2024年3月18日发(作者：学科网下载高一数学试卷)
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第2章 数列极限
2.1 复习笔记
一、实数系的连续性
1．实数系
（1）若一个集合中的任意两个元素进行了某种运算后，所得的结果仍属于这个集合，
则称该集合对这种运算是封闭的。
（2）全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集。即：R={x | x是有理数或无
理数}。
（3）整数系Z具有“离散性”，有理数系Q具有“稠密性”。
（4）实数系的连续性，从集合角度理解，就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，
因而R又被称为实数连续统。
2．最大数与最小数
（1）定义
①最大数
设S是一个数集，如果
记为ξ=max S。
②最小数
如果η∈S，使得 x ∈ S，有x ≥ η，则称η是数集S的最小数，记为η=min S。
∈S，使得x ∈ S，有x ≤ ξ，则称是数集S的最大数，
（2）存在性
①当数集S是非空有限集，即S只含有有限个数时，max S与min S显然存在，且
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max S是这有限个数中的最大数，min S是这有限个数中的最小数；
②当S是无限集时，最大数及最小数不一定存在。
3．上确界与下确界
（1）上界、下界与有界集
设S是一个非空数集，如果M∈R，使得x ∈S ，都有x≤M，则称M是S的一个
上界；如果m∈ R，使得∈S，都有x≥ m，则称m是S的一个下界。当数集S既有
上界，又有下界时，称S为有界集。显然
S为有界集
（2）上确界的性质
任何小于β的数都不是数集S的上界，即
（3）下确界的性质
任何大于α的数都不是数集s的下界，即
（4）重要定理
①确界存在定理——实数系连续性定理
非空且有上界的数集必有上确界；非空且有下界的数集必有下确界。
②非空有界数集的上（下）确界是惟一的。
>0，x∈S，使得x<α+ε。
>0，x∈S，使得x>β－ε。
X>0，使得∈S，有|x| ≤ X。
二、数列极限
1．数列与数列极限
（1）数列
数列是指按正整数编了号的一串数：
x
1
，x
2
，...，x
n
，...
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通常表示成{x
n
}，其中x
n
称为该数列的通项。
注：数列与数集的区别：在数集中，元素之间没有次序关系，所以重复出现的数看成
是同一个元素；在数列中，每一个数都有确定的编号，前后次序不能颠倒，重复出现的数
不能随便舍去。
（2）数列极限
设{x
n
}是一给定数列，a是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，可以找到正整数
N，使得当n>N时，成立
|x
n
－a| < ε，
则称数列{x
n
}收敛于a（或a是数列{x
n
}的极限），记为
有时也记为
如果不存在实数a，使{x
n
}收敛于a，则称数列{x
n
}发散。
注：在上述的收敛定义中，ε既是任意的，又是给定的：
①只有当ε确定时，才能找到相应的正整数N。这时ε是给定的；
②改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。这时ε是任意的；
（3）无穷小量
在收敛的数列中，称极限为0的数列为无穷小量。无穷小量是一个变量，而不是一个
“非常小的量”。根据数列极限的定义，可直接得到
小量。
2．数列极限的性质
（1）极限的惟一性
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是无穷
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收敛数列的极限必惟一。
（2）数列的有界性
收敛数列必有界。
注：此定理逆命题并不成立，即有界数列未必收敛，例如，{（－1）
n
}是有界数列，
但它并不收敛。
（3）数列的保序性
设数列{x
n
}，{y
n
}均收敛，若
时，成立
x
n
n 推论：①若 ②若 ，则存在正整数N，当n>N时， ，则存在正整数N，当n>N时，。 ； =a．=b，且a （4）极限的夹逼性（夹逼定理） 若三个数列， ，则 3．数列极限的四则运算 设 （1） （2） （3） ； 。 ，，则 （α，β是常数）； ，,从某项开始成立x n ≤y n 。 ≤z n ,，n>N，且 三、无穷大量 1．无穷大量 4 / 44 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台 成立，则称 （1）定义 若对于任意给定的G>0，可以找到正整数N，使得当n>N时， 数列是无穷大量，记为 若采用符号表述法，“数列 。 是无穷大量”可表示为： 如果无穷大量从某一项开始都是正的（或负的），则称其为正无穷大量（或负无穷 （或）。大量），统称为定号无穷大量，分别记为 （2）无穷大量与无穷小量之间的关系 设x n ≠0，则 （3）设 是无穷大量的充分必要条件是 是无穷大量，若当n>N时， 是无穷小量。 成立，则是无穷大量。 （4）无穷大量的运算性质 ①同号无穷大量之和仍然是该符号的无穷大量，异号无穷大量之差是无穷大量，其符 号与被减无穷大量的符号相同； ②无穷大量与有界量之和或差仍然是无穷大量； ③同号无穷大量之积为正无穷大量，而异号无穷大量之积为负无穷大量。 （5）设{x n }是无穷大量， 2．待定型 （1）定义 如∞±∞，（+∞）-（+∞），（+∞）+（-∞），0·∞，等极限，其结果可以是无穷 ，则{x n y n }与都是无穷大量。 小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。我们称这种类型的极限为待定型。 5 / 44 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平 台 （2）如果数列{x n }满足x n x n+1 ，n=1，2，3，…，则称{x n }为单调增加数列；若进一 步满足x n n+1 ，n=1，2，3，…，则称{x n }为严格单调增加数列。 （3）斯托尔茨定理 设{y n }是严格单调增加的正无穷大量，且 （a可以为有限量，+∞与-∞）， 则 四、数列的收敛准则 1．单调有界数列收敛定理 单调有界数列必定收敛。 2．π和e π和e是两个重要的无理数，有以下两个重要极限： 3．闭区间套定理 （1）定义 如果一列闭区间{[a n ，b n ]}满足条件 ① ② 则称这列闭区间形成一个闭区间套。 （2）重要定理 6 / 44
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