2022年内蒙古通辽市中考数学试卷(解析版)

2024年4月7日发(作者：数学试卷手写卷子怎么写)

2022年内蒙古通辽市中考数学试卷

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请

在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）

1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）

A．﹣ B．3 C． D．﹣3

2．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届

冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）

A． B．

C． D．

3．（3分）节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万

用科学记数法表示为（ ）

A．0.12×10

6

B．1.2×10

7

C．1.2×10

5

D．1.2×10

6

4．（3分）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）

A．4 B．6 C．7 D．5

5．（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其

中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不

足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每

人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，

下面所列方程组正确的是（ ）

A．

C．

B．

D．

6．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，

当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）

第1页（共34页）

A．55° B．70° C．60° D．35°

7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）

2

+1的图象向左平移1个单位长

度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）

A．y＝（x﹣2）

2

﹣1 B．y＝（x﹣2）

2

+3 C．y＝x

2

+1 D．y＝x

2

﹣1

8．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为

直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）

A． B．

＝

C． D．

9．（3分）若关于x的分式方程：2﹣

A．k＜2

10．（3分）下列命题：

①（m•n

2

）

3

＝m

3

n

5

②数据1，3，3，5的方差为2

③因式分解x

3

﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）

④平分弦的直径垂直于弦

⑤若使代数式

B．k＜2且k≠0

的解为正数，则k的取值范围为（ ）

C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0

在实数范围内有意义，则x≥1

其中假命题的个数是（ ）

A．1 B．3 C．2 D．4

11．（3分）如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部

分的概率是（ ）

第2页（共34页）

A． B．1﹣ C． D．1﹣

，12．（3分）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝

∠BDC＝120°，S

△

BCD

＝

则k的值是（ ）

，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，

A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的

横线上）

13．（3分）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为 ．

14．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数 °．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝ ．

第3页（共34页）

16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB

上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 ．

17．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB＝2，BC＝3，点P从B

点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP＝∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P

的运动路径长为 ．

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡

上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18．（5分）计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）

1

．

﹣

19．（6分）先化简，再求值：（a﹣）÷

一个合适的数求值．

，请从不等式组的整数解中选择

20．（7分）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”

和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内：

（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率 ；

（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列

表法表示）

21．（6分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数

第4页（共34页）

点后一位，≈1.7）．

22．（5分）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目B：篮球；项

目C：跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选

修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统

计图．

（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度

数是 °；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．

23．（8分）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专

卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．

第5页（共34页）

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y

甲

元，去乙商店购买实付y

乙

元，其函数图象如图所示．

（1）分别求y

甲

，y

乙

关于x的函数关系式；

（2）两图象交于点A，求点A坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

24．（10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边

AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．

（1）求证：CD是圆的切线；

（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．

25．（10分）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公

共点A．

（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求的值为多少；

的值为（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求

多少；

（3）AB＝8，AG＝AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），

当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．

第6页（共34页）

26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x

2

+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线

BC方程为y＝x﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上一点，若S

△

PBC

＝S

△

ABC

，请直接写出点P的坐标；

（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

第7页（共34页）

2022年内蒙古通辽市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请

在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）

1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）

A．﹣ B．3 C． D．﹣3

【分析】应用绝对值的计算方法进行计算即可得出答案．

【解答】解：|﹣3|＝3．

故选：B．

【点评】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的计算方法进行求解是解决本题的关

键．

2．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届

冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

所以是轴对称图形，

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

第8页（共34页）

折叠后可重合．

3．（3分）节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万

用科学记数法表示为（ ）

A．0.12×10

6

B．1.2×10

7

C．1.2×10

5

D．1.2×10

6

【分析】科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：120万用科学记数法表示为：1.2×10

6

．

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）

A．4 B．6 C．7 D．5

【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再

用外角和360°除以72°，计算即可得解；

方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解

即可．

【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，

∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，

∴边数＝360°÷72°＝5，

方法二：设多边形的边数为n，

由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，

解得n＝5，

所以，这个多边形的边数为5．

故选：D．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每

一个外角的度数求边数更简便，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

5．（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其

中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不

足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每

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人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，

