内蒙古通辽市2021年中考[数学]考试真题与答案解析

2024年4月7日发(作者：龙湖高三数学试卷)

内蒙古通辽市2021年中考[数学]考试真题与答案解析

一、选择题

1．|﹣2|的倒数是（　　）

A．2B．C．﹣2D．﹣

答案解析：|﹣2|的倒数是，

故选：B．

2．下列计算正确的是（　　）

A．x

2

+x

3

＝x

5

C．x

3

•x

4

＝x

7

B．2x

3

﹣x

3

＝1

D．（﹣2xy

2

）

3

＝﹣6x

3

y

6

答案解析：A．x

2

+x

3

，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；

B.2x

3

﹣x

3

＝x

3

，故本选项不合题意；

C．x

3

•x

4

＝x

7

，故本选项符合题意；

D．（﹣2xy

2

）

3

＝﹣8x

3

y

6

，故本选项不合题意；

故选：C．

3．为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试

成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．

成绩/分

人数

91

■

92

■

93

1

94

2

95

3

96

5

97

6

98

8

99

10

100

12

下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）

A．平均数，方差

C．中位数，众数

B．中位数，方差

D．平均数，众数

答案解析：由表格数据可知，成绩为24分、92分的人数为50﹣

（12+10+8+6+5+3+2+1）＝3（人），

成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，

成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，

因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，

故选：C．

4．关于x的一元二次方程x

2

﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确

的是（　　）

A．有两个不相等的实数根

C．无实数根

B．有两个相等的实数根

D．无法确定

答案解析：△＝[﹣（k﹣3）]

2

﹣4（﹣k+1）

＝k

2

﹣6k+9﹣4+4k

＝k

2

﹣2k+5

＝（k﹣1）

2

+4，

∵（k﹣1）

2

≥0，

∴（k﹣1）

2

+4＞0，即△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根．

故选：A．

5．如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成

这个几何体的小立方体的个数不可能是（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案解析：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左

右都有）个，第二行的正方体可能有2（左边有）或3（左右都有）个，

∵1+2＝3，1+3＝4，2+2＝4，2+3＝5，

∴不可能有6个．

故选：D．

6．随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020

年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020

年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．507（1+2x）＝833.6

B．507×2（1+x）＝833.6

C．507（1+x）

2

＝833.6

D．507+507（1+x）+507（1+x）

2

＝833.6

答案解析：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，

由题意得：507（1+x）

2

＝833.6，

故选：C．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结

论错误的是（　　）

A．∠BDE＝∠BACB．∠BAD＝∠BC．DE＝DCD．AE＝AC

答案解析：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，

∵∠C＝90°，

∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，

∴∠BDE＝∠BAC，

在Rt△AED和Rt△ACD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），

∴AE＝AC，

∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，

综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，

故选：B．

8．定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图

象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，

B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（　　）

A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]

