2024年4月7日发(作者：数学试卷时钟怎么画)
2021
年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（共
10
小题，每小题
3
分，共
30
分）
.
1
．
|
﹣
2|
的倒数是（ ）
A
．
2
B
．
C
．﹣
2
D
．﹣
2
．下列计算正确的是（ ）
A
．
x
2
+x
3
＝
x
5
C
．
x
3
•
x
4
＝
x
7
B
．
2x
3
﹣
x
3
＝
1
D
．（﹣
2xy
2
）
3
＝﹣
6x
3
y
6
3
．为迎接中国共产党建党一百周年，某班
50
名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如
下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩
/
分
人数
91
■
92
■
93
1
94
2
95
3
96
5
97
6
98
8
99
10
100
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A
．平均数，方差
C
．中位数，众数
B
．中位数，方差
D
．平均数，众数
4
．关于
x
的一元二次方程
x
2
﹣（
k
﹣
3
）
x
﹣
k+1
＝
0
的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A
．有两个不相等的实数根
C
．无实数根
B
．有两个相等的实数根
D
．无法确定
5
．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体
的小立方体的个数不可能是（ ）
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
6
．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从
2018
年到
2020
年，我国
快递业务量由
507
亿件增加到
833.6
亿件，设我国从
2018
年到
2020
年快递业务量的年平
均增长率为
x
，则可列方程为（ ）
A
．
507
（
1+2x
）＝
833.6
B
．
507
×
2
（
1+x
）＝
833.6
C
．
507
（
1+x
）
2
＝
833.6
D
．
507+507
（
1+x
）
+507
（
1+x
）
2
＝
833.6
7
．
如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A
．∠
BDE
＝∠
BAC
B
．∠
BAD
＝∠
B
C
．
DE
＝
DC
D
．
AE
＝
AC
8
．定义：一次函数
y
＝
ax+b
的特征数为
[a
，
b]
，若一次函数
y
＝﹣
2x+m
的图象向上平移
3
个单位长度后与反比例函数
y
＝﹣的图象交于
A
，
B
两点，且点
A
，
B
关于原点对称，
则一次函数
y
＝﹣
2x+m
的特征数是（ ）
A
．
[2
，
3]
B
．
[2
，﹣
3]
C
．
[
﹣
2
，
3]
D
．
[
﹣
2
，﹣
3]
9
．如图，已知
AD
∥
BC
，
AB
⊥
BC
，
AB
＝
3
，点
E
为射线
BC
上一个动点，连接
AE
，将△
ABE
沿
AE
折叠，点
B
落在点
B
′处，过点
B
′作
AD
的垂线，分别交
AD
，
BC
于
M
，
N
两点，当
B
′为线段
MN
的三等分点时，
BE
的长为（ ）
A
．
B
．
C
．或
D
．或
10
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
4
，
BC
＝
3
，动点
P
，
Q
同时从点
A
出发，点
P
沿
A
→
B
→
C
的路径运动，点
Q
沿
A
→
D
→
C
的路径运动，点
P
，
Q
的运动速度相同，当点
P
到达
点
C
时，点
Q
也随之停止运动，连接
PQ
．设点
P
的运动路程为
x
，
PQ
2
为
y
，则
y
关于
x
的函数图象大致是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题（本题包括
7
道小题，每小题
3
分，共
21
分。将答案直接填在答题卡对应题的
横线上）
11
．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为
0.00000012
米，数据
0.00000012
用科学
记数法表示为
．
12
．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关
S
1
，
S
2
，
S
3
中的两个，能
让两个小灯泡同时发光的概率是
．
13
．一副三角板如图所示摆放，且
AB
∥
CD
，则∠
1
的度数为
．
14
．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比
竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长
5
尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短
5
尺．设绳
索长
x
尺，竿长
y
尺，则可列方程组为
．
15
．若关于
x
的不等式组
16
．如图，
AB
是⊙
O
的弦，
AB
＝
2
，有且只有
2
个整数解，则
a
的取值范围是
．
，点
C
是⊙
O
上的一个动点，且∠
ACB
＝
60
°，若点
M
，
N
分别是
AB
，
BC
的中点，则图中阴影部分面积的最大值是
