2024年4月18日发(作者：体育单招数学试卷2017)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题， 每小题5分， 共60分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的。
1．i(2+3i)=( )
A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i
解析：选D
2．已知集合A={1,3,5,7}， B={2,3,4,5}， 则A∩B=( )
A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
解析：选C
e-e
3．函数f(x)=
2
的图像大致为 ( )
x
x-x
e-e
解析：选B f(x)为奇函数， 排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B
4
4．已知向量a， b满足|a|=1， a·b=-1， 则a·(2a-b)= ( )
A．4 B．3 C．2 D．0
2
解析：选B a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务， 则选中的2人都是女同学的概率为
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
解析：选D 5人选2人有10种选法， 3人选2人有3中选法。
xy
6．双曲线
2
－
2
＝1(a＞0， b＞0)的离心率为3， 则其渐近线方程为( )
ab
A．y=±2x
2
22
2-2
B．y=±3x
2
C．y=±
2
x
2
D．y=±
3
x
2
解析：选A e=3 c=3a b=2a
C5
7．在ΔABC中， cos=， BC=1， AC=5， 则AB= ( )
25
A．42 B．30 C．29 D．25
第 1 页 共 10 页
3
2
C
222
解析：选A cosC=2cos -1= - AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32 AB=42
25
11111
8．为计算S=1- + - +……+ - ， 设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入( )
23499100
开始
N0,T0
i1
是
1
i
i100
否
NN
TT
SNT
输出S
结束
1
i1
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
解析：选B
9．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， E为棱CC
1
的中点， 则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A．
2
2
B．
3
2
C．
5
2
D．
7
2
解析：选C 即AE与AB所成角， 设AB=2,则BE=5,故选C
10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数， 则a的最大值是( )
A．
π
4
B．
π
2
C．
3π
4
D．π
解析：选C f(x)= 2cos(x+
ππ3π
),依据f(x)=cosx与f(x)= 2cos(x+)的图象关系知a的最大值为。
444
0
11．已知F
1
， F
2
是椭圆C的两个焦点， P是C上的一点， 若PF
1
⊥PF
2
， 且∠PF
2
F
1
=60， 则C的离心
率为( )
A．1-
3
2
B．2-3 C．
3-1
D．3-1
2
解析：选D 依题设| PF
1
|=c,| PF
2
|=3c,由| PF
1
|+| PF
2
|=2a可得
12．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数， 满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2， 则f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A．-50 B．0 C．2 D．50
解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数， 且
f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
二、填空题：本题共4小题， 每小题5分， 共20分。
13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．
解析：y=2x-2
x+2y-5≥0
14．若x,y满足约束条件
x-2y+3≥0
,则z=x+y的最大值为__________．
x-5≤0
解析：9
第 2 页 共 10 页
15．已知tan(α-
5π1
)=， 则tanα=__________．
45
3
解析：由两角差的正切公式展开可得tanα=
2
16．已知圆锥的顶点为S， 母线SA， SB互相垂直， SA与圆锥底面所成角为30， 若ΔSAB的面积为8，
则该圆锥的体积为__________．
11
解析：设母线为2a， 则圆锥高为a， 底面半径为3a,依题×2a×2a=8,∴a=2 ∴V=×π×(23)×2=8
23
π
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题， 每个试题考
生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和， 已知a
1
=-7， S
3
=-15．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）求S
n
， 并求S
n
的最小值．
解：（1）设{a
n
}的公差为d， 由题意得3 a
1
+3d=-15,由a
1
=-7得d=2. 所以{a
n
}的通项公式为a
n
=2n-9.
22
（2）由（1）得S
n
=n-8n=(n-4)-16. 所以当n=4时, S
n
取得最小值,最小值为−16.
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
0
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额， 建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000
^
年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016
^
年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型， 求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^
y=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
^
y=99+17.5×9=256.5 (亿元).
（2）利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下：
第 3 页 共 10 页
^
（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010年至2016年的数据对应的点位于一
条直线的附近， 这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至
^
2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋
势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元
的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19．（12分）
如图， 在三棱锥P-ABC中， AB=BC=22， PA=PB=PC=AC=4， O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上， 且MC=2MB， 求点C到平面POM的距离．
（1）证明：因为AP=CP=AC=4， O为AC的中点， 所以OP⊥AC， 且OP=23.
连结OB.因为AB=BC=
222
21
AC， 所以ΔABC为等腰直角三角形， 且OB⊥AC， OB=AC=2.
22
由OP+OB=PB知OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.
（2）解：作CH⊥OM， 垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH， 所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
1242
由题设可知OC=AC =2， CM=BC=， ∠ACB=45°．
233
所以OM=
25OC·MC·sin∠ACB45
， CH==．
3OM5
45
．
5
所以点C到平面POM的距离为
※也可用等积法求
20．（12分）
2
设抛物线C:y=4x的焦点为F， 过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A， B两点， |AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A， B且与C的准线相切的圆的方程．
解：（1）由题意得F(1,0)， l的方程为y=k(x-1)(k>0).
第 4 页 共 10 页
y=k(x-1)
设A(x
1
,y
1
)， B(x
2
,y
2
)， 由
2
y=4x
得kx-(2k+4)x+k=0.
2222
2k+4
Δ=16k+16>0， 故x
1
+x
2
=
2
.
k
2
2
2k+4
所以|AB|= x
1
+x
2
+2=
2
+2=8 ， 解得k=-1（舍去）， k=1.
k
因此l的方程为y=x-1.
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)， 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)， 即y=-x+5.
y
0
=-x
0
+5
2
设所求圆的圆心坐标为(x
0
,y
0
)， 则
2
(y
0
-x
0
+1)
(x
0
+1)=+16
2
2222
2
x
0
=3
解得
y
0
=2
x
0
=11
或
y
0
=-6
因此所求圆的方程为(x-3)+(y-2)=16或(x-11)+(y+6)=144.
21．（12分）
1
32
已知函数f(x)= x-a(x+x+1)．
3
（1）若a=3， 求f(x)的单调区间；
（2）证明：f(x)只有一个零点．
解：
2
1
322
（1）当a=3时， f（x）=x-3x-3x-3)， f ′（x）=x-6x-3
x6x3
．
3
令f ′（x）=0解得x=3-23或x=3+23．
当x∈（–∞， 3-23）∪（3+23， +∞）时， f ′（x）>0；
当x∈（3-23， 3+23）时， f ′（x）<0．
故f（x）在（–∞， 3-23）， （3+23， +∞）单调递增， 在（3-23， 3+23）单调递减．
3
x
2
（2）由于x+x+1>0， 所以f(x)=0等价于
2
- 3a=0．
x+x+1
xx(x+2x+3)
设g(x)=
2
- 3a， 则g ′（x）=
2
′（x）=0， 所以g（x）在（–
2
≥0， 仅当x=0时g
x+x+1(x+x+1)
∞， +∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点， 从而f（x）至多有一个零点．
11
2
11
又f（3a–1）=-6a+2a- =-6(a- )- <0， f（3a+1）=>0， 故f（x）有一个零点．
3663
综上， f（x）只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
x=2cosθ
在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为
y=4sinθ
x=1+tcosα
y=2+tsinα
322
（θ为参数）， 直线l的参数方程为
（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)， 求l的斜率．
xy
【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．
416
第 5 页 共 10 页
22
更多推荐
模型,方程,环境,投资额,已知,预测值
发布评论