2024年3月19日发(作者：小升初数学试卷新沂)

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第三章 微分中值定理与导数的应用

本章概述：本章以微分中值定理为中心，讨论导数在研究函数

的性态（单调性、极值、凹凸性）方面的应用．

重点：中值定理；洛必达法则；函数的单调性，曲线的凹凸性

与拐点；函数极值的求法；函数的最值问题；方程根的存在性及

不等式的证明．

难点：三个中值定理及泰勒公式；方程根的存在性及不等式

的证明．

基本要求：理解中值定理的条件和结论，它是本章内容的理论

基础，是建立导数与函数关系的桥梁；掌握中值定理证明的思想

方法--构造性证明方法．此方法不仅在中值定理的证明中，而且

在不等式的证明、方程根的存在性及导数的应用中都具有广泛的

应用；掌握洛必达法则，它是求未定型极限的一种重要方法；掌

握导数的应用，会利用导数研究函数的单调性、极值、最值、曲

线的凹凸性和拐点等．

第一节 微分中值定理

1．填空与选择：

（1）下列函数在

[1,1]

上满足罗尔定理条件的是（ ）

（A）

f(x)e

x

； （B）

f(x)|x|

；

（C）

f(x)1x

2

； （D）

f(x)

xsin

1

, x0

x

．

0, x0

（2）下列条件不能使

f(x)

在

[a,b]

上应用拉格朗日中值定理的

是（ ）

（A）在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

内可导；

（B）在

[a,b]

上可导；

（C）在

(a,b)

内可导，且在

a

点右连续，

b

点左连续；

（D）在

(a,b)

内有连续的导数．

（3）函数

f(x)ln(1x)

在

[0,e1]

上满足拉格朗日定理中的数

值

是（ ）

（A）

e

； （B）

e1

； （C）

e2

； （D）1．

（4）设

yf(x)

在

(a,b)

内可导，

x,xx

是

(a,b)

内的任意

两点，

yf(xx)-f(x)

，则（ ）

（A）

yf

(x)x

；

（B）在

x,xx

之间恰有一点

，使

yf

(

)x

；

（C）在

x,xx

之间至少存在一点

，使

yf

(

)x

；

1

第三章 微分中值定理与导数的应用 高等数学作业与练习

（D）在

x,xx

之间的任一点

，均有

yf

(

)x

．

（5）若

f(x)

在

(a,b)

内可导，且

x

1

,x

2

是

(a,b)

内任意两点，且

x

1

x

2

，则至少存在一点

，使（ ）

（A）

f(b)f(a)f

(

)(ba)

，其中

a

b

；

（B）

f(b)f(x

1

)f

(

)(bx

1

)

，其中

x

1

b

；

（C）

f(x

2

)f(x

1

)f

(

)(x

2

x

1

)

，其中

x

1

x

2

；

（D）

f(x

2

)f(a)f

(

)(x

2

a)

，其中

a

x

2

．

（6）设

f(x)(x1)(x2)(x3)

，则方程

f

(x)0

有_____ 个

实根, 分别位于区间 中．

2．证明：当

x1

时，恒等式

2arctanxarcsin

2x

1x

2

成立．

3．设函数

f

(x)

在

[a,b]

上连续,且

f(a)f(b)0

，

f

(x)0(x(a,b))

．证明函数

f(x)

在区间

(a,b)

内有唯一

零点．

4．证明：方程

xe

x

0

在区间

(1,1)

内有唯一的根．

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定理,函数,导数,应用