人教版九年级数学上知识点总结

2023年12月22日发(作者：广东揭阳期末考试数学试卷)

九年级数学（上）知识点

第二十一章:二次根式

一．知识框架:

二．知识概念:

二次根式：

一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,其中√0=0

对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：

1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；

2. 了解最简二次根式的概念；

3. 理解并掌握下列结论：

1）是非负数； （2）； （3）；

4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；

5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

第二十二章:一元二次根式

一．知识框架:

二.知识概念:

一元二次方程：

方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。

（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．

（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．

介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程可以化为更为简单的形如的方程。这样的方程，由平方根的概念，的的方可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子bb24acx=2a就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

第二十三章:旋转

一.知识框架:

二．知识概念:

1.旋转：

在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）

2.旋转对称中心：

把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。

3．中心对称图形与中心对称：

中心对称图形：

如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

中心对称：

如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

4.中心对称的性质：

关于中心对称的两个图形是全等形。

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。

第二十四章:圆

一．知识框架:

二．知识概念:

1.圆：

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆弧和弦：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3.圆心角和圆周角：

顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.内心和外心：

过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

5.扇形：

在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

7.圆和点的位置关系：

以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

8.直线与圆有3种位置关系：

无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

9.两圆之间有5种位置关系：

无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，

一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

10.切线的判定方法：

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

11.切线的性质：

（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

12.垂径定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

13.有关定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

14.圆的计算公式:

1.圆的周长C=2πr=πd

2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180

15.扇形面积S=π（R^2-r^2） 5.圆锥侧面积S=πrl

第二十五章:概率

概率是初中数学的常考知识点，但考题难度不大。本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，利用所学知识解决问题，突现应用意识，进一步巩固所学知识。

一．知识框架:

二．知识概念：

1. 随机事件：

在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件，简称事件。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。

2.

特殊的事件：

必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。

不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。

3.

随机事件的关系和运算

（1）交换律：A∪B=B∪A、AB=BA

（2）结合律：( A∪B )∪C=A∪( B∪C )

（3）分配律：A∪( BC )=( A∪B )( A∪C )

A( B∪C )=( AB )∪( AC )

（4）摩根律：A B=A∪B、A ∪ B=A B

4.概率：

表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。但如果一件事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的频率接近于1/n这个数值。

5. 列举法：

一种借助对一具体事物的特定对象(如特点、优缺点等)从逻辑上进行分析并将其本质内容全面地一一地罗列出来的手段，再针对列出的项目一一提出改进的方法。

6.频率估计概率：

在直角坐标系中，纵轴表示频数，横轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。

频率分布直方图几个比较重要的数据求法

平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积*底边中点横坐标之和

中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标

众 数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标

补充：在图中，各个长方形的面积等于：相应各组的频率

本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。

九年级数学（下）知识点

第二十六章：二次函数

一．知识框架：

二．.知识概念：

1.二次函数：

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：yax2bxc(a0,a,b,c为常数)，则称y为x的二次函数。

2.二次函数的解析式三种形式。

一般式

yax2bxc(a0)

顶点式

ya(xh)2k

ya(xb24acb22a)4a

交点式

ya(xx1)(xx2)

3.二次函数图像与性质

y

对称

轴：yb2a

O

x

一般式：

b4acb2) 顶点坐标：(,2a4a与y轴交点坐标（0，c）

4.增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大

当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小

5.二次函数图像画法：

勾画草图关键点：○1开口方向

○2对称轴

○3顶点

○4与x轴交点

○5与y轴交点

6.图像平移步骤

（1）配方

ya(xh)2k，确定顶点(h,k)

（2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减

7.二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1,

x2

其对应的纵坐标相等那么对称轴xx1x2

28.根据图像判断a，b，c的符号

（1）a ——开口方向

（2）b ——对称轴与a 左同右异

9.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标x1,

x2

是一元二次方程ax2bxc（0a0）的根。

抛物线yax2bxc，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2bxc0

b24ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

b24ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

b24ac<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．教师在讲解本章内

容时应注重培养学生数形结合的思想和独立思考问题的能力。

第二十七章：相似

一．知识框架 ：

二.知识概念：

1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形

2.相似三角形的判定方法:

根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）

○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似；

○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；

○3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

○4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

3.直角三角形相似判定定理:

1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 ○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似， ○并且分成的两个直角三角形也相似。

4.相似三角形的性质:

1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、 ○外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。 ○3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ○本章内容通过对相似三角形的学习，培养学生认识和观察事物的能力和利用所学知识解决实际问题的能力。

第二十八章：锐角三角函数

一．知识框架：

二．知识概念：

△ABC中

∠A的对边(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝

斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝

∠A的邻边

斜边∠A的对边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝

∠A的邻边

(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝

2.特殊值的三角函数：

sina cosa tana cota

13330°

3

2232245° 1

1

2213360°

3

2

23a

∠A的邻边

∠A的对边本章内容使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。

第二十九章：投影与视图

一．知识框架：

二．识概念：

1.投影：

从初中数学的角度来说，一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影：

有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影。

中心投影：

由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。

平行投影与中心投影的区别与联系：

区 别

光线 物体与投影面平行时的投影

平行投影 平行的投射线

中心投影 从一点出发的投射线

正投影：

投影线垂直于投影面产生的投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。

斜投影：

投影线不平行于投影面产生的投影。

放大(位似变换)

全等 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)

联系

1. 三视图：

三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

视图：

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。

一个物体有六个视图：

从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状。

从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状。

从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。还有其它三个视图不是很常用。

三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

2. 投影规则：

主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等

即：

主视图和俯视图的长要相等

主视图和左视图的高要相等

左视图和俯视图的宽要相等。

在许多情况下，只用一个投影不加任何注解，是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示，三个形体在同一个方向的投影完全相同，但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

4. 三视图-画法：

在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析。当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析。

（1）进行形体分析

把组合体分解为若干形体，并确定它们的组合形式，以及相邻表面间的相

互位置，

（2）确定主视图

三视图中，主视图是最主要的视图。

a.确定放置位置

要确定主视投影方向，首先解决放置问题。选择组合体的放置位置以自然平稳为原则。并使组合体的表面相对于投影面尽可能多地处于平行或垂直的位置。

b.确定主视投影方向

选最能反映组合体的形体特征及各个基本体之间的相互位置，并能减少俯、左视图上虚线的那个方向，作为主视图投影方向。图9-10(a)中箭头所指的方向，即为选定的主视图投影方向。

（3）选比例，定图幅

画图时，尽量选用1:1的比例。这样既便于直接估量组合体的大小，也便于画图。按选定的比例，根据组合体长、宽、高预测出三个视图所占的面积，并在视图之间留出标注尺寸的位置和适当的间距，据此选用合适的标准图幅。

（4）布图、画基准线

先固定图纸，然后，画出各视图的基准线。每个视图在图纸上的具体位置就确定了。基准线是指画图时测量尺寸的基准，每个视图需要确定两个方向的基准线。一般常用对称中心线，轴线和较大的平面作为基准线，

逐个画出各形体的三视图

（5）画法

根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。

本章内容要求学生经历实践探索，了解投影、投影面、平

行投影和中心投影的概念；会画事物的三视图，学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。

教学难点：在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。