r·rc离散数学

2024年3月10日发(作者：徐州2020高考数学试卷)

r·rc离散数学

自反

定义3-6.1 ： 设R为定义在集合X上的二元关系，如果对于每一个 则称二元关系R

是自反的。

例如，在实数集合上， ，因为对于任意的实数， 成立；

又如平面上的全等？三角形是自反的

对称

定义3-6.2 : 设R为定义在集合上的二元关系，如果对于任意的 ,有 可以找到一个y，

推出 ，则成集合X上，关系R是对称的。

因为对于xRy来说，其中的y应该是任何一个在X中的元素都可以充当的，若说 ,则

表达成为了“对于任何一个在X中的x，只能有部分的X中的元素（y），可以满足” “这

个条件。

于是这样就人为地减少了y的可能性，而对称应该是对于X中全体元素而言的。

这样，有些集合上的关系，即使自反的，又是对称的。

但是其中，自反和对称也有些许不同：

如果自反，说明，对任意的元素，R满足”交换律”，而因为是自身对自身的关系（xRx），

缺少了 对称中y的任意性

对称是满足自反条件的么？

如果说 R是对称关系，那么由于x，y的任意选取，势必会涉及到x=y的情况，如果

满足了这种情况的话,对称的前件是xRy，那是否可以说明就存在xRx了呢？

即对称关系都满足自反，但是自反不一定能推出对称

另外，对称说“每当xRy”，那么xRy是一定成立的么？

传递

定义3-6.3：设R定义在X上的二元关系，对于 ，每当 xRy , yRz时，就有xRz

值得一提的是，要事先成立 xRy,yRz 才可以

Ex: ,祖先关系

反自反

定义3-6.4： R为定义在X上的二元关系，若对于每一个X中的元素x来说，都存在 ,

那么我们说，R为反自反的

换言之，要求X中的元素，全部 不自反，才是反自反。 不可以存在有一部分的 自反

自反 和 反自反 是分属于两个极端情况的，中间还有 “部分自反，部分不自反”的

情况。

一个“不是自反”的关系，“不一定“就是”反自反“；一个不是 反自反 的关系，

也同样不一定就是自反。

反对称

定义3-6.5：R为定义在X上的二元关系，若对于 ,那么一定有x=y

序偶属于反对称么

换言之，若对于 反对称和对称有包含关系，因为所谓“全等”，既是对称，又是反对

称，因为我们承认了一个元素的唯一性。 所以在这种 “全等”情况下， 我们成它既是对

称，又是反对称 的（x=y）

Ex：A={1，2，3}，S在A上，S={<1,1>,<2,2>,<3,3>} S在A上就既是对称，又是

反对称的。

同样的，也有既不是对称，也不是反对称 的情况。 这是因为对称关系，要求,

同时在S中出现，如果我们在对称时，随便取出一个但不取走全部的，我们就

可以实现两个“既不”

Ex：A={a,b,c},S在A上，S={,,}，那么S在A上就既不是对称的，

也不是反对称的。

或许我们可以换言之，如果把对称关系中全部的都取出，那么就是反对称的；

如果只取出部分，那么就是 既不是对称，也不是反对称的。

如果仅仅 x=y，那么就 既是对称，也是反对称的。

这里要注意的是，如何用矩阵/图来表示集合上的关系

3-7 复合关系和逆关系

复合

R是A到B的二元关系，S是B到C的二元关系，存在B中的一个元素y, 有,，

则有.

合成运算是对关系的二元运算，它能够由 两个关系生成一个新的关系。

二元运算：xx和yy——生成一个新的关系，这里的xx,yy可以任意选取，甚至可以选

取另一组运算。

合成运算是可结合的 A---B---C

R本身所组成的复合关系 ：

复合关系也可以使用矩阵表示 其中， 表示逻辑加：0 0=0 ，1 0=1，01=1 ，1 1=1

这与矩阵的乘法相似,不过我们要注意的是，如果按照“矩阵乘法”计算出大于1的数，

在关系矩阵中，我们都按照1来计算（即 非零常数皆为1）