极限的公式总结

2024年4月14日发(作者：安溪高考数学试卷分析)

极限的公式总结

极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域

中都有着广泛的应用。极限的公式可以帮助我们求解一些复杂

的问题和优化计算。在本文中，我们将总结一些常见的极限公

式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。

一、函数极限公式

1. 一次函数极限：

若 f(x) = ax + b（a≠0），则当 x→a 时，f(x) 的极限为

f(a)=a*a+b。

2. 二次函数极限：

若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当 x→a 时，f(x) 的极限为

f(a)=a*a²+b*a+c。

3. 幂函数极限：

若 f(x) = x^a（a为实数），则当 x→∞ 或 x→-∞ 时，f(x) 的

极限为：

- 若 a > 0，则极限为 ∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；

- 若 a = 0，则极限为 1；

- 若 a < 0，则极限为 0。

4. 指数函数极限：

α 为常数，若 f(x) = α^x，则当 x→∞ 或 x→-∞ 时，f(x) 的极

限为：

- 若 α > 1，则极限为 ∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；

- 若 0 < α < 1，则极限为 0 或 ∞，具体取决于 x 的正负；

- 若 α = 1，则极限为 1。

5. 对数函数极限：

若 f(x) = logₐ(x)（a>0 且 a≠1），则当 x→0 或 x→∞ 时，f(x)

的极限为：

- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或 ∞，具体取决于 x 的趋势；

- 当 0 < a < 1 时，极限为 ∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。

6. 三角函数极限：

- sin(x) 的极限为 1，当 x→0 时；

- cos(x) 的极限为 1，当 x→0 时；

- tan(x) 的极限为 ∞ 或 -∞，当 x→(nπ/2)(n为整数) 时；

- cot(x) 的极限为 ∞ 或 -∞，当 x→nπ(n为整数) 时；

- sec(x) 的极限为 ∞ 或 -∞，当 x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时；

- csc(x) 的极限为 ∞ 或 -∞，当 x→nπ(n为整数) 时。

二、无穷极限公式

1. 常数无穷大：

若 f(x) 是一个无界函数，且当 x→a 时，f(x) 的极限为 ±∞，

则称 f(x) 为常数无穷大。

对于常数无穷大，有以下关系：

- 如果 f(x) 是常数无穷大，那么 1/f(x) = 0；

- 如果 f(x) 和 g(x) 是常数无穷大，那么 f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、

f(x)*g(x)、f(x)/g(x) 仍为常数无穷大；

- 如果 f(x) 是常数无穷大，a 是任意实数，那么 f(x)^a 仍为常

数无穷大。

2. 零无穷型：

若 f(x) 是一个无界函数，且当 x→a 或 x→±∞ 时，f(x) 的极

限为 0，则称 f(x) 为零无穷型。

对于零无穷型，有以下关系：

- 如果 f(x) 是零无穷型，g(x) 是常数无穷小，那么 f(x)*g(x)

为常数；

- 如果 f(x) 是零无穷型，g(x) 是常数无穷大，那么 f(x)/g(x) =

0；

- 如果 f(x), g(x) 都是零无穷型，那么 f(x)+g(x)、f(x)-g(x) 仍

为零无穷型。

三、级数极限公式

1. 等比级数极限：

若 a 是不为零的常数，若当 n→∞ 时，∑(a^n) 的部分和 Sn

的极限存在，那么 Sn = a/(1-a)。

注意此公式的条件是 |a| < 1。

2. 调和级数极限：

若当 n→∞ 时，∑(1/n) 的部分和 Sn 的极限存在，那么 Sn =

ln(n) + γ，其中 γ 是欧拉常数。

3. 绝对收敛级数极限：

若当 n→∞ 时，∑(|an|) 的部分和 Sn 的极限存在，那么 ∑(an)

绝对收敛。

综上所述，极限的公式总结为函数极限、无穷极限和级数极限

三个方面。每个方面都涵盖了常见类型的极限，并提供了求解

极限的便捷方法。理解和熟练掌握这些极限公式，对于高等数

学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。