2024年4月7日发(作者：2023中考数学试卷广东)
2021
年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共
12
小题）
.
1
．设集合
A
＝
{x|x
2
﹣
x
﹣
2
＞
0}
，
B
＝
{x|x
（
x
﹣
2
）＞
0}
，则
B
∩（∁
R
A
）＝（ ）
A
．（﹣
1
，
2
）
B
．（
0
，
2
）
C
．
[2
，
+
∞）
）＝，则
sin
α＝（ ）
C
．
D
．﹣
D
．
[
﹣
1
，
0
）
2
．已知角α∈（
0
，π），且
tan
（α
+
A
．
B
．﹣
3
．为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发
了
10
门校本课程，其中艺术类课程
4
门，劳动类课程
6
门．李杰同学从
10
门课程中任
选
3
门，则含有劳动类课程的概率为（ ）
A
．
.
B
．
C
．
.
D
．
.
4
．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是
我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如
下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其
大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一
天多织相同数量的布，第一天织
5
尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比
前一天多织多少尺布？”．已知
1
匹＝
4
丈，
1
丈＝
10
尺，若这个月有
30
天，记该女子
这一个月中的第
n
天所织布的尺数为
a
n
，
b
n
＝
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
，则圆
，对于数列
{a
n
}
，
{b
n
}
，则＝
5
．若圆心在直线
3x
﹣
y
＝
0
上，与
x
轴相切的圆，被直线
x
﹣
y
＝
0
截得的弦长为
2
心到直线
y
＝
x
的距离为（ ）
A
．
4
B
．
2
C
．
D
．
2
＝（ ）
D
．
246
6
．设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
2S
n
＝
3a
n
﹣
2
（
n
∈
N
*
），则
A
．
243
B
．
244
C
．
245
7
．如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为
M
，
在俯视图中对应的点为
N
，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A
．
F
8
．已知
F
2
是双曲线
C
：
B
．
E
C
．
H
D
．
G
＝
1
的右焦点，
P
是
C
左支上一点，
A
（
0
，
3
），当△
APF
2
周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．设函数
f
（
x
）＝
ln+ln
，则
f
（
x
）（ ）
A
．是偶函数，且在（﹣∞，﹣
3
）单调递增
B
．是奇函数，且在（﹣
3
，
3
）单调递减
C
．是奇函数，且在（
3
，
+
∞）单调递减
D
．是偶函数，且在（﹣
3
，
3
）单调递增
10
．已知
9
x
＝
4
y
＝
A
．
25
，则
B
．
16
＝（ ）
C
．
9
D
．
4
11
．在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝
AA
1
＝
2
，
AD
＝
3
，点
E
为
A
1
B
1
的中点，若三棱
锥
C
﹣
EC
1
D
1
的所有顶点都在球
O
的球面上，则球
O
的表面积为（ ）
A
．
22
π
B
．
26
π
C
．
24
π
D
．
28
π
12
．定义“规范
01
数列”
{a
n
}
如下：
{a
n
}
共有
2k
项，其中
k
项为
0
，
k
项为
1
，且对任意
m
≤
2k
，
a
1
，
a
2
，…，
a
m
中
0
的个数不少于
1
的个数．若
k
＝
5
，则形如“
0001
…”的不同
的“规范
01
数列”的个数为（ ）
A
．
16
B
．
14
C
．
12
D
．
9
二、填空题（每小题
5
分
.
