高中数学平面向量公式

2023年12月23日发(作者：宁波中考数学试卷2023答案)

1、向量的的数量积

定义:已知两个非零向量a，b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a，b〉并规定0≤

定义:两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b。若a、b不共线，则a•b=｜a｜•｜b|•cos

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x’+y•y\'.

向量的数量积的运算律

a•b=b•a(交换律）；

（λa）•b=λ（a•b)(关于数乘法的结合律）;

（a+b）•c=a•c+b•c(分配律);

向量的数量积的性质

a•a=｜a｜的平方。

a⊥b 〈=〉a•b=0。

|a•b|≤｜a|•｜b｜。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：（a•b）•c≠a•（b•c）;例如：(a•b）^2≠a^2•b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a•b=a•c （a≠0)，推不出 b=c。

3、｜a•b｜≠|a｜•｜b|

4、由 |a｜=|b｜ ,推不出 a=b或a=—b。

2、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是:∣a×b∣=|a｜•｜b|•sin〈a，b>；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0.

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

(λa)×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;

② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；

② 当且仅当a、b反向时，右边取等号.

4、定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1）,P2（x2，y2）,P（x,y），则有

OP=（OP1+λOP2）(1+λ）;（定比分点向量公式)

x=（x1+λx2)/（1+λ)，

y=（y1+λy2）/（1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

5、三点共线定理

若OC=λOA +μOB ，且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O，则G为△ABC的重心

向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是 xy\'-x\'y=0。

零向量0平行于任何向量.

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•b=0.

a⊥b的充要条件是 xx\'+yy\'=0。

零向量0垂直于任何向量。