2022 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题与答案

2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

第Ⅰ卷

选择题（共60分）

A

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有1个正确答案．）

1．设集合

A



xx2n1,n

N



，

B



xx4n1,n

N



，则

B

（ ▲ ）

A．



xx4n1,nN



B．



xx4n2,nN



C．



xx4n3,nN



D．



2．已知复数

z

A．

z

2

z

13

 i

（其中

i

为虚数单位），

z

的共轭复数为

z

，则下列说法错误的是（ ▲ ）

．．

22

B．

(z)z

2

3

C．

z1

D．

(z)1

3

3．

C

地发生地震时，相距

d

km的

A,B

两地都能感受到，已知

C

地位于A地的正东方向上，

C

地位于B

地的东偏南

30

方向上，且

C

地距离

A,B

两地分别为

100

km和

200

km，则

d

的值是（ ▲ ）

A．

100523

B．

1003

C．

1007

D．

100523

4．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为

1,2,3

的卡片；

第二个盒子中有五张分别标号为

1,2,3,4,5

的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为

1,2,3,4,5,6,7

的卡

片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第

i

个盒子中取出的卡片的号码为

x

i

(i1,2,3)

，则

x

1

x

2

x

3

为奇数的概率是（ ▲ ）

2953571

A． B． C． D．

1051051052

202020222021202320222024

5．设

a

，，，则（ ▲ ）

bc

2021

2

2022

2

2023

2

A．

abc

B．

acb

C．

cab

D．

cba

6．已知

p:xy0

，

q:lg(x1x)lg(y1y)0

，则

p

是

q

的（ ▲ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知矩形

ABCD

中，

AB2

,

AD4

．

E

,

F

分别在边

AD

,

BC

上,且

AE1

,

BF3

．如图所示，

沿

EF

将四边形

AEFB

翻折成

A

1

EFB

1

，在翻折过程中，二面角

B

1

CDE

的大小为



，则

tan



的最

大值是（ ▲ ）

22

32

5

32

C．

4

A．

33

5

33

D．

4

B．

第7题图

8．已知点

P

是边长为

1

的正五边形

ABCDE

内(含边界)一点，则

PAPBPCPDPE

的最大值是

（ ▲ ）

A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

1

2cos36

B．

1

2sin36

C．

5

2cos36

D．

5

2sin36

第 1 页 共 4 页

9．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人．希望获得全体学生的身高信息(单位:cm)，按照

按比例分配的分层随机抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为170，方差

为17；女生身高样本均值为160，方差为30．下列说法中正确的是（ ▲ ）

A．男生的样本量为 30 B．每个女生被抽入到样本的概率均为

2

5

C．总样本的均值为 166 D．总样本的方差为46.2

10．已知定义在

R

上的函数

f(x)

满足：

xR

，

f(2x)f(x)

，

f(2x)f(x)

，且当

x(0,1]

时，

f(x)xsin

1

，则下列说法正确的是（ ▲ ）

x

B．

f(x)

是周期函数

D．

f(x)

在区间

(

A．

f(x)

是奇函数

C．

f(x)

的值域为

[1,1]

2021

2023

,)

内无零点

20222022

11．设

O

,

A

,

B

是平面上任意三点，定义向量的运算：

detOA,OBOA\'OB

，其中

OA\'

由向量

OA

以

点

O

为旋转中心逆时针旋转直角得到(若

OA

为零向量，规定

OA\'

也是零向量)．对平面向量

a,b,c

，

下列说法正确的是（ ▲ ）

A．

det(a,b)det(b,a)

B．对任意



R

,

det(a



b,b)det(a,b)

C．若

a,b

为不共线向量，满足

xaybc(x,yR)

，则

x

D．

deta,bcdetb,cadet



c,a



b0

12．设函数

f(x)



det



a,c



deta,b



,

y



det



a,b



detc,b



1x

xa

，则下列说法正确的是（ ▲ ）

A．若

a0

，则

f(x)