）
13
．已知两非零向量与的夹角为
120
°，且
||
＝
2
，
|2
﹣
|
＝
2
，则
||
＝
．
14
．安排
3
名志愿扶贫干部完成
4
个贫困村的脱贫工作每人至少完成
1
个村的脱贫工作，每
个村的脱贫工作由
1
人完成，则不同的安排方式共有
种．
15
．设复数
z
1
，
z
2
满足
|z
1
|
＝
|z
2
|
＝
2
，
|z
1
﹣
z
2
|
＝
2
16
．设有下列四个命题：
p
1
：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．
p
2
：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合．
p
3
：若三个平面两两相交，则交线互相平行．
p
4
：若直线
n
∥平面α，直线
n
⊥直线
b
，则直线
b
⊥平面α．
则下述命题中所有真命题的序号是
．
①
p
1
∧
p
4
；②
p
1
∧
p
2
；③￢
p
2
∨
p
3
；④￢
p
3
∨
p
4
三、解答题：共
70
分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第
17
～
21
题
为必考题，每个试题考生都必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答。（一）
必考题：共
60
分。
17
．
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．△
ABC
的内角
A
，已知
cos2A+cos2
（
A+B
）﹣
cos2B
＝
2sinAsin
（
A+B
）
+1
．
（
1
）求
B
；
（
2
）若△
ABC
的外接圆半径为，当△
ABC
的周长最大时，求它的面积．
，则
|z
1
+z
2
|
＝
．
18
．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以
及相应的管理时间的关系如表：
x
单土地使用面积（
位：亩）
管理时间
y
（单位：
月）
并调查了某村
300
名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：
愿意参与不愿意参
管理
男性村民
女性村民
140
40
与管理
60
9
11
14
26
20
1
2
3
4
5
（
1
）求相关系数
r
的大小（精确到
0.01
），并判断管理时间
y
与土地使用面积
x
的线性
相关程度；
（
2
）是否有
99.9%
的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（
3
）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中
任取
3
人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为
X
，求
X
的分布列及数学期望．
参考公式：，其中
n
＝
a+b+c+d
．
临界值表：
P
（
K
2
≥
k
0
）
k
0
参考数据：
19
．已知椭圆
C
：
0.100
2.706
≈
22.02
．
＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）短轴的两个顶点与右焦点
F
2
的连线构成等边三
0.050
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.001
10.828
角形，离心率和长半轴的比值为
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；
．
（
2
）若直线
l
过椭圆
C
的左焦点
F
1
，与
C
交于
P
，
Q
两点，当△
PQF
2
的面积最大时，
求直线
PQ
的方程．
20
．如图，已知三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
的底面是边长为
2
的正三角形，侧面
BCC
1
B
1
为菱形，
G
为其两对角线的交点，
BC
1
＝
2
，
A
1
C
＝
2
，
D
，
E
分别为
A
1
C
1
，
BB
1
的中点，顶点
B
1
在底面
ABC
的射影
O
为底面中心．
（
1
）求证：
DE
∥平面
ABC
1
，且
B
1
C
⊥平面
ABC
1
；
（
2
）求二面角
B
﹣
AC
1
﹣
C
的正弦值．
21
．已知函数
f
（
x
）＝
cos
2
xcos2x
﹣
a
．
（
1
）讨论
f
（
x
）在区间（
0
，π）的单调性；
（
2
）证明：当
a
＝﹣时，
0
≤
f
（
x
）≤；
（
3
）若函数
f
（
x
）在区间
[0
，π
]
上有且只有两个零点，求
a
的取值范围．
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
两题中任选一题作答并用
2B
铅笔将所选题号
涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，按所做的第一题记分
.[
选修
4-4
：坐标系与
参数方程
]
22
．在平面直角坐标系
xOy
中，以
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
C
1
的参数方程为（α为参数），直线
C
2
的极坐标方程为θ＝﹣．
（
1
）将
C
1
的参数方程化为普通方程，
C
2
的极坐标方程化为直角坐标方程；
（
2
）求与直线
C
2
平行且与曲线
C
1
相切的直线
l
的直角坐标方程．
[
选修
4-5
：不等式选讲
]
23
．已知函数
f
（
x
）＝
|x
﹣
1|+3|x+1|
．
（
1
）画出
y
＝
f
（
x
）的图象；
（
2
）求不等式
f
（
x
）＞
f
（
x
﹣
1
）的解集．
参考答案
一、选择题（共
12
小题）
.
1
．设集合
A
＝
{x|x
2
﹣
x
﹣
2
＞
0}
，
B
＝
{x|x
（
x
﹣
2
）＞
0}
，则
B
∩（∁
R
A
）＝（ ）
A
．（﹣
1
，
2
）
B
．（
0
，
2
）
C
．
[2
，
+
∞）
D
．
[
﹣
1
，
0
）
解：∵
A
＝
{x|x
＜﹣
1
或
x
＞
2}
，
B
＝
{x|x
＜
0
或
x
＞
2}
，
∴∁
R
A
＝
{x|
﹣
1
≤
x
≤
2}
，
B
∩（∁
R
A
）＝
[
﹣
1
，
0
）．
故选：
D
．
2
．已知角α∈（
0
，π），且
tan
（α
+
A
．
解：因为
tan
（α
+
所以解得
tan
α＝
B
．﹣
）＝＝，
，
）＝，则
sin
α＝（ ）
C
．
D
．﹣
＝﹣，可得
cos
α＝﹣
又α∈（
0
，π），
sin
2
α
+cos
2
α＝
1
，
所以
sin
2
α
+
（﹣
解得
sin
α＝．
故选：
A
．
3
．为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发
了
10
门校本课程，其中艺术类课程
4
门，劳动类课程
6
门．李杰同学从
10
门课程中任
选
3
门，则含有劳动类课程的概率为（ ）
A
．
.
