2024年1月2日发(作者：月考数学试卷心得)

2011----2012学年第二学期期末考题解答

一.填空题(每小题3分, 满分15分)

1. 过直线L:x-1y+2z-2==且垂直于平面3x+2y-z=5的平面方程是2-32

_________．

【解】应填：x-8y-13z+9=0．

直线L的方向向量s={2,-3,2}．已知平面的法向量n1={3,2,-1}，设所求平面的法

向量为n，由题意知n⊥s且n⊥n1，故可取

ijk n=s⨯n1=2-32={-1,8,13}，

32-由条件知，所求平面过点P0(1,-2,2)

于是所求平面方程为 ，

-(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0，

即

x-8y-13z+9=0．

2. 设x2+2xy+y+zez=1，则dz

【解】应填：-2dx-dy．

由x+2xy+y+ze=1，两边求全微分，得 2z(0,1)=

2xdx+2ydx+2xdy+dy+(1+z)ezdz=0，

当x=0,y=1时，代入原方程得z=0，

所以

dz

(0,1)=-2dx-dy．

3. 椭圆抛物面∑：z=2x+y在点P0(1,-1,3)处的法线方程是___________.

【解】应填：22x-1y+1z-3==. 4-2-1

曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法向量可取为

n={4x,2y,-1}(1,-1,3)={4,-2,-1}，

于是曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法线方程为

x-1y+1z-4=-2=3

-1

.

4.

曲面z=

与z=x2+y2所围立体的体积为 ．

【解】应填：

π

6

． V=⎰⎰⎰dv=2π0

dθ1r

π

Ω

⎰

⎰0

rdr⎰r

2dz=

6

．

5. 设L

为上半圆周y=⎰(x

L

-xy+y2)ds=____________．【解】应填：π．

由对称性，代入技巧及几何意义可得

⎰2

L

(x

-xy+y2)ds=⎰L

ds+0=π

二.选择题(每小题3分, 满分15分)

1．方程y\'\'-3y\'+2y=1+2x-3ex

的特解形式为（ ）． (A)(ax+b)ex (B) (ax+b)xex

(C) ax+b+cex

(D) ax+b+cxex

【解】选（D）

2.

设un

n=(-1)，则级数（ ）． （A）∑∞

∞

∞

∞

u

2n

与

∑u

n

都收敛 （B）

n=1n=1

∑u

2n

与

n=1∑u

n

都发散n=1

（C）

∑∞

∞

∞

∞

u

2n

收敛，而

n

发散 （D）

u

2n

发散，而

n

收敛

n=1

∑u

n=1

∑n=1

∑u

n=1

【解】选（C）

3．二元函数f(x,y)的两个偏导数fx¢(x,y)，fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的（ ）

(A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件

【解】若fx¢(x,y)，fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)都连续，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，

选(A)

4.

⎰1

0dx⎰2x1=（ ）

（A）

1

21 （B）

)1

31 （C

)（D

【解】

原积分=

⎰

dy0101121==⎰231． 选（B） )

⎧x2-π≤x<05. 设f(x)=⎨，则周期为2π的函数f(x)的傅立叶级数在x=2π处⎩x-π0≤x<π

收敛于 ．

（A）-π

2 （B）-π （C）0 （D）π 2

【解】选(A)

三. (10分) 设z=f(xy,xy)+g()，其中f有二阶连续偏导数，g有二阶导yx

∂2z数，求． ∂x∂y

【解】根据复合函数求偏导公式得

∂z1y=f1\'⋅y+f2\'⋅+g\'⋅(-2), ∂xyx

∂2z∂⎛∂z⎫∂⎛1y⎫

= ⎪= f1\'⋅y+f2\'⋅+g\'⋅(-2)⎪∂x∂y∂y⎝∂x⎭∂y⎝yx⎭

x11xy1

=f1\'+y[f11\'\'x+f12\'\'⋅(-2)]-2f2\'+[f21\'\'x+f22\'\'⋅(-2)]-g\'\'⋅3-g\'⋅2

yyyyxx

1xy1

=f1\'+xyf11\'\'-2f2\'-3f22\'\'-3g\'\'-2g\'