答案解析：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣2x+m+3，

设A（x

1

，0），B（x

2

，0），

联立，

∴2x

2

﹣（m+3）x﹣3＝0，

∵x

1

和x

2

是方程的两根，

∴，

又∵A，B两点关于原点对称，

∴x

1

+x

2

＝0，

∴，∴m＝﹣3，

根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，﹣3]，

故选：D．

9．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接

AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交

AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE的长为（　　）

A．B．C．或D．或

答案解析：①当MB\'＝MN时，如图：

Rt△AMB\'中，AB\'＝AB＝3，MB\'＝AB＝1，

∴AM＝＝2，

∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，

∴四边形ABNM是矩形，

∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，

﹣x，设BE＝x，则B\'E＝x，EN＝2

Rt△B\'EN中，B\'N＝MN﹣MB\'＝2，EN

2

+B\'N

2

＝B\'E

2

，

∴（2﹣x）

2

+2

2

＝x

2

，

，

；

解得x＝

∴BE的长为

②当NB\'＝MN时，如图：

∵NB\'＝MN＝1，

∴MB\'＝2，

设BE＝y，

同①可得y＝

∴BE的长为

，

，

或．综上所述，BE的长为

故选：D．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，

点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动

速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运

动路程为x，PQ

2

为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

答案解析：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，

∴PQ

2

＝2x

2

．

当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，∴y＝PQ

2

＝2x

2

；

当3≤x≤4时，DP＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ

2

＝3

2

+3

2

＝18；

当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，

∴y＝PQ

2

＝CP

2

+CQ

2

＝2x

2

﹣28x+98．故选：C．

二、填空题

本题包括7道小题，每小题3分，共21分。将答案直接填在答题卡对应题的横

线上。

11．冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据

0.00000012用科学记数法表示为 　1.2×10

﹣7

　．

答案解析：0.00000012＝1.2×10

﹣7

．故答案为：1.2×10

﹣7

．

12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S

1

，S

2

，S

3

中

的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 　　．

答案解析：把开关S

1

，S

2

，S

3

分别记为A、B、C，

画树状图如图：

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，

∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，故答案为：．

13．一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为 　75°　．

答案解析：如图，∠A＝45°，∠C＝30°，

∵AB∥CD，

∴∠2＝∠C＝30°，∴∠1＝∠2+∠A＝30°+45°＝75°，故答案为：75

°．

14．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一

条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有

一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去

量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则可列方程组为 　

　．

答案解析：设绳索长x尺，竿长y尺，

依题意得：．故答案为：．

15．若关于x的不等式组

1＜a≤1　．

，有且只有2个整数解，则a的取值范围是 　﹣

答案解析：解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，

解不等式2x﹣a＜5，得：x＜

∵不等式组只有2个整数解，

∴2＜≤3，

，

解得﹣1＜a≤1，

故答案为：﹣1＜a≤1．

16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝

60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 　

﹣　．

答案解析：连接OA、OB、OM，如图，

∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∵AM＝BM＝AB＝

∴OM＝×＝1，

，∴OM⊥AB，∴tan30°＝，

∴OA＝2OM＝2，

∵点M、N分别是AB、BC的中点，

∴MN∥AC，MN＝AC，

∴△MBN∽△ABC，

∴＝（）

2

＝，

∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，

∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，

∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，

∴△MBN的面积最大值为：

∵S

弓形

＝S

扇形OAB

﹣S

△AOB

＝

∴此时，S

阴影

＝﹣+＝

，

﹣

﹣

＝

，故答案为：

﹣

﹣

，

．

17．如图，△OA

1

B

1

，△A

1

A

2

B

2

，△A

2

A

3

B

3

，…，△A

n﹣1

A

n

B

n

都是斜边在x轴

上的等腰直角三角形，点A

1

，A

2

，A

3

，…，A

n

都在x轴上，点B

1

，B

2

，

B

3

，…，B

n

都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B

n

的坐标为 　

（+，﹣+）　．（用含有正整数n的式子表示）

答案解析：过B

1

作B

1

M

1

⊥x轴于M

1

，

易知M

1

（1，0）是OA

1

的中点，

∴A

1

（2，0）．

可得B

1

的坐标为（1，1），

∴B

1

O的解析式为：y＝x，

∵P

1

O∥A

1

P

2

，

∴A

1

B

2

的表达式一次项系数相等，

将A

1

（2，0）代入y＝x+b，

∴b＝﹣2，

∴A

1

B

2

的表达式是y＝x﹣2，

与y＝（x＞0）联立，解得B

2

（1+，﹣1+）．

仿上，A

2

（2

B

3

（+，﹣

，0）．

+），

+

+

，﹣+），依此类推，点B

n

的坐标为（

故答案为（

三、解答题

+，﹣）．

本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上

写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤。

18．计算：（）

﹣1

+（π﹣3）

0

﹣2cos30°+|3﹣

答案解析：原式＝2+1﹣2×

19．先化简，再求值：（

答案解析：原式＝

＝•

•

+2＝﹣＝

|．

．

+x﹣1）÷，其中x满足x

2

﹣x﹣2＝0．

＝x（x+1）

＝x

2

+x，

解方程x

2

﹣x﹣2＝0，得x

1

＝2，x

2

＝﹣1，

∵x+1≠0，

∴x≠﹣1，当x＝2时，

原式＝2

2

+2＝6．

20．如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相

应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转

盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x，y．请用树

状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．