首届广东省大学生数学竞赛试卷(经管类)

2024年4月8日发(作者：新野高考数学试卷分析)

广东省大学生数学竞赛试卷参考答案(经济管理类)

一、(本题30分, 每小题3分) 填空题

f

(

x

)



ln



1



f

(

x

)

sin2

x



lim

. 1. 已知

lim

, 则极限

3

2

x

x

0

x

0

x

51

2．设

f(x)

对于

x(,)

满足方程

(

x

1)

f



(

x

)2(

x

1)[

f



(

x

)]

3

1e

1

x

.

若

f(x)

在

x1

取得极值，则它是 .（填极大值还是极小值）

3. 极限

lim

nx

d

x



．

n





0

1

n

2

x

4

1

4. 设函数

f(x)

满足

5．极限

6.





0

[f(x)f



(x)]sinxdx8,f(0)3,

则

f(



)

_________.



.

则

(

x

,

y

)(0,0)

lim

x

2



y

2

sin

x

2



y

2

(

x



y

)

223

由方程

F(cxaz,cybz)0

确定了函数

zz(x,y)

,

a



z



z



b



.



x



y

7.设

f



x,y



可微，

f



1,2





2,

f

x





1,2





3,

f

y





1,2





4

，若

g



x



fx,f



x,2x



，

则

g\'



1





.

8.设函数

f(x)

连续,

f(0)2

, 记

F

(

t

)

2



x



y

2



t

2



f

(

x

2



y

2

)d

x

d

y

(

t

0)

, 则

F



(0)

.

9. 设

y

1

(x), y

2

(x), y

3

(x)

是微分方程

y



p(x)y



q(x)yf(x)

的三个不同的解，

且

y

1

(

x

)

y

2

(

x

)

不恒等于常数，则微分方程的通解为 .

y

2

(

x

)

y

3

(

x

)



4

n

1

x

n

2

n



e1



10．级数



(1)4



x



e1

n

1



的收敛区间为 .

二、（本题10分）设函数

f(x)

具有二阶连续导数，且

f(0)0

, 证明：函数

第

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

f

(

x

)

,

x

0



g

(

x

)



x





f



(0),

x

0

具有一阶连续导数.

三、（本题10分） 设

f(x)

在

[0,1]

上可导, 当

0x1

时,

0f(x)2

; 且对区

间

(0,1)

内所有

x

有

f



(x)2

, 证明: 在

[0,1]

上有且仅有一点



,

使得

f(



)2



.

四、（本题10分）设函数

f(x)

在区间

[0,1]

上连续，并设



1

0

f(x)dxA

，求



1

0

d

x



f

(

x

)

f

(

y

)d

y

.

x

1

五、（本题10分）设

f

(

x

)



sin

x



x

0

其中

f(x)

为连续函数，求

f(x)

.

(

xt

)

f

(

t

)d

t

，

第

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