B
．
C
．
.
种，
D
．
.
）
2
＝
1
，可得
sin
2
α＝，
解：从
10
门课程中任选
3
门，一共
其中艺术类课程的选法有种，
设“含有劳动类课程”为事件
A
，则
故选：
B
．
．
4
．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是
我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如
下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其
大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一
天多织相同数量的布，第一天织
5
尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比
前一天多织多少尺布？”．已知
1
匹＝
4
丈，
1
丈＝
10
尺，若这个月有
30
天，记该女子
这一个月中的第
n
天所织布的尺数为
a
n
，
b
n
＝
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
，对于数列
{a
n
}
，
{b
n
}
，则＝
解：由题意可知数列
{a
n
}
是等差数列，且
a
1
＝
5
，
设其前
n
项和为
S
n
，公差为
d
，
则
S
所以
a
＝
390
，解得
d
＝
＝，
，
所以
故选：
C
．
＝，
5
．若圆心在直线
3x
﹣
y
＝
0
上，与
x
轴相切的圆，被直线
x
﹣
y
＝
0
截得的弦长为
2
心到直线
y
＝
x
的距离为（ ）
A
．
4
B
．
2
C
．
D
．
2
，则圆
解：设圆心坐标为（
a
，
3a
），则
r
＝
|3a|
，
圆心到直线
x
﹣
y
＝
0
的距离
d
＝
∴，解得
|a|
＝
1
，
，
所以圆心到直线
y
＝
x
的距离为：
故选：
C
．
＝，
6
．设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
2S
n
＝
3a
n
﹣
2
（
n
∈
N
*
），则
A
．
243
B
．
244
C
．
245
＝（ ）
D
．
246
解：∵
2S
n
＝
3a
n
﹣
2
＝
3
（
S
n
﹣
S
n
﹣
1
）﹣
2
，
∴
S
n
+1
＝
3
（
S
n
﹣
1
+1
）（
n
≥
2
），
由
2a
1
＝
3a
1
﹣
2
⇒
a
1
＝
2
⇒
a
1
+1
＝
3
，
∴数列
{S
n
+1}
是首项与公比均为
3
的等比数列，
∴
S
n
+1
＝
3
n
，
∴
a
6
＝
S
6
﹣
S
5
＝
3
6
﹣
3
5
＝
2
×
3
5
＝
2
×
243
＝
486
，
∴＝＝＝＝
244
，
故选：
B
．
7
．如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为
M
，
在俯视图中对应的点为
N
，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A
．
F
B
．
E
C
．
H
D
．
G
解：根据几何体的三视图可知，该几何体一个三棱锥，一个四棱锥和三棱柱的组合体，
如图所示：
由直观图可知，该端点在侧视图中对应的点为
F
．
故选：
A
．
8
．已知
F
2
是双曲线
C
：＝
1
的右焦点，
P
是
C
左支上一点，
A
（
0
，
3
），当△
APF
2
周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：设左焦点为
F
1
（﹣
3
，
0
），右焦点为
F
（
3
，
0
）．
△
APF
周长为
|AF|+|AP|+|PF|
＝
|AF|+|AP|+
（
|PF
1
|+2a
）＝
|AF|+|AP|+|PF
1
|+2a
≥
|AF|+|AF
1
|+2a
，
当且仅当
A
，
P
，
F
1
三点共线，即
P
位于
P
0
时，三角形周长最小．
此时直线
AF
1
的方程为
y
＝
x+3
，代入＝
1
中，
可求得
P
0
（
故
故选：
D
．
＝
，），
＝＝．
9
．设函数
f
（
x
）＝
ln+ln
，则
f
（
x
