】解：设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得：

a2+39=b2+144，

即，a2﹣b2=105，

（a+b）（a﹣b）=105，

105=3×5×7，

所以，（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值：

，，，，

相对应求得四组符合题意的解是：

，，，，

所以这个自然数可以是：

112+39=160，

132+39=208，

192+39=400，

532+39=2848，

答：此自然数可以是160、208、400、2848．

【点评】本题考查了比较复杂数字问题和平方差公式的灵活应用，关键是通过分解质因数得出四种对应取值．

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三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？

【分析】这10个数无论怎样摆放，它们的和是不变的，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，分成两组，分成的两组数的和越接近，所要求的积就越大．

【解答】解：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

55=27+28

所以只要将10个数分成和是27和28的两部分，此时的积是27×28=756

答：所有的摆放中，K最大是756．

【点评】这是求最值问题，在和一定的情况下，分成的两数差越大，积就越小，两数差越小，积就越大．

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14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：

（1）将1染成红色； （2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：

和分别染成什么颜色？

【分析】首先分析1是红色，那么2是蓝色，可得奇数是红色，偶数是蓝色，再根据不为1的数与其倒数颜色不同倒过来即可．

【解答】解：依题意可知：

数字2和1的颜色不同，那么数字2是蓝色．根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色．

7涂的是红色，又知与7的颜色不同，所以是蓝色的．

2014是偶数，综上所述．就涂的是红色．就是红色的．

是红色的，是蓝色的．

【点评】本题是对染色问题的理解和运用，关键问题是理解题中的染色规律，问题解决．

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