2016年山东省烟台市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2024年4月15日发(作者：初中数学试卷制作电子版)

2016年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝

（ ）

A．[0，1）

B．（0，1）

C．[1，3）

D．（1，3）

，则集合A∩（∁

R

B）为

2．（5分）复数z满足

A．1+i

＝i（i为虚数单位），则＝（ ）

C．

B．1﹣i

D．

3．（5分）记集合A＝{（x，y）|x

2

+y

2

≤16}，集合B＝{（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，

y）∈A}表示的平面区域分别为Ω

1

，Ω

2

．若在区域Ω

1

内任取一点P（x，y），

则点P落在区域Ω

2

中的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

4．（5分）不等式|x﹣3|+|x+1|＞6的解集为（ ）

A．（﹣∞，﹣2）

C．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）

B．（4，+∞）

D．（﹣2，4）

5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之

比为（ ）

A．1：3π

B．

C．

D．

且||＝|

6．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2

向量在向量方向上的投影为（ ）

第1页（共21页）

|，则

A．

B．

C．﹣

D．﹣

7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）

点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝e

x

﹣1，

则f（2016）+f（﹣2015）＝（ ）

A．1﹣e

B．e﹣1

C．﹣1﹣e

D．e+1

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝18，则判断框内应填入的条

件是（ ）

A．k＞2？

B．k＞3？

C．k＞4？

D．k＞5？

）个单位后得到9．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜

函数g（x）的图象．若对满足|f（x

1

）﹣g（x

2

）|＝2的x

1

、x

2

，有|x

1

﹣x

2

|

min

＝

，则φ＝（ ）

A．

B．

C．

D．

10．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对任意x∈（0，

+∞），都满足f[f（x）﹣log

2

x]＝3，则函数y＝f（x）﹣f′（x）﹣2（f′（x）

为f（x）的导函数）的零点所在区间是（ ）

A．

B．

C．（1，2）

D．（2，3）

第2页（共21页）

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题

卡的相应位置.

11．（5分）已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则

这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 ．

12．（5分）已知a＝

5

sinxdx则二项式（1﹣）的展开式中x

﹣

3

的系数为 ．

13．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x+y的最小值为﹣6，则

k＝ ．

14．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y

2

＝8x的公共焦点

为F，其中一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为 ．

15．（5分）设函数f（x）＝，若函数y＝2[f（x）]

2

+2bf（x）+1

有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证

明过程或推理步骤.

16．（12分）已知函数

（1）求函数y＝f（x）在区间上的最值；

，f（C）＝1，

．

（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足

且sinB＝2sinA，求a、b的值．

17．（12分）设函数

，数列{a

n

}满足

第3页（共21页）

，n∈N

*

，

且n≥2．

（1）求数列{a

n

}的通项公式；

（2）对n∈N

*

，设

实数t的取值范围．

18．（12分）某集成电路由2个不同的电子元件组成．每个电子元件出现故障的

概率分别为．两个电子元件能否正常工作相互独立，只有两个电子元

，若恒成立，求

件都正常工作该集成电路才能正常工作．

（1）求该集成电路不能正常工作的概率；

（2）如果该集成电路能正常工作，则出售该集成电路可获利40元；如果该集成

电路不能正常工作，则每件亏损80元（即获利﹣80元）．已知一包装箱中有

4块集成电路，记该箱集成电路获利x元，求x的分布列，并求出均值E（x）．

19．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥

P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2．

（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；

（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．

20．（13分）已知函数f（x）＝e

ax

（其中e＝2.71828…），

（1）若g（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）当时，求函数g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值．

