2024年1月2日发(作者：数学试卷沪科版)
题型六 实际应用题
类型一 一次函数图象型问题
1.如图①，一个圆柱体铁块放置在正方体玻璃水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28 s时水槽注满，水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图②所示.
(1)圆柱体铁块的高为 cm；
(2)求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)如果将圆柱体铁块取出，又经过t(s)恰好将此水槽注满，请求出t的值.
第1题图
2. 小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.
请你根据图象进行探究：
(1)小王和小李的速度分别是多少？
(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
第2题图
3. 某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，原有的薪酬计算方式(y1)采用的是底薪＋提成的方式，已知每销售一件商品另外获得10元的提成，修改后的薪酬计算方式(y2)如图，设销售人员一个月的销售量为x(件)，销售人员的月收入为y(元)，根据图象回答下列问题：
(1)求y1和y2的解析式；
(2)求两个函数图象的交点F的坐标；
(3)根据函数图象，请判断哪种薪酬计算方式更适合销售人员.
第3题图
4. 女本柔弱，为母则刚，说的是母亲对子女无私的爱，母爱伟大，值此母亲节来临之际，某花店推出一款康乃馨花束，经过近几年的市场调研发现，该花束在母亲节的销售量y(束)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系，已知该花束的成本是每束100元.
(1)求出y关于x 的函数关系式(不要求写x的取值范围)；
(2)设该花束在母亲节盈利为w元，写出w关于x的函数关系式；并求出当售价定为多少元时，利润最大？最大值是多少？
(3)花店开拓新的进货渠道，以降低成本.预计在今后的销售中，母亲节期间该花束的销售量与销售单价
仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为200元，且销售利润不低于9900元的销售目标，该花束每束的成本应不超过多少元.
第4题图
类型二 方案选取型问题
1. 浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，销售时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件.
(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
(3)商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；
方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
2. 张老师计划组织朋友暑假去旅游.经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同.针对组团旅游的游客，甲旅行社表示，每人按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费.假设组团参加甲、乙两家旅行社的人数均为x人.
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团旅游的总费用y(元)与x(人)之间的函数关系式；
(2)若你是张老师，在甲、乙两家旅行社中，你怎样选择？说明理由.
3. 红星中学准备为学校“数学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元.
(1)求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？
(2)如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x(x>0)件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱.
4. 某工艺品店准备购进甲、乙两种工艺品.经了解，购进5件甲种工艺品和4件乙种工艺品需要2000元，购进10件甲种工艺品和3件乙种工艺品需要3000元.
(1)甲种工艺品和乙种工艺品每件各多少元？
(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案.方案一：购买甲种工艺品超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种工艺品没有优惠；方案二：两种工艺品都按原价的9折付款，该工艺品店决定购买x(x>20)件甲种工艺品和30件乙种工艺品.
①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；
②请你帮该工艺品店决定选择哪种方案更合算.
类型三 方案设计型问题
1. 某学校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元.
(1)求A种，B种树木每棵各多少元？
(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.
2. 某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.
(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
(2)商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于64个，并且购买A、B商品的总费用不高于1050元.那么商店有哪几种购买方案？
3. 某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本.已知：两种笔记本的进价之和为10元，甲种笔记本每本获利2元，乙种笔记本每本获利1元，马阳光同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元.
(1)甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？
(2)该文具店购入这两种笔记本共60本，花费不超过296元，则购入甲种笔记本多少本时该文具店获利最大？
(3)店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本350本和乙种笔记本150本.如果甲种笔记本的售价每提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本；如果乙种笔记本的售价每提高1元，则每天少售出40本乙种笔记本，为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少元时，才能使该文具店每天销售甲、乙两种笔记本获取的利润最大？最大利润为多少元？
4. 洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱.经计算，某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元.
(1)求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元？
(2)春节期间，某经销商打算一次购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出最大利润.