在

[0,1]

上单调递减 B．若

a(0,1)

，

f(x)

无最大值，也无最小值

C．若

a1

，则

f(x)≤

1

1x

D．若

a1

，则

f(x)

min

f()

1

a

第Ⅱ卷

非选择题（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在横线上．）

13．光线通过某种玻璃，强度损失

10%

．要使光线强度减弱为原来的

这样的玻璃．（参考数据：

lg20.3010

，

lg30.4771

．）

1

，至少要通过 ▲ 块

5

a

为实数，

z2

，则实数

a

的值是 ▲ ．

z

15．如图，在

ABC

中，

AC2,AB6,

BAC

的

内角平分线交

BC

于点

D

，过

C

作

CEAD

于点

E

，

14．已知虚数

z

满足

z

则

CEBE

CE

2

的值是 ▲ ．

第15题图

2

16．设

a,bR

．若当

|x|≤1

时，恒有

|(xa)b|≤1

，则

ab

的取值范围是 ▲ ．

第 2 页 共 4 页

四、解答题（本题共6大题，第17题10分，其余各题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算．）

17．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五

面体

ABCDEF

是一个“刍甍”，四边形

ABCD

为矩形，

EAD

与

FBC

都是正三角形，

AB4

,

ADEF2

．

（1）求证：

EF//

平面

ABCD

；

（2）求直线

CF

与平面

ABFE

所成角的正弦值．

18．袋中装有除颜色外完全相同的的

4

个球，其中有

3

个黑球和

1

个白球．现由甲、乙两人从袋中轮流取

球，取后不放回，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上

终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等．记事件

A

i



“第

i

次取到的球是白球”，

第17题图

i1,2,3,4

．试将下列事件用

A

1

,A

2

,

A

3

,A

4

表示，并求出相应事件的概率．

（1）取球

3

次即终止；

（2）最后一次取球的是乙．

19．已知函数

f(x)cosxsinxasin4xb

，且

f(x

（1）求

f(x)

的解析式；

（2）若方程

f(x)m0

在

[0,]

上有四个不同的实数解

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

,求

f(

44



)

为奇函数．

6

x

1

x

2

x

3

x

4

4

)

的值．

a

2

b

2



c

2

20．已知三角形

ABC

中，角

A,B,C

所对的边分别为

a,b,c

，且．

（



1）

tanAtanBtanC



（1）当

A,a1

，



2

时，求

c

的值；

4

（2）判断

ABC

的形状．

第 3 页 共 4 页

21．近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科．数字几何是传统几何和

计算机科学相结合的产物．数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度．规

定：多面体在顶点处的曲率等于

2



与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体

的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零．由此可知，多

面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：

正方体在每个顶点有

3

个面角，每个面角是

其总曲率为

4



．

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体．关于简单多面体有著名欧拉定理：设

简单多面体的顶点数为

D

，棱数为

L

，面数为

M

，则有：

DLM2

．利用此定理试证明：

简单多面体的总曲率是常数．

22．设函数

f(x)xe，x[0,)

．

（1）证明：存在唯一的函数

g:[0,)R

，使得

g(f(x))x

；

（2）求所有的非负实数

x

使得

f(x)g(x)

；

（3）

t(0,1)

，

（i）证明：关于

x

的方程

f(x)t

与

g(x)t

都有唯一实根；

（ii）记

x

1

，x

2

分别为方程

f(x)t

，

g(x)t

的实根，证明：

1

x1



2

，所以正方体在各顶点的曲率为

2



3



2





2

，故

x

1

e

2

．

x

2

第 4 页 共 4 页

2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案

2022.9

本卷满分150分，考试时间120分钟．所有答案答在答题纸上才有效.