下面所列方程组正确的是（ ）

A．

C．

B．

D．

【分析】根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y

的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：依题意得：

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，

正确列出二元一次方程组是解题的关键．

6．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，

当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）

．

A．55° B．70° C．60° D．35°

【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．

【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，

∴∠OBC＝35°，

∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，

∵CD∥AB，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，

∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，

∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，

第10页（共34页）

故选：A．

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）

2

+1的图象向左平移1个单位长

度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）

A．y＝（x﹣2）

2

﹣1 B．y＝（x﹣2）

2

+3

【分析】根据图象的平移规律，可得答案．

【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）

2

+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2

个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）

2

+1﹣2，即y＝x

2

﹣1．

故选：D．

【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并

用规律求函数解析式．

8．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为

直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）

C．y＝x

2

+1 D．y＝x

2

﹣1

A． B． C． D．

【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．

【解答】解：∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

又∵点A，B，C都在格点上，

∴∠ADC＝∠ABC，

在Rt△ABC中，

cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，

故选：B．

【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角

形的边角关系是正确解答的前提．

第11页（共34页）

9．（3分）若关于x的分式方程：2﹣

A．k＜2 B．k＜2且k≠0

＝的解为正数，则k的取值范围为（ ）

C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0

【分析】先解分式方程可得x＝2﹣k，再由题意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，从而求出k的

取值范围．

【解答】解：2﹣＝，

2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，

2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，

2x＝4﹣2k，

x＝2﹣k，

∵方程的解为正数，

∴2﹣k＞0，

∴k＜2，

∵x≠2，

∴2﹣k≠2，

∴k≠0，

∴k＜2且k≠0，

故选：B．

【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程得到解法，注意对方程增根的讨论

是解题的关键．

10．（3分）下列命题：

①（m•n

2

）

3

＝m

3

n

5

②数据1，3，3，5的方差为2

③因式分解x

3

﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）

④平分弦的直径垂直于弦

⑤若使代数式在实数范围内有意义，则x≥1

其中假命题的个数是（ ）

A．1 B．3 C．2 D．4

【分析】利用幂的运算性质、方差的计算公式、因式分解的方法、垂径定理及二次根式

有意义的条件分别判断后即可确定正确的选项．

第12页（共34页）

【解答】解：①（m•n

2

）

3

＝m

3

n

6

，故原命题错误，是假命题，符合题意；

②数据1，3，3，5的方差为2，故原命题正确，是真命题，不符合题意；

③因式分解x

3

﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），正确，是真命题，不符合题意；

④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，符合题意；

⑤若使代数式

假命题有2个，

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解幂的运算性质、方差的计算

公式、因式分解的方法、垂径定理及二次根式有意义的条件等知识，难度不大．

11．（3分）如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部

分的概率是（ ）

在实数范围内有意义，则x≥1，正确，是真命题，不符合题意，

A． B．1﹣ C． D．1﹣

【分析】直接表示出各部分面积，进而得出落在阴影部分的概率．

【解答】解：设圆的半径为a，则圆的面积为：πa

2

，正方形面积为：4a

2

，

故随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率为：

故选：B．

【点评】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．

12．（3分）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝

∠BDC＝120°，S

△

BCD

＝

则k的值是（ ）

，

．

，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，

第13页（共34页）

A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12

【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE＝

，根据S

△

BCD

＝

则D（m+9，4

，求得CF＝9，得到点D的纵坐标为4，设C（m，），

），由反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，从而求出m，

进而可得k的值．

【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，

∵四边形OABC为平行四边形，

∴AB∥OC，AB＝OC，

∴∠COE＝∠ABD，

∵BD与y轴平行，

∴∠ADB＝90°，

在△COE和△ABD中，

，

∴△COE≌△ABD（AAS），

∴OE＝BD＝，

， ∵S

△

BDC

＝BD•CF＝

∴CF＝9，

∵∠BDC＝120°，

∴∠CDF＝60°，

∴DF＝3，

， 点D的纵坐标为4

设C（m，），则D（m+9，4），

第14页（共34页）

∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，

∴k＝m＝4（m+9），

∴m＝﹣12，

∴k＝﹣12

故选：C．

，

【点评】本题主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特

征是解题的关键．

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的

横线上）

13．（3分）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为 5 ．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算

即可得解．

【解答】解：

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，

∴AB＝

故答案为：5

【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱

形的各种性质是解题的关键．

第15页（共34页）

＝5

14．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠α的度数 60 °．

【分析】先根据矩形的性质得出AB∥DC，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义

求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠BEF的度数，根据三角形内

角和定理得出∠BFE的度数，进而可得出结论．

【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠ABD＝∠CDB＝60°．

由作法可知，BF是∠ABD的平分线，

∴∠EBF＝∠ABD＝30°．

由作法可知，EF是线段BD的垂直平分线，

∴∠BEF＝90°，

∴∠BFE＝90°﹣30°＝60°，

∴∠α＝60°．

故答案为：60．

第16页（共34页）

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答

此题的关键．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝

﹣1 ．

【分析】用含有AB的代数式表示AD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AB＝AE，

设AB＝a，则AE＝a，BE＝

∴AD＝AE+DE＝（+1）a，

＝＝﹣1，

＝a＝ED，

在Rt△ABD中，tan∠BDE＝

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的

边角关系和等腰三角形的性质是正确解答的前提．

16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB

上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 ，9或3 ．

【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线

段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于

第17页（共34页）