2024年4月3日发(作者：成考理科数学试卷)
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正弦定理和余弦定理
一：基础知识理解
1．正弦定理
分类
定理
内容
abc
＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)
sin Asin Bsin C
①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，
变形
公式
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，
abc
③sin A＝，sin B＝，sin C＝
2R2R2R
①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
解决的
问题
2．余弦定理
分类
定理
内容
在△ABC中，有a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos_A；
b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos_B；c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos_C
b
2
＋c
2
－a
2
a
2
＋c
2
－b
2
cos A＝；cos B＝；
2bc2ac
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
变形
公式
解决的
问题
3．三角形中常用的面积公式
1
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
2
111
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
222
1
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2
二：基础知识应用演练
1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )
A．43
C.3
B．23
D.
3
2
2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )
A．30°
C．60°
B．45°
D．75°
3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
.
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A．无解
C．一解
B．两解
D．解的个数不确定
π
4．(2012·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝23，
6
则b＝________.
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
BCAC32AC322
解析：1选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝23.
sin Asin Bsin 60°sin 45°2
3
2
b
2
＋c
2
－a
2
1＋4－3
1
2选C ∵cos A＝＝＝，又∵0° 2bc 2×1×2 2 abb2422 3 选B ∵＝，∴sin B＝sin A＝sin 45°，∴sin B＝.又∵a sin Asin Ba183 4 由余弦定理得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B＝4＋12－2×2×23× 3 ＝4，所以b＝2.答案：2 2 5、解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x 2 －10xcos 120°，整理得x 2 ＋5x－24＝0，即x＝3. 113153153 因此S △ ABC ＝AB×BC×sin B＝×3×5×＝. 答案： 22244 小结：(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即 在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. (2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 解的个 一解 数 三、典型题型精讲 （1）利用正弦、余弦定理解三角形 [例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． . a≥b 一解 a>b 一解 a＝bsin A bsin A 两解 精品文档 解析：(1)由bsin A＝3acos B及正弦定理 ab π ＝，得sin B＝3cos B，所以tan B＝3，所以B＝. sin Asin B3 ac (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B， sin Asin C 得9＝a 2 ＋c 2 －ac. 所以a＝3，c＝23. 思考一下： 在本例(2)的条件下，试求角A的大小． 方法小结： 1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应 注意用哪一个定理更方便、简捷． 2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不 唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 试题变式演练1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos 2 A＝2a. b (1)求； a (2)若c 2 ＝b 2 ＋3a 2 ，求B. 解：(1)由正弦定理得， sin 2 Asin B＋sin Bcos 2 A＝ 2sin A，即sin B(sin 2 A＋cos 2 A)＝2sin A. b 故sin B＝ 2sin A，所以＝ 2. a 1＋3a (2)由余弦定理和c 2 ＝b 2 ＋3a 2 ，得cos B＝. 2c 由(1)知b 2 ＝2a 2 ， 1 故c 2 ＝(2＋3)a 2 .可得cos 2 B＝， 2 又cos B>0，故cos B＝ . 2 ，所以B＝45°. 2 精品文档 （2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 [例2] 在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． [解析] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2 ＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a 2 ＝b 2 ＋c 2 ＋bc. 1 由余弦定理得a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A，故cos A＝－，∵0 2 31 (2)由(1)得sin 2 A＝sin 2 B＋sin 2 C＋sin Bsin C＝ 又sin B＋sin C＝1，解得sin B＝sin C＝. 42 ∵0° 方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判 断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角 的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． [注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 试题变式演练 (2012·安徽名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 A 7 cos 2 ，cos 2A ，且m·m＝(4，－1)，n＝ n＝. 2 2 (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状． . 精品文档 A cos 2 ，cos 2A ， 解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝ 2 1＋cos A A7 ∴m·n＝4cos 2 －cos 2A＝4·－(2cos 2 A－1)＝－2cos 2 A＋2cos A＋3.