第六届广东省大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专类)

2024年4月8日发(作者：常德市小升初数学试卷及答案)

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

号

…

学

…

…

线

…

…

…

…

…

…

…

…

…

名

…

姓

…

…

…

…

)

…

题

…

…

答

封

不

…

…

内

…

线

…

…

级

封

…

班

密

…

…

(

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

密

院

…

学

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

第六届广东省大学生数学竞赛试卷（高职高专类）

参考答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

题号12345

答案CDBDC

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.02.03.



4

4.-85.1

31

三、解:因为

(1



2x)

sinx



(1



2x)

2x



1

sinx



6

…………………………5分

311

所以

lim(1



2x)

sinx2x



sinx



6

x



0



lim(1

x



0



2x)

…………………………8分

=e

6

…………………………10分

四、解：由于

f(x)



x



1

x

2



3x



2



3

x



2



2

x



1

……………………3分

f

(n)

(x)



3(

1

(n)

1

(n)

x



2

)



2(

x



1

)

…………………………5分



(



1)

n

n!





32





(x



2)

n



1



(x



1)

n



1



…………………………10分



五、解：由乘积导数公式及复合函数导数公式

(xlnlnx)





lnlnx



x

11

lnxx



lnlnx



1

lnx

…………………………7分

所以



(lnlnx



1

lnx

)dx.

=

xlnlnx

+C…………………………10分

六、解由洛必达法则，



u

2

du

原式



lim



x2

2





t

e



dt

x



2

(x



2)

2

……………4分

2



lim



x

e



u

2

du

x



2

(x



2)

2

……………7分

第

1

页共

2

页



e



x

1



4

22e

七、证明：由

x0

时的麦克劳林公式，

2

……………10分

f(x)



f(0)



f



(0)x



f



(



)

2

x

2!

………………4分

……………8分

……………10分

………………4分

…………………8分

由已知，

f(0)0,f



(0)1,f



(x)0,

故

f(x)



x



f



(



)

2

x



x

成立.

2!

2

八、证明：作辅助函数

F(x)f(x)(xx1),

则

F(0)



F(1)



0,

由罗尔定理存在



1

使得

F



(



1

)



0(0





1



1),

又

F



(1)



0,

由罗尔定理存在



使得

F



(



)



0(



1







1),

即

F



(



)=f



(



)



2



0

所以

f



(



)=2

，



（0,1）

…………………10分

九、解：设切点

P(x

0

,y

0

),切线方程yy

0

2x

0

(xx

0

)

…………………………2分

x

0

2

,0),交直线x=1于点B(1,2x

0

-x

0

),

2

…………………………6分

x

0

1

2

则

S(1)(

2x

0

-x

0

),0x

0

1

22

交

x

轴于点A(

3

2

2

x

0

0x

0

,x

0

2(舍)

…………………………8分

43

228

……………

S



()=-1<0,S()为极大值，故为所有三角形中面积最大者。

3327

令S



=1-2x

0



……………10分

第

2

页共

2

页