2024年3月15日发(作者：湖南新田中考数学试卷)

正多边形与圆

知识点一、正多边形

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.

如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

例：下列说法正确的是（ ）

A. 平行四边形是正四边形

C. 菱形是正四边形

【解答】D

【解析】A选项，平行四边形的四条边、四个角不一定都相等；

B选项，矩形四个角相等，但是四条边不一定相等；

C选项，菱形四条边相等，但是四个角不一定相等；

D选项，正方形的四条边和四个角都相等，故选D.

知识点二、正多边形与圆的关系

一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，

B. 矩形是正四边形

D. 正方形是正四边形

这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆的半径叫做正多

边形的半径.

1. 正多边形的有关概念

(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径；

(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

2. 正多边形的有关计算

(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

3. 正多边形的性质

（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形；

（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形；

（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边

数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心；

（4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似

比的平方；

（5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

例：如图所示，在正六边形ABCDEF中，已知AB＝10，求这个正六边形的半径、周长、面积.

【解答】见解析

【解析】连接CF、BE相交于点O，则O为正六边形的中心，过点O作OH⊥BC，如图所示：

由题意可得∠BOC＝60°，OB＝OC，

∴∠BOH＝30°，，

在△OBH中，正六边形的半径，

，

.


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