2024年4月3日发(作者：揭阳中考数学试卷谁出)

正弦、余弦定理 解斜三角形

建构知识结构

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

CABCAB

=sin, sin=cos

2222

111

（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB

222

abc

S= pr =

p(pa)(pb)(pc)

(其中p=, r为内切圆半径)

2

cos

（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

2．正弦定理：

abc

2R

外

sinAsinBsinC

证明：由三角形面积

111

SabsinCbcsinAacsinB

222

abc

得



sinAsinBsinC

abc

画出三角形的外接圆及直径易得：

2R

sinAsinBsinC

222

bca

3．余弦定理：a

2

=b

2

+c

2

-2bccosA,

cosA

；

2bc

证明：如图ΔABC中，

C

b

a

CHbsinA,AHbcosA,BHcbcosA

a

2

CH

2

BH

2

b

2

sin

2

A(cbcosA)

2

b

2

c

2

2bccosA

A

H

c

B

当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．

4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

有三种情况：bsinA

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，

确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

练习题

1．(2006山东)在

ABC

中，角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，已知

A

C.

31

D.

3

3

,a3,b1

，则

c

（ ）

2．在△ABC中，AB=3，BC=

13

，AC=4，则边AC上的高为（ ）

A.

32

33

3

B. C. D.

33

22

2

3．（2002年上海）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是

A.等腰直角三角形

C.等腰三角形

B.直角三角形

D.等边三角形

4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：

cm

）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不

允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )

2

A.

85cm

B.

610cm

C.

355cm

D.

20cm

222

5.（2006全国Ⅱ）已知

ABC

的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为

_________.

6.(2006春上海)在△

ABC

中，已知

BC8,

.

a

2

c

2

b

2

◆

答案

:

; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.

ac

AC5

，三角形面积为12，则

cos2C

4.组成边长6,7,7时面积最大; 5.

3

; 6.

7

25

四、经典例题

【例1】(2006天津)如图，在

ABC

中，

AC2

，

BC1

，

cosC

（1）求

AB

的值；

（2）求

sin

2AC

的值.

解（Ⅰ）： 由余弦定理，

ABACBC

41221

∴

AB

222

3

．

4

3

2.

4

2.

（Ⅱ）解：由

cosC

3

，且

0C

,

得

4

sinC1cos

2

C

由正弦定理:

7

.

4

ABBC

,

sinCsinA

BCsinC1452

。所以，

cosA

。由倍角公式

AB88

57

，

16

解得

sinA

sin2Asin2AcosA

且

cos2A12sinA

2

9

，故

16

37

.

8

sin

2AC

sin2AcosCcos2AsinC

◆

解读思想

：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.

【例2】在ΔABC中，已知a=

3

,b=

2

,B=45°，求A,C及边c．

asinB3sin45

3

解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b



b2

2

所以有两解A=60°或A=120°

bsinC

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

sinB

bsinC

(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=

sinB

2sin75

sin45

2sin15

sin45

62

,

2

62

2

◆

解读思想

：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．

【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救

甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度

的方向沿直线前往B处救援（角度精确到

1

）

[解] 连接BC,由余弦定理得

BC

2

=20

2

+10

2

－2×20×10COS120°=700

于是,BC=10

7

A_

_

B

∵

3

sinACBsin120

, ∴sin∠ACB=,

7

20

107

_

C

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援

30°

点拨纠正

:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形

的方法；

【例4】已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有

2Rsin

2

Asin

2

C

解：由已知条件得



2absinB

成立，求△ABC面积S的最大值．

2R

2

sin

2

Asin

2

B2RsinB

2ab

．即有

a

2

c

2

2abb

2

，

3

a

2

b

2

c

2

2

又

cosC

∴

c

．

AB

2ab2

4

4

∴

S

122

absinCab4R

2

sinAsinB

244

2R

2

sinAsin(

2R

2

sinA(

2

3

A)

4

22

cosAsinA)

22

R

(sin2A1cos2A)

2

R

2

[2sin(2A)1]

24

当

2A

4

2

,即A

3

21

2

(B)

时,

S

max

R

．

2

8

◆

思路方法

:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。

2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

【研讨.欣赏】

（2006江西）如图,已知△

ABC

是边长为

1

的正三角形,

M

、

N

分别是边

AB

、

AC

上的点,线段

MN

经过△

ABC

的中心

G

.设

MGA

(

3

2

)

.

3

(1) 试将△

AGM

、△

AGN

的面积(分别记为

S

1

与

S

2

)表示为

的函数;

(2) 求

y

11

的最大值与最小值.

2

S

1

2

S

2

解:

(1)因为

G

为边长为

1

的正三角形

ABC

的中心,

所以

AG

233

, MAG.

3236

由正弦定理

GM

sin

6

GA

sin(

)

6

,

得GM

3

6sin(

)

6

,

则S

1

1sin

1

GMGAsin

(或).

2

6(3cot

)

12sin(

)

6

GA

sin(

)

6

又

GN

sin

6

,得GN

3

6sin(

)

6

,

1sin

1

则S

2

GNGAsin(

)(或).

2

6(3cot

)

12sin(

)

6

(2)y

11144



2

S

1

2

S

2

sin

2





22

sin(

)sin(

)

72(3cot

2

).

66



2

2

,所以当

或

时,

y

的最大值

y

max

240

;

333

因为

3

当

2

时,

y

的最小值

y

min

216

.