．

21．（14分）已知椭圆C：+y

2

＝1，点M（x

0

，y

0

）是椭圆C上的一点，圆M

（x﹣x

0

）

2

+（y﹣y

0

）

2

＝r

2

．

（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；

第4页（共21页）

（2）从原点O向圆M：（x﹣x

0

）

2

+（y﹣y

0

）

2

＝作两条切线与椭圆C交于P，

Q两点（P，Q不在坐标轴上），设OP，OQ的斜率分别为k

1

，k

2

．

①试问k

1

，k

2

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是说明理由；

②求|OP|•|OQ|的最大值．

第5页（共21页）

2016年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝

（ ）

A．[0，1）

【解答】解：由y＝

B．（0，1）

C．[1，3）

D．（1，3）

，则集合A∩（∁

R

B）为

，得到x

2

﹣1≥0，

解得：x≥1或x≤﹣1，即B＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），

∵全集为R，A＝（0，3），

∴∁

R

B＝（﹣1，1），

则A∩（∁

R

B）＝（0，1）．

故选：B．

2．（5分）复数z满足

A．1+i

＝i（i为虚数单位），则＝（ ）

C．

B．1﹣i

D．

【解答】解：复数z满足

可得：a+bi＝（a+bi﹣i）i，

可得：

∴＝．

＝i，设z＝a+bi，

，解得a＝b＝，

故选：D．

3．（5分）记集合A＝{（x，y）|x

2

+y

2

≤16}，集合B＝{（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，

y）∈A}表示的平面区域分别为Ω

1

，Ω

2

．若在区域Ω

1

内任取一点P（x，y），

则点P落在区域Ω

2

中的概率为（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，

其中，

第6页（共21页）

，

由几何概型的公式可得点P落在区域Ω

2

中的概率为

故选：B．

；

4．（5分）不等式|x﹣3|+|x+1|＞6的解集为（ ）

A．（﹣∞，﹣2）

C．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）

B．（4，+∞）

D．（﹣2，4）

【解答】解：x＜﹣1时，﹣x+3﹣x﹣1＞6，∴x＜﹣2，∴x＜﹣2；

﹣1≤x≤3时，﹣x+3+x+1＞6，不成立；

x＞3时，x﹣3+x+1＞6，∴x＞4，

∴所求的解集为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．

故选：C．

5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之

比为（ ）

A．1：3π

B．

C．

D．

【解答】解根据三视图可知几何体是一个三棱柱A′B′D′﹣ABD，如图：

第7页（共21页）

底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2、高为2，

∴几何体的体积V＝sh＝＝4，

由图得，三棱柱A′B′D′﹣ABD与正方体A′B′C′D′﹣ABCD的外接球

相同，且正方体的棱长为2，

∴外接球的半径R＝

则外接球的体积V′＝

＝

＝

，

，

＝，

∴该几何体的体积与其外接球的体积之比为

故选：D．

6．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2

向量

A．

【解答】解：∵2

∴2

∴

∴

+

+

+

+

＝，

+＝，

在向量方向上的投影为（ ）

B．

且||＝||，则

C．﹣

D．﹣

，

，

∴O，B，C共线为直径，

∴AB⊥AC

∵|

∴|

|＝|

|＝|

|，△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，

|＝1，∴||＝2，

第8页（共21页）

∴如图，|

∴向量

|＝1，||＝2，∠A＝90°，∠B＝60°，

方向上的投影为||cos60°＝．

在向量

故选：A．

7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）

点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝e

x

﹣1，

则f（2016）+f（﹣2015）＝（ ）

A．1﹣e

B．e﹣1

C．﹣1﹣e

D．e+1

【解答】解：∵y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，

∴y＝f（x）的图象关于（0，0）点对称，

∴函数为奇函数，

∵当x≥0时恒有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝e

x

﹣1，

∴f（2016）+f（﹣2015）

＝f（2016）﹣f（2015）

＝f（0）﹣f（1）

＝0﹣（e﹣1）

＝1﹣e，

故选：A．

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝18，则判断框内应填入的条

件是（ ）

第9页（共21页）

A．k＞2？

B．k＞3？

C．k＞4？

D．k＞5？

【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：

k S 是否继续循环

循环前 1 0

第一圈 2 2 是

第二圈 3 7 是

第三圈 4 18 否

故退出循环的条件应为k＞3？

故选：B．

9．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到

函数g（x）的图象．若对满足|f（x

1

）﹣g（x

2

）|＝2的x

1

、x

2

，有|x

1

﹣x

2

|

min

＝

，则φ＝（ ）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：因为将函数f（x）＝sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0

＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x

1

）﹣g（x

2

）|＝2

，

的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x

1

﹣x

2

|

min

＝

第10页（共21页）

不妨x

1

＝，x

2

＝，即g（x）在x

2

＝

，不合题意，

，取得最小值，sin（2×﹣2φ）

＝﹣1，此时φ＝

x

1

＝，x

2

＝，即g（x）在x

2

＝

，满足题意．

，取得最大值，sin（2×﹣2φ）＝

1，此时φ＝

另解：f（x）＝sin2x，g（x）＝sin（2x﹣2φ），设2x

1

＝2kπ+

＝﹣

x

1

﹣x

2

＝

+2mπ，m∈Z，

﹣φ+（k﹣m）π，

，可得﹣φ＝，解得φ＝，

，k∈Z，2x

2

﹣2φ

由|x

1

﹣x

2

|

min

＝

故选：D．

10．（5分）已知f（x）为定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对任意x∈（0，

+∞），都满足f[f（x）﹣log

2

x]＝3，则函数y＝f（x）﹣f′（x）﹣2（f′（x）

为f（x）的导函数）的零点所在区间是（ ）

A．

B．

C．（1，2）

D．（2，3）

【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log

2

x]＝3，

又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，

则f（x）﹣log

2

x为定值，

设t＝f（x）﹣log

2

x，则f（x）＝log

2

x+t，

又由f（t）＝3，即log

2

t+t＝3，

解可得，t＝2；

则f（x）＝log

2

x+2，f′（x）＝

将f（x）＝log

2

x+2，f′（x）＝

可得log

2

x+2﹣

即log

2

x﹣

＝2，

＝0，

，

，

代入f（x）﹣f′（x）＝2，

令h（x）＝log

2

x﹣

第11页（共21页）