2024年3月26日发(作者：数学试卷出现音乐题)

放缩法（一）

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩

法。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：

a

2

1a

；

n(n1)n

⑵将分子或分母放大（或缩小）

⑶

log3lg5(

利用基本不等式，如：

lg3lg5

2

)lg15lg16lg4

2

；

n(n1)

n(n1)

2

⑷利用常用结论：

Ⅰ、

k1k

1

k1k

1

2k

；

11111111



22

k(k1)k1kk(k1)kk1

kk

Ⅱ、 ；

（程度大）

111111

()

22

k1

(k1)(k1)2k1k1

； （程Ⅲ、

k

度小）

例1.若

a

,

b

,

c

,

d

R

+

，求证：

1

abcd

2

abdbcacdbdac

abcd



【巧证】：记

m

=

abdbcacdbdac

∵

a

,

b

,

c

,

d

R

+

1/4

∴

m

abcd

1

abcdabcacdabdabc

m

abcd

2

ababcddc

∴1 < m < 2 即原式成立

例2.当

n

> 2 时，求证：

log

n

(n1)log

n

(n1)1

【巧证】：∵

n

> 2 ∴

log

n

(n1)0,log

n

(n1)0

log

n

(n

2

1)

log

n

(n1)log

n

(n1)

log

n

(n1)log

n

(n1)

22





∴

log

n

n

2



1

2



2

2

2

∴

n

> 2时,

log

n

(n1)log

n

(n1)1

1111



2

2222

n

例3.求证：

123

1111



2

【巧证】：

n

n(n1)n1n

1111111111



11

22

2222

223n1nn

n

∴

123

十二、放缩法:

巧练一：设

x

> 0,

y

> 0,

a

xyxy

b

1xy

,

1x1y

，求证：

a

<

b

xyxyxy



巧练一：【巧证】：

1xy1xy1xy1x1y

巧练二：求证：lg9•lg11 < 1

lg9lg11



lg99



2

lg9lg11





1

2



2



2

巧练二：【巧证】：

222

巧练三：

log

n

(n1)log

n

(n1)1

2/4

log

n

(n

2

1)

log

n

(n1)log

n

(n1)



2



巧练三：【巧证】：

log

n

n

2



1

2

2

2

114

0

abbcca

巧练四：若

a

>

b

>

c

, 则

巧练四：【巧

2

证】：



11124

22

(ab)(bc)

abbc(ab)(bc)ac



1111



2

1(nR

,n2)

n

巧练五：

nn1n2

11111n

2

n



2

2

2

1

2

nn

nnnn

巧练五：【巧证】：左边

1111



1

2n1n22n

巧练六：

11

n中式n1

n1

巧练六：【巧证】：

2n

巧练七：已知

a

,

b

,

c

> 0, 且

a

2

+

b

2

=

c

2

，求证：

a

n

+

b

n

<

c

n

(

n

≥3,

n

R

*

)

a



b





1

巧练七：【巧证】： ∵

c



c

，又

22

a

,

b

,

c

> 0,∴

a



a



b



b





,





c



c



c



c

a



b





1

∴

c



c

放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换

法等。

所谓放缩法，要证明不等式A

，如将A放大成C，即A

nn

n2n2

3/4

放缩法的常见技巧有：

（1）舍掉（或加进）一些项。

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。

（3）应用基本不等式放缩。

（4）应用函数的单调性进行放缩。

（5）根据题目条件进行放缩。

放缩法的理论依据主要有：

（1）不等式的传递性；

（2）等量加不等量为不等量；

（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。

放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。

注意：（1）放缩的方向要一致。

（2）放与缩要适度

（3）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出

现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

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