提炼总结

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；

2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以

解决以下两类问题：

（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

4．边角互化是解三角形的重要手段．

正弦、余弦定理 解斜三角形

【选择题】

1.（2004浙江）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞

A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

1

”的 ( )

2

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2004全国Ⅳ）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，

△ABC的面积为

3

，那么b等于 ( )

2

A.

C.

13

2

23

2

+

3

+

3

3..下列条件中，△ABC是锐角三角形的是 ( )

+cosA=

1

5

B.

AB

·

BC

＞0

=3，c=3

3

，B=30° +tanB+tanC＞0

4.(2006全国Ⅰ)

ABC

的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且

c2a

，则

cosB

( )

A.

22

13

B. C. D.

43

44

【填空题】

5.（2004春上海）在

ABC

中，

a、

若

A105

，

B45

，

b22

，

b、c

分别是

A

、

B

、

C

所对的边。

则

c

__________

6.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.

练习简答

：; 1.在△ABC中，A＞30°

0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞

答案：B

2. 2b=a+c.平方得a

2

+c

2

=4b

2

－2ac.由S=

1

2

1

30°＜A＜150°

A＞30°

2

113

acsin30°=ac=，得ac=6.∴a

2

+c

2

=4b

2

－12.得

242

3

a

2

c

2

b

2

4b

2

12b

2

b

2

4

cosB====，解得b=1+

3

.答案：B

2

2ac264

3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C

; 6.若c最大，由cosC＞0.得c＜

5

.又c＞b－a=1，∴1＜c＜

5

.

【解答题】

7.（2004春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a

2

－

c

2

=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB

的值.

c

剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b

2

=ac可

b

2

bsinB

变形为=a，再用正弦定理可求的值.

c

c

解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b

2

=ac.

又a

2

－c

2

=ac－bc，∴b

2

+c

2

－a

2

=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

b

2

c

2

a

2

bc

1

cosA===，∴∠A=60°.

2bc

2bc

2

bsinA

在△ABC中，由正弦定理得sinB=，

a

∵b

2

=ac，∠A=60°，

3

bsinBb

2

sin60

∴=sin60°=.

2

cac

解法二：在△ABC中，

由面积公式得

11

bcsinA=acsinB.

22

∵b

2

=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b

2

sinB.

∴

3

bsinB

=sinA=.

2

c

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.

8.（2005春北京）在△ABC中，sinA+cosA=

解法一：∵sinA+cosA=

2

cos（A－45°）=

∴cos（A－45°）=

2

，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.

2

2

，

2

1

.

2

又0°＜A＜180°，

∴A－45°=60°，A=105°.

∴tanA=tan（45°+60°）=

13

13

=－2－

3

.

∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）

=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

∴S

△

ABC

=

=

26

.

4

1

AC·ABsinA

2

26

1

·2·3·

4

2

3

=（

2

+

6

）.

4

解法二：∵sinA+cosA=

∴（sinA+cosA）

2

=

2

，

2

①

11

.∴2sinAcosA=－.

22

∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.

∴90°＜A＜180°.

∵（sinA－cosA）

2

=1－2sinAcosA=

∴sinA－cosA=

①+②得sinA=

①－②得cosA=

6

.

2

3

，

2

②

26

.

4

26

.

4

∴tanA=

4

26

sinA

=·=－2－

3

.

4

cosA

26

（以下同解法一）

9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC中，sin（A+B）=

（1）求证：tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高.

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.

（1）证明：∵sin（A+B）=

31

，sin（A－B）=.

55

31

，sin（A－B）=，

55

3

sinAcosBcosAsinB

5

∴

1

sinAcosBcosAsinB

5

2

sinAcosB

tanA

5

=2.

1

tanB

cosAsinB

5

∴tanA=2tanB.

（2）解：

π

3

＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.

25

3

，

4

∴tan（A+B）=－

即

26

3

tanAtanB

=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan

2

B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.

2

4

1tanAtanB

26

，∴tanA=2tanB=2+

6

.

2

得tanB=

设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=

3CD

CDCD

+=.由AB=3得CD=2+

6

，所以AB边上的高为2+

6

.

tanAtanB

26

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

10. 在△ABC中，sinA=

sinBsinC

，判断这个三角形的形状.

cosBcosC

分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，

就必须“化角为边”.

解：应用正弦定理、余弦定理，可得

a=

bc

c

2

a

2

b

2

a

2

b

2

c

2

2ca2ab

，所以

c

2

a

2

b

2

a

2

b

2

c

2

bc

,

2c2b

化简得a

2

=b

2

+c

2

.所以△ABC是直角三角形.

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出

cosA=0.

【探索题】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+

2sinA

.

cosAcos（BC）

（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化试证明你的结论.

（2）求y的最小值.

解：（1）∵y=cotA+

=cot A+

=cot A+

2sin

π

（BC）

coscos

π（BC）（BC）

2sin（BC）

cos（BC）cos（BC）

sinBcosCcosBsinC

sinBsinC

=cotA+cotB+cotC，

∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.

（2）∵cos（B－C）≤1，

A

2sinA

2

+2tan

A

=

1

（cot

A

+3tan

A

）≥

3tan

A

cot

A

=

3

. ∴y≥cotA+=

A

22

2

2

22

1cosA

2tan

2

1tan

2

故当A=B=C=

π

时，y

min

=

3

.

3

评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实

际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥

3

.

可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC =cotAcotBcotC来证.


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