5. “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场.某车行经营的A型车去年4月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年4月份与去年4月份卖出的A型车数量相同，则今年4月份A型车销售总额将比去年4月份销售总额增加25%.(A、B两种型号车今年的进货和销售价格如下表所示)
进货价格(元/辆)
销售价格(元/辆)
A型车
1100
今年的销售价格
B型车
1400
2400
(1)求今年4月份A型车每辆销售价多少元(用列方程进行解答)；
(2)该车行计划5月份新进一批A型车和B型车共50辆，设购进的A型车为x辆，获得的总利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，若B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最大？最大利润是多少？
6. 某校计划购买甲，乙两种类型的荧光笔作为奖励发放给学生.已知购买2盒甲种荧光笔和3盒乙种荧光笔花费42元，购买3盒甲种荧光笔和2盒乙种荧光笔花费38元.
(1)甲种荧光笔和乙种荧光笔的单价分别为多少元？
(2)购买时发现，甲种荧光笔没有优惠；一次购买乙种荧光笔超过20盒时，超过20盒部分的乙种荧光
笔价格打8折，分别写出购买两种荧光笔的付款金额y(元)关于购买数量x(盒)的函数解析式；
(3)学校准备在一次数学竞赛后购买这两种荧光笔共90盒用于发放奖励，其中甲种荧光笔数量不超过乙种荧光笔的一半，两种荧光笔各买多少盒时，总费用最少，最少费用是多少元？
参考答案
类型一 一次函数图象型问题
1. 解：(1)12；
(2)设线段AB对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵图象过A(10，12)，B(28，24)，
k＝310k＋b＝12∴，解得，
1628k＋b＝24b＝3216∴线段AB对应的函数解析式为y＝x＋(10≤x≤28)；
33(3)由图②可知，有圆柱体铁块部分，水面上升12 cm，所用的时间为10 s；没有圆柱体铁块时，水面上升12 cm，所用时间为28－10＝18(s)．
∴将圆柱体铁块取出，又经过t＝18－10＝8(s)恰好将此水槽注满．
2. 解：(1)设小王和小李的速度分别a km/h，b km/h(a＜b)，结合图象可知：
a＋b＝30a＝10，解得，
3a＝30b＝202答：小王和小李的速度分别是10 km/h，20 km/h；
(2)由题意得，小李从乙地到甲地用的时间为30÷20＝1.5 h，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10×1.5＝15 km，
∴点C的坐标为(1.5，15)．
又∵点B的坐标为(1，0)，
∴设线段BC的函数解析式为y＝kx＋b，则
1.5k＋b＝15k＝30，解得，
k＋b＝0b＝－30∴线段BC的函数解析式为y＝30x－30(1≤x≤1.5)．
3. 解：(1)根据题意可得y1＝10x＋3000，
设y2的解析式为y2＝kx，
将点(100，3000)代入，得3000＝100k，
解得k＝30，
∴y2＝30x；
(2)令y1＝y2，则10x＋3000＝30x，
解得x＝150，
将x＝150代入y1中，得y1＝4500，
∴点F的坐标为(150，4500)；
(3)由(2)可知，两个函数图象的交点坐标为(150，4500)，
∴当0＜x＜150时，原有的薪酬计算方式更适合销售人员；
当x＝150时，两种薪酬计算方式所得薪酬相等；
当x＞150时，修改后的薪酬计算方式更适合销售人员．
4. 解：(1)设一次函数关系式为y＝kx＋b，
由题图知该函数图象过点(180，100)，(220，80)，
180k＋b＝100则，
220k＋b＝801k＝－2解得，
b＝1901∴y关于x的函数关系式为y＝－x＋190；
2111(2)由题知w＝(x－100)(－x＋190)＝－x2＋240x－19000＝－(x－240)2＋9800，
222∴当x＝240时，w有最大值，最大值为9800元；
(3)设该花束每束的成本为m元，
1由题意知(200－m)(－×200＋190)≥9900，
2解得m≤90.