第Ⅰ卷

选择题（共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有1个正确答案．）

1．设集合

Axx2n1,nN

，

Bxx4n1,nN

，则

ð

A

B

（▲）

A．

xx4n1,nN

【答案】C







B．

xx4n2,nN







C．

xx4n3,nN







D．



【解析】设集合

Cxx4n3,nN

，易见

ABC

，且

BC

，故

ð

A

BC

.

2．已知复数

z



（▲）

A．

z

2

z

【答案】D

2





1



3

i

（其中

i

为虚数单位），

z

的共轭复数为

z

，则下列说法错误的是

．．

2

B．

(z)z

2

C．

z1

3

D．

(z)1

3

13

izz

3

zz

1

，

【解析】

z

同理

z

22



2

13

izz

22



3

zz

1

3．

C

地发生地震时，相距

d

km的

A,B

两地都能感受到，已知

C

地位于A地的正东方向上，

且

C

地距离

A,B

两地分别为

100

km和

200

km，则

d

C

地位于B地的东偏南

30



方向上，

的值是（▲）

A．

100523

【答案】A

22

B．

1003

C．

1007



D．

100523

【解析】

d1002002100200cos30100523

4．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号

为

1,2,3

的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为

1,2,3,4,5

的卡片；第三个盒子中有七

张分别标号为

1,2,3,4,5,6,7

的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第

i

个盒

子中取出的卡片的号码为

x

i

(

i

1,2,3)

，则

x

1

x

2

x

3

为奇数的概率是（▲）

A．

29

105

B．

53

105

C．

57

105

D．

1

2

【答案】B

解析：简单的分类讨论即可得到答案.

P



2



3



4



2



2



3



1



3



3



1



2



453



3



5



7105

5．设

a



2020



20222021



20232022



2024

，，，则（▲）

b



c



2021

2

2022

2

2023

2

A．

abc

B．

acb

C．

cab

D．

cba

【答案】A

【解析】因函数

f

(

n

)



(

n



1)(

n



1)1





1



在

N

单调递增，

22

nn

故

f(2021)f(2022)f(2023)

，即

abc

.

6．已知

p:xy0

，

q:lg(x1x)lg(y1y)0

，则

A．充分不必要条件

C．充要条件

【答案】C

2

2

22

p

是

q

的（▲）

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】设

f(x)lg(x1x)

，

则

f(x)f(x)lg[(x1x)(x1x)]lg10

2

f(x)

为奇函数

易知

f(x)在[0,)

上单调递增，因此

f(x)在R

上单调递增

lg(x

2

1x)lg(y

2

1y)0

即

f(x)f(y)0f(x)f(y)xy

从而

xy0

.

7．已知矩形

ABCD

中，

AB2

,

AD4

．

E

,

F

分别在边

AD

,

BC

上,且

AE1

,

BF3

．如图所示，沿

EF

将四边形

AEFB

翻折成

A

1

EFB

1

，在翻折过程中，二

面角

B

1

CDE

的大小为



，则

tan



的最大值是（▲）

【答案】C

【解析】

如图,过

32

5

32

C．

4

A．

33

5

33

D．

4

B．

第

7

题图

B

作

BK

EF,垂足为

H

,直线

BK

交直线

CD

于

折知

得

K

,由翻

K

,过

B

1

作

BO

1

B

于是

BHEF,BHEF

,

1

故

EF

平面

BH

1

O

EFBO

1

,

BO

1



平面

ABCD

.

过

O

作

OSCD

,连接

是二面角

BS

1

,则由三垂线定理知

BSBSO

1

CD

,于是



1

B

1

O

.设

OHx

,计算得

OS

就

BDE

1

C

的平面角,故

tan





tan



B

1

SO



BHB

1

H

因此

325252

,

BK

42,

OKx

,

OSx

,

B

1

O

2222

B

1

O

29



2

x

2

.

tan





OS

52



2

x

9

2

x

,

2

令

52

2xt

,则

2

tan





t

52



2

x

29



2

x

2

1

2

9



452



32



16



52

t



t



2