又∵m·n＝， 222 71 π ∴－2cos 2 A＋2cos A＋3＝，解得cos A＝.∵0 223 1 (2)在△ABC中，a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A，且a＝3，∴(3) 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc·＝b 2 ＋c 2 －bc.① 2 又∵b＋c＝23， ∴b＝23－c，代入①式整理得c 2 －23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝ 3，于是a ＝b＝c＝ 3，即△ABC为等边三角形． （3）与三角形面积有关的问题 [例3] (2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋3asin C－ b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c. [解] (1)由acos C＋3asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C， 所以3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. π 1 π A－ ＝. 又0＜A＜π，故A＝. 由于sin C≠0，所以sin 6 23 1 (2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4. 2 而a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A，故b 2 ＋c 2 ＝8. 解得b＝c＝2. 方法小结： 1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用． 111 2．在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边也有 222 角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用． 1 试题变式演练 (2012·江西重点中学联考)在△ABC中，cos 2A＝cos 2 A－cos A. 2 (1)求角A的大小； (2)若a＝3，sin B＝2sin C，求S △ ABC . . 精品文档 11 π 解：(1)由已知得(2cos 2 A－1)＝cos 2 A－cos A，则cos A＝.因为0 223 (2)由 bcsin Bb ＝，可得＝＝2， 即b＝2c. sin Bsin Csin Cc b 2 ＋c 2 －a 2 4c 2 ＋c 2 －9 1 所以cos A＝＝＝， 解得c＝3，b＝23， 2bc4c 2 2 11333 所以S △ ABC ＝bcsin A＝×23×3×＝. 2222 课后强化与提高练习（基础篇-必会题） 1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 π 2．(2012·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面 3 积为 3 ，则a的值为( ) 2 B．2 D.3 A．1 C. 3 2 3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝ tan A2c 22，1＋＝，则C＝( ) tan Bb A．30° B．45° D．60° C．45°或135° 4．(2012·陕西高考)在△ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a 2 ＋b 2 ＝2c 2 ，则cos C 的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 1 C. 2 1 D．－ 2 5．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin 2 A＋sin 2 B 2 C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．不能确定 6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B，则角A的大小为________． 解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，∵sin B≠0， π 7．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝，则C的大小为________． 3 π 8．(2012·北京西城期末)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝25，B＝， 4 . 精品文档 sin C＝ 5 ，则c＝________；a＝________. 5 1 9．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________. 4 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin B. (1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c. 11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a －2bsin A＝0. (1)求角B的大小； r uuur uuu (2)若a＋c＝5，且a>c，b＝7，求 AB · AC 的值． 12．(2012·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C) ＝tan Atan C. . 精品文档 (1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S. 课后强化与提高练习（提高篇-选做题） 1．(2012·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整 数，且A>B>C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( ) A．4∶3∶2 C．5∶4∶3 B．5∶6∶7 D．6∶5∶4 A＋B 7 －cos 2C＝， 22 2．(2012·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin 2 且a＋b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0. (1)求角A的大小； 33 (2)若a＝3，S △ ABC ＝，试判断△ABC的形状，并说明理由． 4 选做题 1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C . 精品文档 ＝________. 2．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( ) A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 B．直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 1 cos 2C＝－. 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． 4．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， 4 且cos B＝，b＝2. 5 (1)当A＝30°时，求a的值； (2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值． 课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析 1解析：选C a 11 π 3 2解析：选D 由已知得bcsin A＝×1×c×sin＝，解得c＝2，则由余弦定理可得a 2 ＝4＋1－ 2232 π 2×2×1×cos＝3⇒a＝3. 3 tan A2c 3解析：选B 由1＋＝和正弦定理得cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A， tan Bb 12322 即sin C＝2sin Ccos A，所以cos A＝，则A＝60°.