答：该花束每束的成本应不超过90元．
类型二 方案选取型问题
1. 解：(1)由题意得，销售量为150 －10(x－30)＝ － 10x＋450，
则w＝(x－25)(－10x＋450)＝ －10x2＋700x － 11250；
(2)w＝－10x2＋700x－11250 ＝ －10(x－35)2＋1000，
∵－10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝1000元，
故当销售单价为35元时，文具店每天销售该计算器的利润最大，最大利润为1000元；
(3)B方案利润高．理由如下：
A方案中：∵25×24%＝6，
此时wA＝6×[150－10×(25＋6－30)]＝840元，
450－120B方案中：每天的销售量为120件，单价为＝33元，
10∴此时wB＝120×(33－25)＝960元，
∵wB＞wA，
∴B方案利润更高．
2. 解：(1)甲旅行社的总费用y甲＝640×0.85x＝544x；
当0 当x>20时，y乙＝640×0.9×20＋640×0.75(x－20)＝480x＋1920； 576x（0 480x＋1920（x>20）(2)若0 ∵y甲＜y乙， ∴选择甲旅行社； 若x＞20，由于y甲＝544x，y乙＝480x＋1920； ①当y甲＜y乙时，即544x＜480x＋1920，解得x＜30， 故当20＜x＜30时，选择甲旅行社； ②当y甲＝y乙时，即544x＝480x＋1920，解得x＝30， 故当x＝30时，两家旅行社一样； ③当y甲＞y乙时，即544x＞480x＋1920，解得x＞30， 故当x＞30时，选择乙旅行社． 综上所述，当参加旅游的人数少于30人时，选择甲旅行社；当参加旅行的人数正好30人时，两家都一样；当参加旅行社的人数多于30人时，选择乙旅行社． 3. 解：(1)设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元， 5a＋3b＝231根据题意得， 2a＋3b＝141a＝30解得， b＝27答：每件甲种学习用具的进价是30元，每件乙种学习用具的进价是27元； (2)当0＜x≤20时，y＝30x； 当x＞20时，y＝20×30＋0.7×30(x－20)＝21x＋180， 故y与x的函数关系式为 30x（0＜x≤20）y＝； 21x＋180（x＞20）(3)购买x件乙种学习用具的花费为27x元，购买x件甲种学习用具的花费为(21x＋180)元， 令27x＜21x＋180，解得x＜30， ∴当20＜x＜30时，购进乙种学习用具更省钱； 令27x＝21x＋180，解得x＝30， ∴当x＝30时，购进两种学习用具的花费一样； 令27x＞21x＋180，解得x＞30， ∴当x＞30时，购进甲种学习用具更省钱． 4. 解：(1)设甲种工艺品每件x元，乙种工艺品每件y元， 5x＋4y＝2000根据题意可得， 10x＋3y＝3000x＝240解得， y＝200答：甲种工艺品每件240元，乙种工艺品每件200元； (2)①方案一： y1＝240×20＋240×0.8×(x－20)＋200×30＝192x＋6960； 方案二： y2＝(240x＋200×30)×0.9＝216x＋5400； ②当y1＝y2时， 即192x＋6960＝216x＋5400，解得x＝65， 当y1 即192x＋6960<216x＋5400，解得x>65， 当y1>y2时， 即192x＋6960＞216x＋5400，解得x<65， ∴当购买甲种工艺品65件时，两种方案一样，当购买甲种工艺品的件数20 类型三 方案设计型问题 1. 解：(1)设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得： 2x＋5y＝600， 3x＋y＝380x＝100解得. y＝80答：A种树每棵100元，B种树每棵80元； (2)设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为(100－a)棵，依题意得： a≥3(100－a)， 解得a≥75. 设实际付款总金额是y元，则 y＝0.9[100a＋80(100－a)]， 即y＝18a＋7200. ∵18＞0，y随a的增大而增大， ∴当a＝75时，y最小． 即当a＝75时，y最小＝18×75＋7200＝8550(元)． 答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元． 2. 解：(1)设购买一个A商品需要x元，则一个B商品需要(x－10)元， 300100可列方程＝，解得x＝15. xx－10经检验x＝15是分式方程的解． x－10＝15－10＝5(元)． 