yyxx

x2

四. (10分) 求z=f(x,y)=x-y在闭区域D：+y2≤1上的最大值和最小值．

2

2

【解】在D的内部，

⎧fx\'=2x=0

⇒(0,0)为驻点，且f(0,0)=0 ⎨\'

f=-2y=0⎩y

在D的边界上，

x2x25x22222

+y=1⇒y=1-⇒z=x-y=-1由444

(-2≤x≤2)

dz5x==0⇒x=0，此时，y=±1,，则有f(0,±1)=-1,dx2

比较上述函数值知，

f(±2,0)=4

函数z=f(x,y)=x-y在D上的最大值为4,最小值为-1．

五. (10分) 求微分方程y\'\'=

22

y\'

+xex的通解. x

1

p=xex， x

【解】不显含y，故令y\'=p,则y\'\'=p\'，代入原方程得p\'-利用通解公式求得通解为

p=x(ex+C1)，

积分得原方程通解为

1

y=(x-1)ex+C1x2+C2．

2

六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数f(x)，使在右半平面内，y[2-f(x)]dx+xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)=2； （Ⅱ）求u(x,y)； 【解】（Ⅰ）P=y[2-f(x)]，Q=xf(x)．

因为y[2-f(x)]dx+xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分，所以有 即

∂Q∂P

， =

∂x∂y

f(x)+xf\'(x)=2-f(x)，

故

xf\'(x)+2f(x)=2． 上述微分方程的通解为

f(x)=1+

所以

C

.由f(1)=2得C=1, x2

1

． x2

f(x)=1+

（Ⅱ）在右半平面内取(x0,y0)=(1,0)，则

11

u(x,y)=⎰P(x,0)dx+⎰Q(x,y)dy=⎰0(x+)dy=y(x+)．

10xx

x

y

y

七. (12分) 求幂级数

∞

∑n(n+1)x

n=1

∞

n

的收敛域及和函数．

【解】易求得其收敛域为(-1,1)，令

S(x)=∑n(n+1)x=x∑n(n+1)x

n

n=1

n=1

∞

n-1

=x⋅S1(x)， 其中 S1(x)=∑n(n+1)xn-1，

n=1

∞

∞

两边积分

⎰

再积分

x

S1(x)dx=∑⎰n(n+1)x

n=1

∞

x

n-1

dx=∑(n+1)xn，

n=1

⎰(⎰

xx

S1(x)dx)dx=∑⎰(n+1)xdx=∑x

n

n=1

∞

x

∞

n+1

n=1

x2

． =1-x

因此

x22

S1(x)=()\'\'=，

1-x(1-x)3

故原级数的和

S(x)=

2x

，x∈(-1,1)．

(1-x)3

八. (12分) 计算积分I=

⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy

∑

，其中∑是抛物面

z=x2+y2

(0≤z≤1)，取下侧．

【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,

设∑与∑0围成空间区域Ω, Ω及∑0在xOy平面上的投影区域Dxy:x+y≤1.

由Gauss公式，

I=22

∑+∑0 ⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∑0

=⎰⎰⎰[

Ω∂∂(y-z)+(x+2z)]dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∂y∂z∑0

∑0=3⎰⎰⎰dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy. Ω

因为∑0垂直于zOx平面，∑0在zOx平面上的投影区域面积为零，

所以 ⎰⎰(y-z)dzdx=0.

∑0

I=3⎰⎰[⎰2

Dxy1x+y2dz]dxdy-⎰⎰[x+2(x2+y2)]dxdy Dxy

2π1=⎰⎰(3-5x2-5y2)dxdy=⎰dθ⎰(3-5r2)rdr=

Dxy00π.2

九. (4分) 设函数ϕ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分ϕ(y)dx+2xydy

2x+y24L的值恒为同一常数．证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简

单闭曲线C，有ϕ(y)dx+2xydy

2x+y24C=0；

【证明】将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则

ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l1+l3-ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l2+l3=0．


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