2024年4月3日发(作者：漳州中考数学试卷答案高中)
正弦定理和余弦定理
（一）复习指导
1 •掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
（二）基础知识
1.三角形中的有关公式
（1）内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角 和与第三
个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余•锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余 弦值为正值 任两角和都
是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方 •
（2）正弦定
理：
C
a b
2R
（
R
为三角形外接圆的半径
sin A sin B
sin C
）.注意：①正弦定理的一些变式:
a b c sin A
a
si nB
sinC
；
ii sin A ,sinB
2R
b
2R
,sinC
c
2R
iii a 2Rsin A,b
2Rsi nB,b 2RsinC
；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦
2 2 2
；
定理，则务必注意可能有两解
（3
）
余弦定理：
a
2
(4)面积公式：
S -ah
a
2 2 2 2
b
2
2
a
2bccosA,cosA
b
―
』等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状
2bc
labsinC
2
r（a b c）
（其中
r
为三角形内切圆半径）
.女口
ABC
中，若
sin A cos B cos Asin B
特别提醒：(1 )求解
sin C
，判断
ABC
的形状（答：直角三角形）
。
三角形中
这个特殊性：
的问题时，一定要注意
A B C
A
B C
cos-
；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运
A B C,sin（A B） sinC,sin
用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此 三
角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）
（三）解题方法指导
例1.在厶ABC中，a : b : c= 3 : 5 : 7 则其最大角为 _______
例2.在厶ABC中，有acosA=bcosB，判断△ ABC的形状.
。
例3.在厶ABC中，/ A=60°面积为
10J5
，周长为20,求三条边的长.
例4.在一条河的对岸有两个目标物 A, B,但不能到达.在岸边选取相距 2.一 3里的C, D两点，并测得
/ ACB=75° / BCD =45° , / ADC =30° , / ADB=45° 且 A , B , C , D 在同一个平面内，求 A , B 之间的距离.
例题解析
例1解：因为三条边中c边最大，则角 C最大，根据余弦定理， cosC -，所以C
2 3
例 2 解：由正弦定理，a=2RsinA, b = 2RsinB,代入有 2RsinAcosA=2RsinBcosB,即 sin2A=sin2B,所以 2A=2B
或2A=
n-
2B .即A=B或A B ，所以△ ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
n
例 3 解：因为 s
ABC
1
bcsin A 10 3，所以 bc=40，又 a + b+ c=20, a
2
=b
2
+ c
2
- 2bccosA，解得三条边为 2
5, 7, 8.
例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮 我们找到解
题的思路.
要求AB,可以把AB放到一个三角形中， 看看这个三角形中还有哪些条件，
解：中厶 ACD 中，/ ACD=120° , / ADC=30°
所以/ DAC =30° ,所以 | AC | = | CD | =2 J3 ,
在厶 BCD 中，/ BCD =45° , / CDB = 75°
i
BC
|
所以/ CBD=60° ,由正弦定理
，
——0
然后可以根据正余弦定理求值.
sin 75
0
2,
所以
|BC|
竺空
.6
|CD|
sin
60
sin 60
o
在厶 ABC 中，/ BCA=75° ,
根据余弦定理，| AB |
2
= | AC |
2
+l
BC |
2
-2 | AC |・| BC | • cos75° 求得
I
AB
|
2
=20
, | AB | 2,5
D
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