答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元； (2)设购买A商品x个，则购买B商品(80－x)个． 由题意得：15x＋5(80－x)≤1050， 解得x≤65， 又∵x≥64， ∴64≤x≤65. ∴共有两种方案： ①购买A商品64个，购买B商品80－64＝16个； ②购买A商品65个，购买B商品80－65＝15个． 3. 解：(1)设甲种笔记本的进价是m元，乙种笔记本的进价是(10－m)元． 由题意4(m＋2)＋3(10－m＋1)＝47， 解得m＝6， ∴10－m＝4. 答：甲种笔记本的进价是6元，乙种笔记本的进价是4元； (2)设购入甲种笔记本n本，则6n＋4(60－n)≤296， 解得n≤28， ∵甲种笔记本每本获利比乙种笔记本高， ∴甲种笔记本越多，获利越高． 答：购入甲种笔记本最多28本，此时获利最大； (3)设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为w元． 则w＝(2＋x)(350－50x)＋(1＋x)(150－40x)＝－90x2＋360x＋850， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 360∴x＝－＝2时，w有最大值，w最大＝1210. －90×2答：x定为2元时利润最大，最大利润为1210元． 4. 解：(1)设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元， 20x＋30y＝1200根据题意得， 40x＋10y＝900x＝15解得， y＝30答：每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； (2)设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼(200－m)盒． 根据题意得， w＝15m＋30(200－m)＝－15m＋6000， ∵B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍， ∴200－m≤3m， 解得m≥50， ∵－15＜0， ∴当m＝50时，w最大，最大值为－15×50＋6000＝5250元． 此时200－m＝150. 答：当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，总利润最大，最大利润为5250元． 5. 解：(1)设去年4月份A型车每辆销售价为m元，那么今年4月份A型车每辆销售价为(m＋400)元， 根据题意得： 3200032000（1＋25%）＝， mm＋400解得：m＝1600， 经检验，m＝1600是方程的解， ∴m＋400＝2000. 答：今年4月份A型车每辆销售价为2000元； (2)设购进的A型车为x辆，获得的总利润为y元，则购进的B型车为(50－x)辆， 根据题意得：y＝(2000－1100)x＋(2400－1400)(50－x)＝－100x＋50000； (3)根据题意得：50－x≤2x， 2解得：x≥16. 3∵在y＝－100x＋50000中，k＝－100＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝17时，可以获得最大利润，此时y＝－100×17＋50000＝48300元． 此时B型车为50－17＝33辆， 答：应购进A型车17辆，B型车33辆，才能使这批车获利最大，最大利润是48300元． 6. 解：(1)设甲种荧光笔和乙种荧光笔的单价分别为m元、n元， 2m＋3n＝42根据题意可得， 3m＋2n＝38m＝6解得 ， n＝10答：甲种荧光笔和乙种荧光笔的单价分别为6元、10元； (2)由题意可得：y甲＝6x； 当0 当x>20时，y乙＝20×10＋(x－20)×0.8×10＝8x＋40； 10x（0 8x＋40（x>20）；(3)设购买甲种荧光笔a盒，则购买乙种荧光笔(90－a)盒， 1根据题意可得：a≤(90－a)， 2解得a≤30， ∴90－a≥60. 设购买两种类型的荧光笔总费用为w元， 则w＝6a＋8(90－a)＋40＝－2a＋760， ∵－2<0， ∴w随a的增大而减小． ∴当a＝30，w取得最小值，w最小＝－2×30＋760＝700(元)． 此时90－a＝60， 答：购买甲种荧光笔30盒，乙种荧光笔60盒时，总费用最少，最少费用是700元．
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