．
17
．如图，△
OA
1
B
1
，△
A
1
A
2
B
2
，△
A
2
A
3
B
3
，…，△
A
n
﹣
1
A
n
B
n
都是斜边在
x
轴上的等腰直角
三角形，点
A
1
，
A
2
，
A
3
，…，
A
n
都在
x
轴上，点
B
1
，
B
2
，
B
3
，…，
B
n
都在反比例函数
y
＝（
x
＞
0
）的图象上，则点
B
n
的坐标为
．（用含有正整数
n
的式子表示）
三、解答题（本题包括
9
道小题，共
69
分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡
上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18
．计算：（）
﹣
1
+
（π﹣
3
）
0
﹣
2cos30
°
+|3
﹣
19
．先化简，再求值：（
+x
﹣
1
）÷
|
．
，其中
x
满足
x
2
﹣
x
﹣
2
＝
0
．
20
．如图，甲、乙两个转盘均被分成
3
个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，
同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止
后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为
x
，
y
．请用树状图或列表法求点（
x
，
y
）
落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
21
．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边
B
处测得对岸边
A
处一棵大树位于北偏东
60
°方向，他以
1.5m/s
的速度沿着河岸向东步行
40s
后到达
C
处，此时测得大树位于北偏东
45
°方向，试计算此段河面的宽度（结果取
整数，参考数据：≈
1.732
）
22
．暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生
的成绩（得分取整数，满分为
100
分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图
和频数分布直方图．
其中
A
组的频数
a
比
B
组的频数
b
小
15
．请根据以上信息，解答下列问题：
（
1
）本次共抽取
名学生，
a
的值为
；
（
2
）在扇形统计图中，
n
＝
，
E
组所占比例为
%
；
（
3
）补全频数分布直方图；
（
4
）若全校共有
1500
名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在
80
分以上的学生人
数．
23
．为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液
的零售价比乙种消毒液的零售价多
6
元，该单位以零售价分别用
900
元和
720
元采购了
相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（
1
）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（
2
）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共
300
桶，且甲种消毒液
的桶数不少于乙种消毒液桶数的．由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了
20
元
/
桶、
15
元
/
桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额
是多少元？
24
．如图，
AB
是⊙
O
的直径，过点
A
作⊙
O
的切线
AC
，点
P
是射线
AC
上的动点，连接
OP
，过点
B
作
BD
∥
OP
，交⊙
O
于点
D
，连接
PD
．
（
1
）求证：
PD
是⊙
O
的切线；
（
2
）当四边形
POBD
是平行四边形时，求∠
APO
的度数．
25
．已知△
AOB
和△
MON
都是等腰直角三角形（
90
°．
（
1
）如图
1
，连接
AM
，
BN
，求证：
AM
＝
BN
；
（
2
）将△
MON
绕点
O
顺时针旋转．
OA
＜
OM
＜
OA
），∠
AOB
＝∠
MON
＝
①如图
2
，当点
M
恰好在
AB
边上时，求证：
AM
2
+BM
2
＝
2OM
2
；
②当点
A
，
M
，
N
在同一条直线上时，若
OA
＝
4
，
OM
＝
3
，请直接写出线段
AM
的长．
26
．如图，抛物线
y
＝
ax
2
+bx+3
交
x
轴于
A
（
3
，
0
），
B
（﹣
1
，
0
）两点，交
y
轴于点
C
，
动点
P
在抛物线的对称轴上．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）当以
P
，
B
，
C
为顶点的三角形周长最小时，求点
P
的坐标及△
PBC
的周长；
（
3
）若点
Q
是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点
Q
，使得以
A
，
C
，
P
，
Q
为
顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点
Q
的坐标；若不存在，请
说明理由．
参考答案
一、选择题（共
10
小题，每小题
3
分，共
30
分）
.