由正弦定理得＝， 2sin Asin C 则sin C＝ 2 ，又c 2 11 4解析：选C 由余弦定理得a 2 ＋b 2 －c 2 ＝2abcos C，又c 2 ＝(a 2 ＋b 2 )，得2abcos C＝(a 2 ＋b 2 )，即cos 22 a 2 ＋b 2 2ab1 C＝≥＝. 4ab4ab2 . 精品文档 a 2 ＋b 2 －c 2 6解析：选C 由正弦定理得a＋b 2ab 222 1 三角形．∴sin A＝，∴A＝30°或A＝150°.答案：30°或150° 2 bsin A 7解析：由正弦定理可知sin B＝＝ a πππ ＝.答案： 622 8解析：根据正弦定理得 bcbsin C ＝，则c＝＝22，再由余弦定理得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B，即 sin Bsin Csin B 3sin π 3 1 π 5π π ＝，所以B＝或(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－－ 32663 a 2 －4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．答案：22 6 1 － ，解得b＝4.答案：4 9解析：根据余弦定理代入b 2 ＝4＋(7－b) 2 －2×2×(7－b)× 4 10解：(1)由正弦定理得a 2 ＋c 2 －2ac＝b 2 .由余弦定理得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B. 故cos B＝ 2 ，因此B＝45°. 2 2＋6 . 4 (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 2＋6 sin Asin Csin 60° 故a＝b×＝＝1＋3，c＝b×＝2×＝6. sin Bsin Bsin 45° 2 11解：(1)因为3a－2bsin A＝0， 所以 3sin A－2sin Bsin A＝0，因为sin A≠0，所以sin B＝ π (2)由(1)可知，B＝.因为b＝ 7. 3 π 根据余弦定理，得7＝a 2 ＋c 2 －2accos，整理，得(a＋c) 2 －3ac＝7. 3 由已知a＋c＝5，得ac＝6.又a>c，故a＝3，c＝2. b 2 ＋c 2 －a 2 7＋4－9 7 于是cos A＝＝＝， 2bc14 47 3 π .又B为锐角，所以B＝. 23 r uuu r uuur uuu r uuu 所以 AB · AC ＝| AB |·| AC |cos A＝cbcos A ＝2×7× 7 ＝1. 14 12解：(1)证明：在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝ tan Atan C， sin Asin C sin Asin C 所以sin B ， cos A ＋ cos C ＝ cos A · cos C 因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C， 所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C. 又A＋B＋C＝π， . 精品文档 所以sin(A＋C)＝sin B， 因此sin 2 B＝sin Asin C. 由正弦定理得b 2 ＝ac， 即a，b，c成等比数列． (2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2， a 2 ＋c 2 －b 2 1 2 ＋2 2 －2 3 由余弦定理得cos B＝＝＝， 2ac 2×1×2 4 因为0 2 B＝ 7 ， 4 1177 故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝. 2244 课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析 1解析：选D 由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N * )， n＋1 2 ＋n 2 －n＋2 2 则由余弦定理可得3(n＋1)＝20(n＋2)·，化简得7n 2 －13n－60＝0，n∈N * ，解得n＝4， 2nn＋1 由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4. A＋B 77 2解析：因为4sin 2 －cos 2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos 2 C＋1＝， 222 2＋2cos C－2cos 2 C＋1＝ 7111 a 2 ＋b 2 －7 2 ，cosC－cos C＋＝0，解得cos C＝.根据余弦定理有cos C＝＝， 24222ab 1 2 ab＝a 2 ＋b 2 －7,3ab＝a 2 ＋b 2 ＋2ab－7＝(a＋b) 2 －7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S △ ABC ＝ 133333 absin C＝×6×＝.答案： 2222 3解：(1)法一：由(2b－c)cos A－acos C＝0及正弦定理，得 (2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0， 1 π sin B(2cos A－1)＝0. ∵0 23 法二：由(2b－c)cos A－acos C＝0， b 2 ＋c 2 －a 2 a 2 ＋b 2 －c 2 及余弦定理，得(2b－c)·－a·＝0， 2bc2ab 整理，得b 2 ＋c 2 －a 2 ＝bc，∴cos A＝ b 2 ＋c 2 －a 2 1 π ＝，∵0 2bc23 133 (2)∵S △ ABC ＝bcsin A＝， 24 1 π 33 π 即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A，a＝3，A＝， 2343 ∴b 2 ＋c 2 ＝6，②由①②得b＝c＝3，∴△ABC为等边三角形． 选择题解析 . 精品文档 asin B1 1解析：在△ABC中，A＋C＝2B，∴B＝60°.又∵sin A＝＝，∴A＝30°或150°(舍)，∴C＝90°， b2 ∴sin C＝1. 答案：1 2解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知： sin A＝2sin Bcos C，又A＝π－(B＋C)， ∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C. ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， ∴sin(B－C)＝0. 又∵B、C为三角形内角，∴B＝C. a 2 ＋b 2 －c 2 法二：(化角为边)由余弦定理知cos C＝， 2ab a 2 ＋b 2 －c 2 a 2 ＋b 2 －c 2 ∴a＝2b·＝， 2aba ∴a 2 ＝a 2 ＋b 2 －c 2 ，∴b 2 ＝c 2 ，∴b＝c. 1 3解：(1)因为cos 2C＝1－2sin 2 C＝－，且0 4 所以sin C＝ 10 . 4 ac1 ＝，得c＝4.由cos 2C＝2cos 2 C－1＝－，及0 sin Asin C4 (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理 6 得cos C＝±. 4 由余弦定理c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos C，得b 2 ±6b－12＝0，解得b＝6或26， b＝6， b＝26， 所以 或 c＝4 c＝4. 43 4 解：(1)因为cos B＝，所以sin B＝. 55 aba105 由正弦定理＝，可得＝，所以a＝. sin Asin Bsin 30°33 133 (2)因为△ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝，所以ac＝3，ac＝10. 2510 8 由余弦定理得b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B，得4＝a 2 ＋c 2 －ac＝a 2 ＋c 2 －16，即a 2 ＋c 2 ＝20. 5 所以( a ＋ c )－2 ac ＝20，( a ＋ c )＝40.所以 a ＋ c ＝210. 22 .
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三角形,正弦,定理
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