）（ ）
A
．是偶函数，且在（﹣∞，﹣
3
）单调递增
B
．是奇函数，且在（﹣
3
，
3
）单调递减
C
．是奇函数，且在（
3
，
+
∞）单调递减
D
．是偶函数，且在（﹣
3
，
3
）单调递增
解：由题意可得，解得﹣
3
＜
x
＜
3
，即函数
f
（
x
）的定义域为（﹣
3
，
3
），
f
（﹣
x
）＝
ln+ln
＝﹣
ln
﹣
ln
＝﹣
f
（
x
），
所以
f
（
x
）为奇函数，
由复合函数的单调性可知
y
＝
ln
为减函数，
y
＝
ln
为减函数，
所以
f
（
x
）＝
ln+ln
为减函数．
综上可知，
f
（
x
）是奇函数，且在（﹣
3
，
3
）单调递减．
故选：
B
．
10
．已知
9
x
＝
4
y
＝
A
．
25
解：由
9
x
＝
4
y
＝
∴，
，则
B
．
16
，得
x
＝
，
＝
＝（ ）
C
．
9
，
y
＝＝
D
．
4
，
∴＝＝
＝
故选：
B
．
＝
16
．
11
．在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝
AA
1
＝
2
，
AD
＝
3
，点
E
为
A
1
B
1
的中点，若三棱
锥
C
﹣
EC
1
D
1
的所有顶点都在球
O
的球面上，则球
O
的表面积为（ ）
A
．
22
π
解：如图，
B
．
26
π
C
．
24
π
D
．
28
π
以
D
为坐标原点，分别以
DA
，
DC
，
DD
1
所在直线为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立空间直角坐标
系，
则
C
（
0
，，
0
），
D
1
（
0
，
0
，），
E
（
3
，
，），
，），
设△
CC
1
D
1
的外心为
G
，则
G
（
0
，
设球
O
的球心为
O
（
a
，，），半径为
R
，则
|OC|
＝
|OE|
＝
R
，
∴
R
2
＝
a
2
+3+3
＝（
a
﹣
3
）
2
+3
，
解得
a
＝
1
，则
R
2
＝
7
，
∴球
O
的表面积为
4
π
R
2
＝
28
π．
故选：
D
．
12
．定义“规范
01
数列”
{a
n
}
如下：
{a
n
}
共有
2k
项，其中
k
项为
0
，
k
项为
1
，且对任意
m
≤
2k
，
a
1
，
a
2
，…，
a
m
中
0
的个数不少于
1
的个数．若
k
＝
5
，则形如“
0001
…”的不同
的“规范
01
数列”的个数为（ ）
A
．
16
B
．
14
C
．
12
D
．
9
解：当
k
＝
5
时，数列中共有
10
项，其中
5
项为
0
，
5
项为
1
，
若对任意
m
≤
2k
，
a
1
，
a
2
，…，
a
m
中
0
的个数不少于
1
的个数，
则
a
0
＝
0
，
a
10
＝
1
，而形如
0001
…的规范
01
数列的前
4
项为
0001
，且
a
10
＝
1
，
所以当
a
5
＝
0
时，
a
6
，
a
7
，
a
8
，
a
9
中任意有一项为
0
即可，共有
C
当
a
5
＝
1
且
a
6
＝
0
时，则
a
7
，
a
8
，
a
9
中任意有一项为
0
即可，共有
C
种，
种，
当
a
5
＝
1
且
a
6
＝
1
时，则
a
7
必为
0
，
a
8
，
a
9
中有一项为
0
即可，共有
C
＝
2
种，
综上，满足题意的共有
4+3+2
＝
9
种，
故选：
D
．
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
13
．已知两非零向量与的夹角为
120
°，且
||
＝
2
，
|2
﹣
|
＝
2
解：由题可知，（
2
﹣）
2
＝
28
，
∴
4||
2
﹣
4||
•
||cos120
°
+||
2
＝
28
，即
4
×
4
﹣
4
×
2
×
||
×（﹣）
+||
2
＝
28
，
解得，
||
＝
2
．（负值舍去）
故答案为：
2
．
14
．安排
3
名志愿扶贫干部完成
4
个贫困村的脱贫工作每人至少完成
1
个村的脱贫工作，每
个村的脱贫工作由
1
人完成，则不同的安排方式共有
36
种．
，则
||
＝
2
．
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