1
．
|
﹣
2|
的倒数是（ ）
A
．
2
B
．
C
．﹣
2
D
．﹣
解：
|
﹣
2|
的倒数是，
故选：
B
．
2
．下列计算正确的是（ ）
A
．
x
2
+x
3
＝
x
5
C
．
x
3
•
x
4
＝
x
7
B
．
2x
3
﹣
x
3
＝
1
D
．（﹣
2xy
2
）
3
＝﹣
6x
3
y
6
解：
A
．
x
2
+x
3
，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.2x
3
﹣
x
3
＝
x
3
，故本选项不合题意；
C
．
x
3
•
x
4
＝
x
7
，故本选项符合题意；
D
．（﹣
2xy
2
）
3
＝﹣
8x
3
y
6
，故本选项不合题意；
故选：
C
．
3
．为迎接中国共产党建党一百周年，某班
50
名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如
下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩
/
分
人数
91
■
92
■
93
1
94
2
95
3
96
5
97
6
98
8
99
10
100
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A
．平均数，方差
C
．中位数，众数
B
．中位数，方差
D
．平均数，众数
92
分的人数为
50
﹣
解：由表格数据可知，成绩为
24
分、（
12+10+8+6+5+3+2+1
）＝
3
（人），
成绩为
100
分的，出现次数最多，因此成绩的众数是
100
，
成绩从小到大排列后处在第
25
、
26
位的两个数都是
98
分，因此中位数是
98
，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：
C
．
4
．关于
x
的一元二次方程
x
2
﹣（
k
﹣
3
）
x
﹣
k+1
＝
0
的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A
．有两个不相等的实数根
C
．无实数根
解：△＝
[
﹣（
k
﹣
3
）
]
2
﹣
4
（﹣
k+1
）
＝
k
2
﹣
6k+9
﹣
4+4k
＝
k
2
﹣
2k+5
＝（
k
﹣
1
）
2
+4
，
∵（
k
﹣
1
）
2
≥
0
，
∴（
k
﹣
1
）
2
+4
＞
0
，即△＞
0
，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：
A
．
B
．有两个相等的实数根
D
．无法确定
5
．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体
的小立方体的个数不可能是（ ）
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有
1
（只有一边有）或
2
（左右都有）个，第
二行的正方体可能有
2
（左边有）或
3
（左右都有）个，
∵
1+2
＝
3
，
1+3
＝
4
，
2+2
＝
4
，
2+3
＝
5
，
∴不可能有
6
个．
故选：
D
．
6
．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从
2018
年到
2020
年，我国
快递业务量由
507
亿件增加到
833.6
亿件，设我国从
2018
年到
2020
年快递业务量的年平
均增长率为
x
，则可列方程为（ ）
A
．
507
（
1+2x
）＝
833.6
B
．
507
×
2
（
1+x
）＝
833.6
C
．
507
（
1+x
）
2
＝
833.6
D
．
507+507
（
1+x
）
+507
（
1+x
）
2
＝
833.6
解：设我国
2018
年至
2020
年快递业务收入的年平均增长率为
x
，
由题意得：
507
（
1+x
）
2
＝
833.6
，
故选：
C
．
7
．
如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A
．∠
BDE
＝∠
BAC
B
．∠
BAD
＝∠
B
C
．
DE
＝
DC
D
．
AE
＝
AC
解：根据尺规作图的痕迹可得，
DE
⊥
AB
，
AD
是∠
BAC
的平分线，
∵∠
C
＝
90
°，
∴
DE
＝
DC
，∠
B+
∠
BDE
＝∠
B+
∠
BAC
＝
90
°，
∴∠
BDE
＝∠
BAC
，
在
Rt
△
AED
和
Rt
△
ACD
中，
，
∴
Rt
△
AED
≌
Rt
△
ACD
（
HL
），
∴
AE
＝
AC
，
∵
DE
不是
AB
的垂直平分线，故不能证明∠
BAD
＝∠
B
，
综上所述：
A
，
C
，
D
不符合题意，
B
符合题意，
故选：
B
．
8
．定义：一次函数
y
＝
ax+b
的特征数为
[a
，
b]
，若一次函数
y
＝﹣
2x+m
的图象向上平移
3
个单位长度后与反比例函数
y
＝﹣的图象交于
A
，
B
两点，且点
A
，
B
关于原点对称，
则一次函数
y
＝﹣
2x+m
的特征数是（ ）
A
．
[2
，
3]
B
．
[2
，﹣
3]
C
．
[
﹣
2
