国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第47届)

2023年12月10日发(作者：二级数学试卷下册)

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第47届）

1． △ABC 的内心为I，三角形内一点P 满足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求证， AP≥AI，而且等号当且仅当P=I 时成立．

证：∠PBC+∠PCB=

1(∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，从而

2P，B，C，I 四点共圆．但由内外角平分线相垂直知 B，C，I 与 BC 边上的旁切圆心T

共圆，且IT 是这个圆的直径，IT 的中点O为圆心．由于A，I，T 共线(∠BAC 的平分线)，且 P在圆周上，AP+PO≥AO=AI+IO ， PO=IO，故AP≥AI．

等号当且仅当P 为线段AO与圆周的交点即P=I 时成立．

2．正 2006 边形 P 的一条对角线称为好的，如果它的两端点将 P 的边界分成的两部分各含P 的奇数条边．P 的边也是好的．

设 P 被不在 P 的内部相交的 2003 条对角线剖分为三角形．试求这种剖分图中有两条边为好的等腰三角形个数的最大值．

解：对于剖分图中的任一三角形ABC，P的边界被A，B，C分为3段，A-B段所含P的边数记作m(AB)．由于m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形．

考虑任一好三角形 ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的 P 的边数为偶数．由于剖分图中的三角形互不交叉，而 A-B 段上 P 的边数为奇数，故A-B段上必有P的一边α不属于更小的腰段，同理A-C段上也有P的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对应的二元集无公共元，因此好三角形不多于2006 =1003 个．

2设 P=A1A2…A2006，用对角线 A1A2k+1(1≤k≤1002)及 A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有1003 个好三角形．因此，好三角形个数的最大值是1003．

3．求最小实数M，使得对一切实数 a，b，c都成立不等式

|ab(a2b2)bc(b2c2)ca(c2a2)|≤M(a2b2c2)2

解：ab(a2b2)bc(b2c2)ca(c2a2)

(ab)(bc)(ca)(abc)．

设abx，bcy，caz，abcs，则a2b2c2原不等式成为

12

(xy2z2s2)．3M(x2y2z2s2)2≥9|xyzs|(xyz0)．

x，y，z中两个同号而与另一个反号．不妨设

x，y≥0．则

1|z|xy，x2y2≥(xy)2，(xy)2≥4xy．于是由算术－几何平均不等式

23111(x2y2z2s2)2≥((xy)2s2)2＝((xy)2(xy)2(xy)2s2)2

2222≥(441(xy)6s2)242(xy)3|s|≥162|xyzs|

892时原不等式成立．

32即M等号在s2，xy1，z2，即a:b:c(23):2:(23)时达到，故所求的最小的M92．

324．求所有的整数对（x，y），使得12x22x1y2．

y)也是解．x0时给出两组解(0，2)．解：对于每组解（x，y），显然x≥0，且(x，

设x，y>0，原式化为2x(2x11)(y1)(y1)．y1与y1同为偶数且只有一个被4整除．故x≥3，且可令ym2x1，其中m为正的奇数，1．代入化简得

1m2x2(m28)．

若1，m28≤0，m1．不满足上式．

故必1，此时1m2x2(m28)≥2(m28)，解得m≤3．但m1不符合，只有m3，x4，y23．

因此共有4组整数解(0，2)，，(423)．

5．设P(x)为n 次(n>1)整系数多项式，k是一个正整数．考虑多项式

Q(x)P(P((P(x))))，其中 P 出现k 次．证明，最多存在 n 个整数t，使得Q(t)t．

证：若Q 的每个整数不动点都是 P 的不动点，结论显然成立．

1，2)． 设有整数x0使得Q(x0)x0，P(x0)x0．作递推数列

xi1P(xi)(i0，它2，)的每一项整除后一项．由周期性及以 k 为周期．差分数列ixixi1(i1，10，所有|i| 为同一个正整数u．令xmmin{x1，x2，，xk}，uxm1xmxm1xm，xm1xm1．

数列的周期为 2．即x0是 P 的2-周期点．

设 a 是P 的另一个2-周期点，bP(a)

(允许b=a)．则ax0与bx1互相整除，故|ax0||bx1|，同理|bx0||ax1|．展开绝对值号，若二者同取正号，推出x0x1，矛盾．

故必有一个取负号而得到abx0x1．记x0x1C，我们得到：Q 的每个整数不动点都是方程

P(x)xC的根．由于P 的次数n 大于 1，这个方程为n 次．故得本题结论．

6．对于凸多边形P的每一边b，以b为一边在P内作一个面积最大的三角形．证明，

所有这些三角形的面积之和不小于P 的面积的两倍．

证：过P的每个顶点有唯一的直线平分P的面积，将该直线与P的边界的另一交点也看作 P 的顶点(允许若干个相继顶点共线)．每两条面积平分线都交于 P 内．P 可

看成一个 2n 边形A1A2A2n-1A2n，每条对角线AiAin是P 的面积平分线(i=1，2，…，n，Ai2nAi)．设AiAin与Ai1Ain1交于

Oi(OinOi)，由面积关系得到，

S(△OiAiAi1)S(△OiAinAin1)，OiAiOiAi1OiAinOiAin1，故OiAinOA和iin1

OiAiOiAi1中必有一个不小于 1，于是以

AiAi1为一边在 P 内作的面积最大的三角形的面积

S(AiAi1)≥max{S(△AinAiAi1)，S(△Ain1AiAi1)}≥2S(△OiAiAi1)．

对于每条有向线段AiAin，P内部的每一点T或在它的左侧或在它的右侧．由于T在A1An1和An1A2n1An1A1的相反侧，故必有i使得T在AiAin和Ai1Ain1 的相反侧，从而Ｔ在△OiAiAi1或△OiAinAin1中．即△OiAiAi1P．于是

i12nS(AAii12ni1)≥2S(△OiAiAi1)≥2S(P)

i12n P 中同一边上的各个S(AiAi1)之和就是该边上的面积最大的内接三角形面积．