，
3]
D
．
[
﹣
2
，﹣
3]
解：将一次函数
y
＝﹣
2x+m
向上平移
3
个单位长度后得到
y
＝﹣
2x+m+3
，
设
A
（
x
1
，
0
），
B
（
x
2
，
0
），
联立，
∴
2x
2
﹣（
m+3
）
x
﹣
3
＝
0
，
∵
x
1
和
x
2
是方程的两根，
∴，
又∵
A
，
B
两点关于原点对称，
∴
x
1
+x
2
＝
0
，
∴，
∴
m
＝﹣
3
，
根据定义，一次函数
y
＝﹣
2x+m
的特征数是
[
﹣
2
，﹣
3]
，
故选：
D
．
9
．如图，已知
AD
∥
BC
，
AB
⊥
BC
，
AB
＝
3
，点
E
为射线
BC
上一个动点，连接
AE
，将△
ABE
沿
AE
折叠，点
B
落在点
B
′处，过点
B
′作
AD
的垂线，分别交
AD
，
BC
于
M
，
N
两点，当
B
′为线段
MN
的三等分点时，
BE
的长为（ ）
A
．
B
．
C
．或
D
．或
解：①当
MB\'
＝
MN
时，如图：
Rt
△
AMB\'
中，
AB\'
＝
AB
＝
3
，
MB\'
＝
AB
＝
1
，
∴
AM
＝＝
2
，
∵
AD
∥
BC
，
AB
⊥
BC
，
MN
⊥
AD
，
∴四边形
ABNM
是矩形，
∴
BN
＝
AM
＝
2
，
MN
＝
AB
＝
3
，
﹣
x
，
设
BE
＝
x
，则
B\'E
＝
x
，
EN
＝
2
Rt
△
B\'EN
中，
B\'N
＝
MN
﹣
MB\'
＝
2
，
EN
2
+B\'N
2
＝
B\'E
2
，
∴（
2
解得
x
＝
∴
BE
的长为
﹣
x
）
2
+2
2
＝
x
2
，
，
；
②当
NB\'
＝
MN
时，如图：
∵
NB\'
＝
MN
＝
1
，
∴
MB\'
＝
2
，
设
BE
＝
y
，
同①可得
y
＝
∴
BE
的长为
，
，
或．
综上所述，
BE
的长为
故选：
D
．
10
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
4
，
BC
＝
3
，动点
P
，
Q
同时从点
A
出发，点
P
沿
A
→
B
→
C
的路径运动，点
Q
沿
A
→
D
→
C
的路径运动，点
P
，
Q
的运动速度相同，当点
P
到达
点
C
时，点
Q
也随之停止运动，连接
PQ
．设点
P
的运动路程为
x
，
PQ
2
为
y
，则
y
关于
x
的函数图象大致是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：在
Rt
△
APQ
中，∠
QAP
＝
90
°，
AP
＝
AQ
＝
x
，
∴
PQ
2
＝
2x
2
．
当
0
≤
x
≤
3
时，
AP
＝
AQ
＝
x
，
∴
y
＝
PQ
2
＝
2x
2
；
当
3
≤
x
≤
4
时，
DP
＝
x
﹣
3
，
AP
＝
x
，
∴
y
＝
PQ
2
＝
3
2
+3
2
＝
18
；
当
4
≤
x
≤
7
时，
CP
＝
7
﹣
x
，
CQ
＝
7
﹣
x
，
∴
y
＝
PQ
2
＝
CP
2
+CQ
2
＝
2x
2
﹣
28x+98
．
故选：
C
．
二、填空题（本题包括
7
道小题，每小题
3
分，共
21
分。将答案直接填在答题卡对应题的
横线上）
11
．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为
0.00000012
米，数据
0.00000012
用科学
记数法表示为
1.2
×
10
﹣
7
．
解：
0.00000012
＝
1.2
×
10
﹣
7
．
故答案为：
1.2
×
10
﹣
7
．
12
．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关
S
1
，
S
2
，
S
3
中的两个，能
让两个小灯泡同时发光的概率是
．
解：把开关
S
1
，
S
2
，
S
3
分别记为
A
、
B
、
C
，
画树状图如图：
共有
6
种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有
2
种，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故答案为：．
13
．一副三角板如图所示摆放，且
AB
∥
CD
，则∠
1
的度数为
75
° ．
解：如图，∠
A
＝
45
°，∠
C
＝
30
°，
∵
AB
∥
CD
，
∴∠
2
＝∠
C
＝
30
°，
∴∠
1
＝∠
2+
∠
A
＝
30
°
+45
°＝
75
°，
故答案为：
75
°．
14
．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比
竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长
5
尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短
5
尺．设绳
索长
x
尺，竿长
y
尺，则可列方程组为
解：设绳索长
x
尺，竿长
y
尺，
．
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